基于預設性能的欠驅動UUV 有限時間路徑跟蹤控制

孫源梓，于浩淼，郭晨

大連海事大學 船舶電氣工程學院，遼寧 大連 116026

近年來，水下無人航行器（unmanned underwater vehicle，UUV）作為海洋資源開發和海洋科學研究等領域的利器，受到全世界海洋工程領域學者和工程師們的青睞[1]。考慮到UUV 具有適應性強、成本低廉、作業載荷可重構等優點，其通常被用來執行諸如海底資源勘探、海底管線布放和維護、海洋環境監測等既枯燥又危險的作業任務。在執行各種復雜作業任務時，UUV 精確跟蹤期望路徑或軌跡的能力是助力其高效完成預定作業任務的關鍵所在。因此，UUV 的跟蹤控制問題一直備受相關領域學者的關注。綜合考慮節約成本、降低重量以及提高推進效率等因素，大多數UUV 均被設置為欠驅動推進模式[2]。由于受到海流、海浪等外界環境擾動以及未建模動態特性、參數攝動、運動控制執行機構輸出非線性等自身約束，UUV 的精確動力學模型是無法被獲得的[3]。這使得欠驅動UUV 路徑跟蹤控制器設計具有一定的挑戰性。

目前，國內外學者針對欠驅動UUV 的路徑跟蹤控制的研究已經取得了諸多成果。Lamraoui 等[4]設計了基于改進自抗擾控制器的UUV 路徑跟蹤控制器，實現了UUV 在海浪和海流等周期性擾動下對期望路徑的高性能追蹤。Moe 等[5]針對未知洋流條件下的UUV 路徑跟蹤控制，提出了一種結合制導律、自適應反饋線性化和滑模控制的控制器；Villa 等[6]采用PID 控制與視線（line-of-sight,LOS）制導法設計控制器，實現UUV 對期望路徑的跟蹤控制，并通過數值仿真和實船實驗驗證了控制策略的可行性；Nguyen 等[7]針對海流擾動下的UUV 路徑跟蹤，設計模糊邏輯控制器，并通過卡爾曼濾波器過濾海流產生的噪聲，使得跟蹤誤差控制在較小的范圍內；嚴浙平等[8-9]為實現參數攝動和海流擾動下的UUV 跟蹤控制，設計了一種基于積分滑模的有限時間跟蹤控制器，實現了有限時間的漸進收斂，隨后又設計了帶有上界自適應估計的積分終端滑模控制器解決不確定性上界未知問題；王懿偲等[10]基于LOS 制導律和李雅普諾夫理論設計了一種模糊滑模控制器，實現了模型參數不確定性、外部干擾未知的情況下的UUV 路徑跟蹤控制；Ji 等[11]提出了一種基于改進tanh 函數的多變量滑模控制器，提高了UUV 對期望路徑的跟蹤精度；向先波[12]通過引入“趨近角”路徑跟蹤引導策略，并且結合反步法，成功解決了海流擾動下的UUV 水平面路徑跟蹤問題；陳子印等[13]將位置誤差與速度和航向誤差解耦為2 個聯機子系統，利用濾波反步法設計控制器并構造輔助系統補償輸入受限下的殘差，實現了輸入受限下的UUV 路徑跟蹤控制；于浩淼等[14]針對參數攝動下的UUV 水平面路徑跟蹤，設計非奇異終端滑模設計控制器，并結合粒子群算法獲得更優的控制器參數，實現更好的控制效果；Fu[15]提出的算法將最小轉彎半徑考慮到運動控制中。

隨著UUV 作業范圍不斷拓展，目前已有的欠驅動UUV 路徑跟蹤控制方法已經無法滿足其日益增長的作業能力的需求。尤其是對于狹窄水域或者復雜結構物內的作業任務，需要UUV 的運動控制器具有強的安全性能。然而，現有上述有關欠驅動UUV 路徑跟蹤控制研究中均未考慮其安全性能。預設性能控制策略能夠實現系統輸出最大超調量不超過預設值的控制目標[16]；該方法能夠較好地避免UUV 發生碰撞，并且能同時改善UUV 的穩態性能。預設性能控制已被廣泛應用于移動機器人、無人機、船舶等對象的運動控制器設計，并取得了較好的控制性能。李錦江等[17]設計基于預設性能的魯棒時滯控制器，實現了執行機構時滯下的UUV 地形跟蹤，提高了航行器的安全性能；杜佳璐等[18]結合有限時間預設性能及超螺旋擴張狀態觀測器設計控制器，實現了不確定動態和未知時變擾動下的航行器三維軌跡跟蹤有限時間預設性能控制；Zheng 等[19]結合預設性能、非線性干擾觀測器和輔助系統等技術提出了一種具有預設性能的抗飽和、抗干擾的路徑跟蹤控制器，保證水面船在跟蹤路徑時，即使受外部干擾和輸入飽和的影響，也能有較好的安全性能；Bechlioulis 等[20]將特定的預設性能函數應用到UUV 的軌跡跟蹤控制中，有效地避免欠驅動UUV 運動控制設計中固有的可控性和奇異性，并通過水箱實驗驗證所提出控制策略的實用性。

