基于Wiener過程的彈用電連接器溫濕應(yīng)力加速建模

姜普濤，韓建立，吳一喬

（1.海軍航空大學(xué)，山東 煙臺 264001；2.91423部隊，遼寧 大連 116041）

0 引言

在導(dǎo)彈長期貯存過程中，彈用電連接器的性能會隨著時間推移而緩慢退化，當(dāng)性能退化累積到規(guī)定閾值時就會發(fā)生失效，進(jìn)而影響導(dǎo)彈的可靠性和安全性[1]。為了能夠準(zhǔn)確地對彈用電連接器可靠性進(jìn)行評估，通常需要結(jié)合導(dǎo)彈實際服役環(huán)境和電連接器的失效物理過程，充分分析確定影響電連接器性能退化的主要因素。傳統(tǒng)的基于單、多應(yīng)力或組合應(yīng)力下失效物理的建模方法，往往只是通過對模型參數(shù)賦予修正因子，以消除不確定因素帶來的影響，沒有完全體現(xiàn)電連接器在特定環(huán)境下的真實退化過程。Wiener 過程由于充分考慮了隨機(jī)性因素，能夠較好地反映產(chǎn)品的實際退化狀態(tài)，因此被廣泛應(yīng)用于產(chǎn)品性能退化過程的建模[2]。

Tsai T R等以發(fā)光二級管的流明作為產(chǎn)品的性能指標(biāo)，使用線性Wiener過程描述了發(fā)光二極管的性能退化軌跡[3]；孫旭波等綜合利用Wiener 過程和Arrhenius 加速模型建立了某電連接器溫度應(yīng)力可靠性模型，為提高模型參數(shù)的估計精度，采用極大似然法對所有性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行整體統(tǒng)計推斷[4]；王璽等基于非線性Wiener過程，提出了1 種解決航空發(fā)動機(jī)性能退化非線性和三源波動問題的剩余使用壽命（Remaining Useful Life，RUL）評估方法[5]；南西康等以液壓系統(tǒng)的柱塞泵為研究對象，使用Wiener過程模型描述了其剩余壽命的分布規(guī)律[6]；蓋炳良等為確定某引信橡膠圈加速退化試驗中性能參數(shù)和溫度應(yīng)力的關(guān)系，基于加速因子不變原則推導(dǎo)了Wiener退化模型中漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)的比例關(guān)系[7]。

目前的導(dǎo)彈延壽工程實踐中，電連接器可靠性建模大都沒有在其貯存周期的全部階段對濕度予以充分考慮。然而，深入分析臨近貯存期的某型導(dǎo)彈的實際服役環(huán)境后，明確濕度對該彈用電連接器貯存壽命的影響，尤其在濕度較高時，是不可忽視的。在對電連接器失效物理分析的過程中發(fā)現(xiàn)，電連接器的性能退化存在諸多隨機(jī)性因素。因此，本文基于Wiener過程建立了某型彈用電連接器接觸電阻溫濕應(yīng)力下的性能退化模型，并通過相關(guān)實例的加速退化數(shù)據(jù)對模型合理性進(jìn)行了比對驗證。

1 Wiener過程

設(shè)t 時刻樣品的性能退化量為y( t )，如果y( t )在連續(xù)時間的隨機(jī)過程中滿足下列條件，則y( t )為Wiener過程。

1）Δy( t )為時刻t～(t+Δt )內(nèi)退化量的增量，且服從正態(tài)分布，即：

Wiener過程增量的分布只與時間差有關(guān)，所以它是齊次的獨立增量過程，服從正態(tài)分布。

2）在任意不相交的時間段[t1,t2] 、[t3,t4] 內(nèi)，t1＜t2≤t3＜t4，增量y( t2)-y( t1) 與y( t4)-y( t3)相互獨立。

3）y( 0 )=0，且y( t )在t=0 處連續(xù)。

一元線性Wiener過程可描述為：

若C( t )為時間t 的函數(shù)，且C( 0 )=0，文獻(xiàn)[8-9]提出了1種性能退化的非線性Wiener過程，即：

式（3）中：μ 為漂移系數(shù)；σ 為擴(kuò)散系數(shù)；W( t )為標(biāo)準(zhǔn)的Wiener過程。

2 基于Wiener 過程的電連接器接觸電阻溫濕應(yīng)力性能退化建模

2.1 基于Wiener過程的接觸電阻性能退化模型

電連接器在貯存環(huán)境應(yīng)力的長期作用下，其接觸電阻性能會隨時間的推移而產(chǎn)生退化。設(shè)在t 時刻電連接器接觸電阻性能退化量為y( t )，在t1時刻的性能退化量為y( t1)，在t2時刻的性能退化量為y( t2)。令t1＜t2，則在Δt=t2-t1時間段內(nèi)的性能退化增量為Δy=y( t2)-y( t1) ，即接觸電阻的增長量。

