注重推理過程，提升推理能力

潘敬貞 錢耀周

［摘? 要］ 立體幾何是發展學生直觀想象和邏輯推理素養的重要載體，也是每年高考必考的內容.文章從考查思路、求解思路和解法評析等方面對2023年全國新高考Ⅰ卷“立體幾何解答題”進行分析，提出幾點教學建議與大家交流、探討.

［關鍵詞］ 立體幾何；試題分析；邏輯推理；教學思考

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的方法. 推理形式有歸納推理、類比推理和演繹推理.邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質［1］.立體幾何是發展學生直觀想象和邏輯推理素養的重要載體，也是每年高考必考的內容. 立體幾何解答題的第（1）題一般是證明平行或垂直的問題，求解這類問題先直觀感知點、線、面的位置關系，然后根據相關的幾何性質、定理和推理規則進行證明. 論證過程要環環相扣，一步一步地推進，每一步都有理有據，語言表述要準確精練，符合推理規則.

然而很多學生證明立體幾何中的平行與垂直時，卻表現出：邏輯思維混亂，說理過程不連貫，缺乏論據；語言表述啰唆，不精煉，不準確. 本文從考查思路、求解思路和解法評析等方面對2023年全國新高考Ⅰ卷“立體幾何解答題”進行分析，提出幾點教學建議與大家交流、探討.

試題呈現與分析

1. 試題呈現

（2023年全國新高考Ⅰ卷第18題）如圖1所示，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=2，AA=4.點A，B，C，D分別在棱AA，BB，CC，DD上，AA=1，BB=DD=2，CC=3.

（1）證明：BC∥AD；

（2）點P在棱BB上，當二面角P-AC-D為150°時，求BP.

2. 試題分析

本題以正四棱柱為載體，第（1）題證明線線平行，第（2）題通過二面角的大小來確定動點P的位置并求線段BP的長度. 試題背景熟悉，問法常見. 試題難度不大，但有一定的靈活性和綜合性，而且具有良好的信度和區分度. 試題主要考查正四棱柱的概念與性質、面面平行的性質、平行四邊形的性質、線線平行的性質、二面角的定義、向量法等基本知識，以及直觀想象、邏輯推理與數學運算等素養.

求解思路分析

第（1）題的求解思路比較多，為學生解決問題提供了廣闊的思維空間. 可以結合正四棱柱的性質證明線線平行，也可以結合面面平行的性質定理證明線線平行；可以先構造平行四邊形，再利用線線平行的傳遞性證明結論成立；還可以利用向量法進行證明. 第（2）題先設動點P的坐標，再求兩個平面的法向量，利用向量的夾角公式列方程，最后解方程獲解. 第（2）題還可以用幾何法求解，但求解過程比較復雜.

1. 解答第（1）題

（1）思路1（向量）

評析 由于第（2）題可以用向量法求解，因此第（1）題可依題意建立空間直角坐標系用坐標法求解. 解法1的思路自然，過程簡潔，效率高，是一種不錯的解法；解法2是求解本題的通法.這兩種解法簡單好用，但有不少學生漏掉了“A，B，C，D四點不共線”這一重要步驟，使得說理不夠充分，邏輯推理不夠嚴密. 另外，大部分學生證明線線平行時習慣用幾何法，這向教師提示：在平時教學中，要引導學生從多角度思考問題，并比較各種方法的優缺點.

（2）思路2（平行四邊形）

解法1（平行四邊形的性質） 如圖3所示，連接AC，BD，設AC∩BD=O，取AC的中點O，連接OO. 因為ABCD是正方形，所以O是AC的中點.由題設條件可知OO是梯形AACC的中位線，所以OO=2.又DD=BB=OO=2，DD∥CC//BB∥OO，所以D，O，B三點共線，即A，B，C，D四點共面. 又O是BD的中點，所以O是BD的中點，所以ABCD是平行四邊形，所以BC∥AD.

評析 解法1先證四點共面，再證對角線相互平分，最后根據平行四邊形的性質證明對邊平行. 然而不少學生由于各種原因漏掉了四點共面的證明，導致結論不成立（對角線相互平分有可能是空間四邊形）.解法1對數學綜合能力的要求比較高，一般學生很難做到：條理要清晰，說理要充分，推理要嚴密.

解法2（棱形概念） 如圖4所示，連接AC，BD，設AC∩BD=O，取AC的中點O，連接OO. 因為ABCD是正方形，所以O是AC的中點. 由題設條件可知OO是梯形AACC的中位線，所以OO=2.又DD=BB=OO=2，DD∥CC∥BB∥OO，所以D，O，B三點共線，所以A，B，C，D四點共面. 作AE⊥DD，垂足為E；作AF⊥BB，垂足為F. 取CC的中點H，連接DH，BH，則DH⊥CC，BH⊥CC. 在直角三角形中利用勾股定理易得AD=AB=

評析 不少學生求出四邊形ABCD的邊長后發現四條邊相等就認定其是菱形，漏掉了四點共面的證明，自然結論不成立.

（3）思路3

評析 解法1與解法2的思路基本一致，求解思路雖然清晰，但涉及的知識面比較廣泛，不僅要用到平面向量基本定理，還要用到面面平行的性質定理. 在表述過程中，不少學生漏掉了“平面AADD∩平面ABCD=AD，平面BBCC∩平面ABCD=BC”，使得推理不嚴密，說理不充分，結論站不住腳.