本文針對具有參數攝動、海流擾動影響下的欠驅動UUV 路徑跟蹤，同時為了提高航行器的航行安全性能，提出了一種基于反步法、預設性能、改進視線法（improved line-of-sight, IMLOS）以及非奇異終端滑模（nonsingular terminal sliding mode,NTSM）的路徑跟蹤控制器。在期望路徑上建立{S-F}坐標系，引入虛擬向導、參考路徑曲率概念，通過坐標變化建立UUV 路徑跟蹤誤差方程。結合預設性能與改進視線法，設計了一種預設性能改進制導律，將受性能函數約束地縱向跟蹤誤差與前視距離結合，使視線角可以自適應的跟隨虛擬導向調整，在制導律內加入海流補償項來克服海流擾動的負面影響，在確保系統誤差收斂的同時還兼顧了瞬態跟蹤性能；接下來，基于反步法以及非奇異終端滑模設計欠驅動UUV 的路徑跟蹤動力學控制器，實現欠驅動UUV 的路徑跟蹤控制；最后，通過李雅普諾夫及有限時間理論分析得出所提出的路徑跟蹤方法能在有限時間內鎮定跟蹤誤差，結合仿真結果證明所設計控制策略的有效性。

1 UUV 路徑跟蹤問題描述

1.1 UUV 運動模型

欠驅動UUV 在水平面的三自由度動力學模型[3]表示如下：

式中：m11=m-Xu˙，m22=m-Yv˙，m33=Iz-Mr˙；m為UUV 的質量；Xu˙、Yv˙、Mr˙分別為UUV 的附加質量；Xu、Yv、Nr分別為線性阻尼項；Xu|u|、Yv|v|、Nr|r|分別為非線性二次阻尼項； τu、 τr分別為UUV 的縱向控制輸入和艏搖控制輸入。

水平面UUV 運動學模型[21]為

式中：x、y、 ψ為UUV 在固定坐標系{I}中的位置姿態信息，u、v、r分別為隨體坐標系{B}中UUV 的縱向速度、橫移速度和轉艏角速度，Vx、Vy為海流的流速。

1.2 路徑跟蹤誤差方程

為了有效解決欠驅動UUV 路徑跟蹤問題，需要建立恰當的路徑跟蹤誤差方程。因此，引入一條參數化的期望路徑，并選取期望路徑上任意一點P作為虛擬參考點，且其具有一定的速度vp=，P就是UUV 的虛擬向導。對于期望路徑上任意一點P，都存在沿路徑切線方向的單位切向量T和沿路徑法線方向的單位法向量N，二者構成以點P為原點的Serret-Frenet 坐標系。欠驅動UUV路徑跟蹤示意如圖1 所示。

虛擬向導p在固定坐標系{I}中的位置信息可表示為p=[xp,yp]T。則固定坐標系下，路徑跟蹤位置誤差表示為

將路徑跟蹤位置誤差從固定坐標系轉換到運動坐標系中，得到運動坐標系下的跟蹤位置誤差變量：

對式(1)展開求導，可以進一步得到：

式中s是期望路徑參量。

式中：ur、vr、r分別為相對海流的縱向速度、相對海流的橫向速度以及轉艏角速度；Uc為海流在固定坐標系下的速度，且為海流在固定坐標系下北向和東向的速度分量，海流方向為海流干擾下UUV 的合速度相對速度下的漂角βr= arctan(vr/ur)。