在接觸電阻性能退化過程中，接觸電阻的增長是由接觸斑點多次氧化腐蝕和微動磨損產(chǎn)生的氧化物膜層堆積造成的，這些細(xì)微氧化物造成的接觸電阻損失量的不斷累積，直接成了接觸電阻增長量的來源。從微觀層面上看，在Δt 時間段內(nèi)，接觸電阻的增長量Δy 是由多個微小的、相互獨立的損失量積累而成，即Δy 是大量符合獨立同分布的隨機(jī)變量之和。根據(jù)中心極限定理，在Δt 時間間隔內(nèi)，當(dāng)這些微小的隨機(jī)變量數(shù)量足夠巨大時，Δy 服從正態(tài)分布，即：

式（4）中，μΔy和分別是隨機(jī)變量Δy 的均值和方差。

根據(jù)摸底試驗，對于電連接器而言，其接觸電阻性能退化量y( t )的整體趨勢是遞增的，但在一定的時間段Δt 內(nèi)，其退化增量Δy 有時為正、有時為負(fù)，符合上述正態(tài)分布特點。考慮Wiener過程的特點，使用非線性Wiener 過程來描述電連接器接觸電阻性能退化過程，令時間尺度函數(shù)C( t )=tb，則接觸電阻Wiener過程退化模型可表示為：

式（5）中：r( t )為t 時刻接觸電阻的阻值；r0為接觸電阻初始值；μSk和σSk分別為環(huán)境應(yīng)力Sk下Wiener 過程退化模型的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)，且接觸電阻的退化增量Δy～N()；b 為時間尺度函數(shù)的待估參數(shù)。

2.2 基于Wiener過程的電連接器壽命分布模型

若給定試驗樣品電連接器的失效閾值，用l 來表示，則電連接器的壽命即接觸電阻性能退化量y( t )首次達(dá)到失效閾值l 的時間。令隨機(jī)變量ξ 表示電連接器壽命，則有：

對于基于Wiener過程的產(chǎn)品性能退化模型，如果漂移系數(shù)隨時間呈非線性時，即模型中的時間尺度函數(shù)為非線性函數(shù)，通常來說，其壽命分布函數(shù)的精確表達(dá)式是難以獲得的。為了解決此類問題，本文結(jié)合文獻(xiàn)[10]給出的產(chǎn)品首次達(dá)到失效閾值時間的逆高斯分布和式（5），設(shè)RSk( t )、FSk( t )和fSk( t )分別表示電連接器在應(yīng)力Sk下壽命ξ 的可靠度函數(shù)、累計失效概率函數(shù)和概率密度函數(shù)，推導(dǎo)得到：

式（7）（8）中：l 為接觸電阻失效閾值；Φ()· 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)。

對式（8）兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，可得：

若令ξb表示為時間tb的隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量ξb的平均值可以通過對式（9）求期望得到：

則電連接器在應(yīng)力Sk作用下的平均壽命可約等于：

2.3 基于Wiener 過程的電連接器溫濕應(yīng)力加速退化建模

通過加速試驗對產(chǎn)品可靠性進(jìn)行評估時，為了能夠利用壽命分布模型實現(xiàn)對產(chǎn)品評估預(yù)測，需要建立反映產(chǎn)品性能表征量與加速應(yīng)力之間關(guān)系的加速方程式[11]。然而，在對加速試驗數(shù)據(jù)開展統(tǒng)計分析階段，往往由于待估參數(shù)較多而增加了計算的難度，在多應(yīng)力加速試驗的情況下數(shù)據(jù)統(tǒng)計尤為復(fù)雜。因此，為評估彈用電連接器的可靠性，本文基于加速因子不變原則，對經(jīng)典的兩應(yīng)力Peck 加速模型進(jìn)行了簡化變換，建立了基于Wiener 過程模型的電連接器溫濕應(yīng)力加速模型。

1）基于加速因子不變的Wiener 過程退化模型參數(shù)分析。

在加速試驗中，令Sk表示第k 組加速應(yīng)力水平，k=1,2,…,K ，K 為加速試驗的應(yīng)力組數(shù)，F(xiàn)Sk( t )表示產(chǎn)品在t 時刻的累積失效概率，且FSk( 0 )=1。假設(shè)當(dāng)應(yīng)力水平S1和應(yīng)力水平S2下分別作用時間t1和t2后，產(chǎn)品的累積失效概率仍然一樣，即FS1( t1) =FS2( t2)，則可將S1對S2的加速因子AFS1,S2定義為：