解法3（全等+面面平行） 如圖5所示，作AE⊥DD，垂足為E；作BF⊥CC，垂足為F. 由題設條件可得DE=CF，∠DEA=∠CFB，AE=BF，所以△AED≌△BFC，所以∠EAD=∠FBC. 因為平面AADD∥平面BBCC，且=，=，所以BC∥AD.

評析 解法3先證明兩個三角形全等得到兩個角相等，然后根據空間等角定理得到結論. 不少學生的求解思路與解法3基本一致，但推理過程漏洞百出，有的沒指出面面平行，有的沒指出角的兩邊方向相同，這樣推理得到的結論是不成立的，很容易舉出反例.

（4）思路4（線線平行的傳遞性）

如圖6所示，分別設線段BB，CC的中點為E，F，連接EF，AE，DF，由題設條件可得BE=CF，BE∥CF，所以四邊形BCFE是平行四邊形，所以BC∥EF. 因為AE∥AB∥CD∥DF，且AE=AB=CD=DF，所以四邊形AEFD是平行四邊形，所以AD∥EF. 所以BC∥AD.

評析 思路4符合大部分學生的思維習慣，解答過程簡潔，也容易表述，解答效率高.思路4可以說是第（1）題最優的幾何法.

2. 解答第（2）題

（1）思路1（解析法）

評析 解法2根據二面角的定義，先在兩個半平面內分別作交線的垂線，然后用向量法解決兩條異面直線的夾角問題. 解法2接地氣，解答過程簡潔，效率高，是不錯的解法，但很少有學生能想到該解法，這需要教師在平時教學中引導學生思考，積累這方面的解題經驗.

（2）思路2（幾何法）

作PS⊥AC于S，連接QS，則QS⊥

評析 該解法具有一定的靈活性，關鍵是掌握并運用正四棱柱的性質轉化問題，需要學生具備完整的邏輯鏈條以及較強的運算求解和推理論證能力，一般的學生很難想到該解法，利用該解法并順利解決問題的學生就更少. （幾何法）還可以在兩個半平面分別作交線的垂線，再平移垂線使其相交于一點，然后連線得三角形，求出三角形的邊長（用參數表示出來），由余弦定理列出關于參數的方程，最后求出參數的值即可得BP的值. 但該解法方程較多、字母較多，求解過程繁雜，效率不高. 相對而言，向量法（解析法）的求解過程更簡潔，效率更高，凸顯了向量法（解析法）的優越性.

教學建議

1. 提出新的問題——培育深度思考

2. 加強技能訓練——實現熟能生巧

數學學習離不開必要的技能訓練［2］，選擇不同的幾何體（圓錐、棱錐、圓柱、棱柱、圓臺、棱臺）為載體，設置不同的證明路徑為問題情境，讓學生運用不同的幾何知識證明不同的問題，深化知識的理解，構建知識體系.在證明平行的問題中，設置三角形的中位線、平行四邊形、相似三角形、線面平行的性質定理、面面平行的性質定理等證明路徑為問題情境；在證明垂直的問題中，設置線面垂直的性質定理、菱形的對角線、等腰三角形“三線合一”、面面垂直的性質定理、圓周角是直角等證明路徑為問題情境. 在推理證明訓練中培養學生的說理能力、推理能力，實現推理過程熟能生巧；鼓勵學生多角度思考問題、解決問題，讓學生體會問題的本質，培養學生的發散思維和理性精神.

3. 重視推理過程——提升推理能力

立體幾何是培育學生邏輯推理能力的好素材，立體幾何證明問題的求解教學切不可“蜻蜓點水”走過場，更不能停留在知識表層機械式操作，沒有上升到數學概念內部的思維演繹層面，沒有直擊核心素養內核的重復練習是無益的，要讓學生真實參與推理證明過程，體驗思維發展過程，彰顯推理論證的學習價值.因此，在立體幾何證明問題的求解教學中，教師要重視推理過程，要循序漸進地開展教學，先引領學生弄清推理的依據是什么、推理的規則是什么、推理的目標是什么，然后帶領學生一步一步地推理，討論每一步推理的充分性與必要性，逐漸提升推理能力，形成推理素養.

4. 注重數學表達——培育理性思維

圖形是從實物和模型抽象后的產物，也是形象、直觀的語言；文字是對圖形的描述、解釋與討論；符號則是對文字語言的簡化. 因此，教學立體幾何時要重視幾何語言表達的訓練與培育，要特別注意“模型→圖形→文字→符號”這一抽象過程［3］. 求解問題時，要引導學生用數學思維思考問題，用數學語言表述問題，表達過程要注意語言的連貫性與準確性. 在訓練與規范數學表達的過程中培育學生的理性思維，提升學生的思維品質.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2017.

［2］ 李剛. 在問題探究中構建知識的整體關聯——以“圓錐曲線中一類定點定值問題”為例［J］. 數學通報，2023，62（02）：16-21.

［3］ 李海東. 基于核心素養的“立體幾何初步”教材設計與教學思考［J］. 數學教育學報，2019，28（01）：8-11.