2 UUV 路徑跟蹤控制器設計

為實現控制目標，本節將分別設計欠驅動UUV 的路徑跟蹤運動學控制律和動力學控制律。首先，為確保航行器的安全性能，引入預設性能概念，將預設性能函數和原始跟蹤誤差結合，變換得到新誤差，在得到的新系統的基礎上設計虛擬向導的速度和預設性能制導律；其次，針對系統存在參數攝動問題，設計相應趨近律，基于非奇異終端滑模和反步法設運動學設計了動力學控制器。

2.1 運動學控制律

預設性能控制理論是通過定義預設性能函數和誤差變換等步驟，保證誤差的瞬態性能在預先指定的最大超調量下以規定的指數速率收斂，使得跟蹤誤差始終保持在給定的約束界限內，從而保證航行器的航行安全。現給定預設性能誤差范圍如下：

式中：i=x、y；ei,l(t)=(ρli0-ρli∞)e-ξlit+ρli∞、ei,u(t)=(ρlu0-ρlu∞)e-ξlut+ρlu∞為航行安全性能函數，分別為對應自由度的性能上下界；參數 ρli0、 ρli∞、 ξli、 ρlu0、ρlu∞、 ξlu為待設定的正常數。

現引入預設性能函數[22]表示如下

式中：i=x、y；ei為原始系統誤差變量；ei,l、ei,u分別為預設性能上下界；p(ei)為隨誤差變化而變換的變量，定義為

結合引入的預設性能函數式(4)可以將原始路徑跟蹤系統的誤差方程重新構造為如下系統：

則系統可簡單表示為

令ei,u=ei,l=elim=(ρ0-ρ∞)e-ξt+ρ∞，i=x、y。

在轉換得到的新系統基礎上設計虛擬向導的速度和制導律，給UUV 路徑跟蹤控制提供控制輸入，驅使UUV 跟蹤上目標路徑。

由式(3)可知，海流擾動下的路徑跟蹤誤差模型存在海流干擾項Uccos(βc-ψp)和Ucsin(βc-ψp)。所以設計基于預設性能的改進制導律如下：

式中： λ為正常數； μ為海流補償項，表示為

假定UUV 的漂角已知，則期望LOS 制導角為

定義李雅普諾夫函數如下：

求導可得：

結合前述定義可得：

代入，化簡可得：

設計如下運動學控制律：

代入上述虛擬控制律，化簡得：

2.2 動力學控制律

定義艏向角跟蹤誤差ψe=ψ-ψd；轉艏角速度誤差re=r-rd；期望縱向速度ue=u-ud，其中rd和ud可分別當作轉艏角速度r和縱向速度u的 虛擬控制律。

UUV 在實際作業過程中，必然會受到參數攝動和外界擾動的影響。首先假定參數攝動是有界的且上界可知，則參數攝動界限可表示為

有限時間引理[23]：對于一個非線性系統

若存在正定的連續函數V(x)滿足如下不等式：

式中：a>0，b>0，0

2.2.1 艏搖力矩控制律設計

設計轉艏角速度的虛擬控制律為

式中kψ是正定常數。

式中kψ≥0。 由有限時間理論可知，存在時間Tr0，當t>Tr0時，艏向角誤差 ψe收斂到0。

由虛擬控制律rd表達式可知其中包含，當對rd求導時必然會存在 ψd的高階導。為了避免“微分爆炸”問題，現采取動態面方法來獲取rd的導數信息，從而簡化控制器的計算。定義新狀態變量?r，動態面（低通濾波器）的輸出值即為。定義動態面如下：

式中：Tr為濾波器時間常數，動態面誤差為yr=rd-?r。

定義滑模面：

式中： λr1、λr2>0、pr>qr>0為滑模參數。

對Sr求導可得：

令=0，并代入艏搖自由度的動力學方程，可求得艏搖控制力矩的等效控制律：

當控制系統受到參數攝動以及外界擾動的影響時，僅使用等效控制律不能確保對欠驅動UUV 的運動有較好的控制效果，所以需引入趨近律用于克服內外擾動對欠驅動UUV 跟蹤效果的影響。與此同時，當UUV 向左或向右轉彎時會產生不連續信號，引入趨近律可解決該問題并驅使UUV 沿期望路徑運動，進一步提高控制系統的魯棒性。趨近律選擇如下：