為了使產(chǎn)品在不同應(yīng)力作用下的失效機(jī)理保持一致，必須保證加速因子保持不變，二者是充要條件，即加速因子AFS1,S2是1個只由應(yīng)力S1和S2決定，并不隨時間t1和t2而改變的常數(shù)[12-13]。因此，結(jié)合式（12），應(yīng)力S1和S2下的產(chǎn)品累積失效概率函數(shù)關(guān)系可表示為：

通過對式（13）兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，可得概率密度函數(shù)之間關(guān)系為：

將式（9）電連接器接觸電阻在應(yīng)力Sk下的概率密度函數(shù)表達(dá)式代入式（14），并進(jìn)行推導(dǎo)可得：

由于AFS1,S2與時間無關(guān)，則式（15）中=1，故b=b2=b1，因此可簡化為：

為保證AFS1,S2與時間無關(guān)，令式（16）中的時間系數(shù)為0，則有：

繼續(xù)對式（17）推導(dǎo)求解，最后得到：

基于上述分析可得：電連接器Wiener過程退化模型中的漂移系數(shù)μSk和擴(kuò)散系數(shù)σSk滿足關(guān)系式而時間尺度函數(shù)中的待估參數(shù)b 可看作常量。

2）溫濕應(yīng)力下Wiener 過程退化模型參數(shù)的加速方程。

由于產(chǎn)品退化速率在不同應(yīng)力水平下會發(fā)生變化，為量化電連接器性能退化表征參數(shù)在不同溫濕應(yīng)力水平下的變化情況，本文采用兩應(yīng)力Peck模型[14]來描述電連接器Wiener 過程性能退化模型中漂移系數(shù)μSk和擴(kuò)散系數(shù)σSk與溫度T 、相對濕度RH 之間的關(guān)系：

式（19）中：A(T,RH)表示反應(yīng)速率；a0、b0和c0為與產(chǎn)品材料等有關(guān)的參數(shù)；T 為熱力學(xué)溫度；RH 為相對濕度。上式兩邊分別取對數(shù)可得：

令a1=lna0，b1=-b0，假設(shè)Sk表示第k 組溫濕應(yīng)力組合(Tk,RHk)，對上式進(jìn)行線性化處理后，可得：

結(jié)合文獻(xiàn)[15]，Wiener 過程退化模型中的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)可表示為：

式（22）中，a11、b11、c11、a12、b12和c12為中間變換量。

如需滿足式（18）中的比例關(guān)系，對式（22）推導(dǎo)可得：b11=2b12，c11=2c12。

進(jìn)一步，令γ1=a11、γ2=b11、γ3=c11、γ4=a12，于是可得溫濕應(yīng)力下Sk下電連接器接觸電阻性能退化的加速模型，表達(dá)為：

式（23）中，γ1、γ2、γ3和γ4為待估參數(shù)。

3 基于兩步極大似然法的參數(shù)評估方法

設(shè)電連接器在第k 組溫濕加速應(yīng)力Sk下第j 個產(chǎn)品第i 次測量時刻為tijk，性能退化量為y( tijk)，時間增量為 Δtijk=tijk-t(i-1)jk，性能退化增量為Δy( tijk)=y( tijk)-y(t(i-1)jk)。 式 中 ： k=1,2,…,K ；j=1,2,…,Mk；i=1,2,…,N ；K 、Mk和N 分別為加速試驗的應(yīng)力組數(shù)、第k 組應(yīng)力下的試驗樣品數(shù)和性能退化測量的總次數(shù)。

結(jié)合式（4）（5）可知Δy( tijk)～N(μSkΔtijk,σSk2Δtijk)。不考慮電連接器個體之間的差異[16]，令τ=C( t )=tb，經(jīng)時間尺度模型變換后，電連接器的性能退化數(shù)據(jù)[t,y( t )]可變換為[τ,Δy′( τ )]，因此有：

式（24）中，

上述Δτijk為經(jīng)過時間尺度變換后應(yīng)力Sk下第j個產(chǎn)品第i 次測量的時間增量。 y′( τijk)和Δy′( τijk)分別為對應(yīng)的性能退化量和退化增量；μSk和σSk分別為應(yīng)力Sk下電連接器Wiener 過程性能退化模型的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)。