式中kr、ar>0。

最后，實際的控制輸入設計為

構造Lyapunov 函數：

對V3求一階導可得：

由有限時間理論可知，存在時間Tr1，當t>Tr1時滑模面Sr收斂到0。

對等式兩邊積分可得：

求解式(5)得：

因此， 存在時間Tr2=ts， 當t>Tr=Tr0+Tr1+Tr2時，轉艏角速度誤差re收斂到0。

2.2.2 縱向速度控制律設計

為保證縱向速度能有較為快速的過度過程且不會出現超調，引入如下形式的二階非線性跟蹤微分器（tracking-differentiator, TD）：

式中：ude表示被跟蹤信號，此處用來表示期望縱向速度；v1、v2是跟蹤微分器的輸出，v1用來跟蹤ude，v2用來跟蹤ude的導數；R為跟蹤參數。

定義縱向速度誤差及滑模面為

式中： λu1、λu2>0、pu>qu>0為待定滑模參數。

對Su求導可得：

選擇引入趨近律形式如下：

式中ku、au>0。

最后，實際的控制輸入設計為

構造Lyapunov 函數：

對V4求一階導可得：

由有限時間理論可知，存在一個時間Tu1，當t>Tu1時滑模面Su收斂到0。

對等式兩邊積分可得：

求解式(6)得：

因此，存在時間Tu2=ts，當t>Tu=Tu1+Tu2時，縱向速度誤差ue收斂到0。

3 穩定性證明

構造Lyapunov 函數如下：

對V求導可得：

通過設計合適的參數kx、 λx、 λy、kψ、 λ、ku、kr、Tr可確保<0。證明了閉環系統是穩定的，并且UUV 可以在有限時間內跟蹤上期望路徑，實現路徑跟蹤控制任務。

4 仿真結果及分析

為了檢驗所提出的路徑跟蹤控制方法的有效性，使用系統仿真軟件構建基于UUV 路徑跟蹤誤差模型的仿真平臺。仿真時加入±20%的參數攝動，加入流速Uc=0.1+0.1×sin(0.1×t)、流向-30°的時變海流擾動。設定航行器的期望縱向速度為ud=1m/s，初始位置為控制器參數設定為kx=2、λ=0.1、ku=0.6、kr=0.8、kψ=1、λu1=λu2=1.5、λr1=λr2=3.5、pu=qu=5、pr=qr=7。預設性能參數設定為：ρ0=15、ρ∞=1.5、 ξ=0.1。在海流擾動、控制器參數相同的情況下進行對比試驗：方法1 采用具有預設性能制導律和非奇異終端滑模的控制策略；方法2 采用傳統IMLOS 非奇異終端滑模的控制策略。欠驅動UUV 路徑跟蹤曲線如圖2 所示。

圖2 水平面正弦路徑跟蹤效果

由圖2 可以看出，2 種控制策略均能控制航行器已很好地跟蹤上設定的期望路徑，而相比于方法2，采用方法1 能使航行器更加快速地跟蹤上期望路徑。圖3 為跟蹤誤差曲線。由圖3 (a)和圖3(b)可以看出，采用方法1 能更好地保證跟蹤誤差始終處于設定的性能函數界限內，在方法1作用下跟蹤誤差能更快到達穩態值，且方法1 產生的縱向誤差(-0.2 m

圖3 路徑跟蹤誤差及預設性能界限圖

圖4 艏向角跟蹤誤差曲線

圖5 縱向速度及速度誤差曲線

圖6 縱向控制力響應曲線

圖7 轉艏力矩響應曲線

5 結論

本文針對參數攝動和海流擾動下的欠驅動UUV 路徑跟蹤控制，結合預設性能設計的虛擬向導的速度及制導律能使跟蹤誤差始終處于設定的性能函數界限內；設計的非奇異終端滑模路徑跟蹤控制器能在有限時間內實現路徑跟蹤的目的。仿真結果進一步證明了所提出的控制方法能在完成路徑跟蹤控制目標的同時，有利于提高航行器的安全性能。

然而本文仍需對以下方面開展研究：1）UUV 更多情況下是在水下三維空間內作業，因此后續可針對其三維路徑跟蹤控制展開研究；2）本文用正弦函數代替海流擾動，這簡化了航行器受到的實際海流影響；3）本文未進行制導子系統的有限時間收斂證明，因此后續研究可對未知海流進行更精確的建模以及證明制導子系統有限時間收斂展開；4）本文的研究僅是理論推導和仿真驗證，因此，后續可進行相應的實船實驗，將理論應用到實際中。