綜合式（9）（23）和（25），可建立電連接器概率密度極大似然估計函數(shù)為：

將Δy′( τijk)=Δy( tijk)代入式（26）中，可得：

式（26）（27）中，Θ={γ1，γ2，γ3，γ4，b}表示式中所有待估參數(shù)的集合，另外 τ=tb，因而有

下面，根據(jù)極大似然法模型參數(shù)估計步驟，采用鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行參數(shù)估計。令式（27）中關(guān)于γ1、γ2、γ3和γ4的一階偏導(dǎo)都為0，即：

經(jīng)過系列計算和簡化，可以得到γ1、γ2、γ3和γ4的最大似然估計分別為：

同樣采用鏈?zhǔn)椒▌t對未知參數(shù)b 做一階偏導(dǎo)計算，并令求導(dǎo)結(jié)果為0，即：

式（30）中：

結(jié)合式（30）～（32），可以得到未知參數(shù)b 的最大似然估計。針對b 的最大似然估計的顯式表達(dá)式無法得出，可以通過γ1、γ2、γ3和γ4的最大似然估計并結(jié)合試驗數(shù)據(jù)間接得到。

僅從數(shù)學(xué)推導(dǎo)上來看，將電連接器的加速退化試驗數(shù)據(jù)處理代入式（29）中，經(jīng)過計算可以求解得到待估參數(shù)γ1、γ2、γ3和γ4的值，但從實際對上述方程式進(jìn)行推導(dǎo)的過程來看，由于未知數(shù)較多，式（29）的數(shù)學(xué)求解計算非常復(fù)雜，待估參數(shù)往往難以通過這種方式直接得到。有鑒于此，本文利用MATLAB 軟件，采用兩步極大似然估計方法，完成對電連接器概率密度極大似然估計函數(shù)中未知參數(shù)的求解[17]。參數(shù)估計具體過程如下。

第1步：對待估參數(shù)γ1、γ2、γ3和γ4進(jìn)行估計。

變量為γ1、γ2、γ3和γ4，優(yōu)化函數(shù)為lnΘ，目標(biāo)為函數(shù)lnΘ 值最大。

2）根據(jù)式（29），通過計算可以得到未知參數(shù)的第

1次迭代結(jié)果Θ(1)=()；

4 實例驗證分析

使用文獻(xiàn)[18]的試驗數(shù)據(jù)，失效閾值l=5，采用本文方法，利用MATLAB采用兩步極大似然估計方法計算，得到模型參數(shù)估計值，并根據(jù)加速因子比例關(guān)系式得到正常應(yīng)力水平下Wiener 加速模型的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)的估計值。全部參數(shù)估計值如表1所示。

將上述參數(shù)估計值代入式（7）（9），可得接觸電阻在應(yīng)力S0下壽命分布的可靠度函數(shù)為：

概率密度函數(shù)為：

由式（11）計算可得，正常應(yīng)力水平下的平均壽命為：

圖1、2 分別描繪了本文利用Peck 加速模型和文獻(xiàn)利用廣義Eyring 加速模型下得到的可靠度和概率密度函數(shù)曲線。

圖1 可靠度曲線比對圖Fig.1 Comparison of reliability curves

圖2 概率密度函數(shù)曲線比對圖Fig.2 Comparison of probability density curves

從對比圖可以看出，2 種方法得到的曲線基本吻合。對比文獻(xiàn)得到的平均壽命值2.265×104h，本文在參數(shù)估計時考慮了Wiener 模型擴(kuò)散系數(shù)及時間函數(shù)的非線性因素，所得平均壽命更為保守一些，從追求可靠性角度來看，本文采用的方法更為安全可靠。

5 結(jié)論

本文考慮了某型彈用電連接器服役地域的特殊性和性能退化過程中的隨機(jī)因素特點，建立了該彈用電連接器基于加速退化數(shù)據(jù)的溫濕應(yīng)力Wiener 性能退化模型，并給出了參數(shù)評估方法。主要結(jié)論如下：

1）采用兩應(yīng)力Peck 加速模型來描述溫度和濕度對電連接器性能變化的影響時，在考慮其Wiener退化模型擴(kuò)散系數(shù)與應(yīng)力有關(guān)的情況下，能夠得到更為安全可靠的平均壽命值；

2）利用加速因子不變原則很好地簡化了加速模型中待估參數(shù)的數(shù)量，大大降低了模型參數(shù)估計的復(fù)雜度；

3）對于待估參數(shù)顯性表達(dá)式難以通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)直接得到的問題，可以利用MATLAB，通過兩步極大似然估計方法，采用鏈?zhǔn)椒▌t予以解決。