定位考點，剖析過程，探究多解，教學反思

張芝悅

［摘? 要］ 圓錐曲線壓軸題的綜合性強，解題探究可分三大環節進行：定位解讀考題、過程構建分析、多解深入探究. 實現考點、過程、多解的系統串聯. 研究者以2022年新高考全國Ⅰ卷的圓錐曲線壓軸題為例，開展解題探討，并提出相應的教學建議.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；雙曲線；斜率；三角形；面積

圓錐曲線是高中數學的重點知識，實際考查時常從知識綜合視角進行，與幾何相關聯構建復合圖形，解題過程有兩大特點：一是運算量大，推理過程繁雜；二是解析視角多樣，可從不同視角切入，均可構建方法和思路. 開展解題探究，總結思路十分重要，本文結合一道考題進行深入探究.

呈現考題，定位考點

定位 本題以直線與雙曲線相交為背景，題設兩問，分別求直線的斜率和三角形的面積，將雙曲線與直線、三角形相融合，數形結合思想突出，側重考查學生的邏輯推理與分析運算等能力.

面積模型. 由于本題兩問的綜合性強，因此可結合圖象分段構建解題過程.

分段構建過程，詳解問題

1. 方程聯立簡化，斜率構建處理

第一步，繪制圖象.

位置：雙曲線的焦點位于x軸上；

交點：直線l與雙曲線有兩個交點，分別為點P和點Q；

直線：涉及直線AP和AQ.

根據上述分析繪制圖1所示的圖象.

第二步，確定雙曲線的方程.

第三步，設定直線的方程，聯立方程進行處理.

設P（x，y），Q（x，y），易知直線l的斜率存在，可設直

綜上可知，直線l的斜率k=-1.

2. 轉化三角函數值，構建三角形面積模型

第一步，設定角度關聯推導.

采用分段構建的方式求解，從求解過程來看有三大特點：一是運算量大，需要采用整體代換、分類討論等簡化方法；二是數形結合緊密，需要借助圖象把握直線與曲線的位置關系；三是分段過程較多，涉及方程聯立、模型構建、簡化處理等過程. 總之，綜合性問題的破解過程，要把握圖象，合理轉化處理條件，準確構建模型，充分簡化處理代數式.

思路拓展，多解探究

上述求解過程采用的是傳統解法，聯立方程簡化處理條件求斜率，分類討論三角函數值構建面積模型. 本題求解還可以從不同視角、采用多種方法構建思路，下面結合問題開展多解探究.

1. 構建參數方程，切入條件求斜率

核心條件是直線AP，AQ的斜率之和為0，可采用參數方程法設定兩直線的方程，通過參數方程的聯立并簡化來求斜率.

評析 這采用的是參數方程法，共三步：第一步，設定兩直線的參數方程；第二步，推導點P和Q的參數；第三步，將直線PQ的斜率轉化為與點P和Q的參數相關的代數式，整理后消去參數求出斜率. 參數方程法最大的特點是對直線參數方程的設定.

2. 點差法轉化構建，向量法轉化破題

對于第（2）問的三角函數值條件下的面積問題，可以結合點差法和向量法來分別構建直線方程和面積模型. 其中點差法主要用于直線l方程的求解，而向量法主要體現面積模型的轉化. 由于上述已經確定點P，Q只能位于雙曲線右支，在此不再討論，方法構建具體如下.

解法1 點差法.

解法2 向量法.

評析 上述呈現的是用點差法和向量法求解第（2）問（面積問題）的過程. 利用點差法可較為簡潔地構建直線的斜率，利用向量法可調用正切值條件直接構建面積模型. 若實際求解時能融合這兩種方法，則可高效快速處理面積問題.

解后反思，教學思考

筆者探究時將過程分析與多解探討相融合，全方位呈現了解題過程，這對于同類型問題的破解有參考價值. 下面結合教學實踐提出幾點建議.

1. 定位分析考題，明晰知識考點

綜合性強是圓錐曲線壓軸題最典型的特點，涉及眾多知識考點. 解題探究環節中需要充分分析考題，定位考查重點，明晰知識要點，為后續的知識調用與思路構建做基礎，同時有利于復習備考. 如上述解題分析，定位直線與雙曲線相交，以交點與直線為基礎構建三角形，融合了三角函數、斜率等知識. 教學中要引導學生解讀題干信息，梳理問題條件，把握圖象關系，系統串聯考點.

2. 數形結合推理，分步構建過程

數形結合、分步構建是破解綜合性問題的核心方法，即采用數形結合法，解讀條件，轉化條件，構建模型. 思路構建分步呈現，將復雜問題細化為眾多的小問題，充分降低思維難度. 以上述第（2）問為例，原解法共四步——設定條件、討論交點、推導直線、構建模型，解析過程調用公式定理，實現復雜問題簡單化. 探究教學中同樣建議采用數形結合法，將問題拆解，結合圖象引導學生思考，形成系統的解題思維.

3. 深入思考考題，拓展探究解法

圓錐曲線綜合題的解法思路不唯一，采用不同方法或思路均可完成求解，教學中有必要引導學生深入思考，全面審視問題，探尋不同解法. 如上述多解探究環節，采用點差法轉化斜率求直線方程，利用向量法調用正切值條件構建面積模型. 尤其對于綜合性強的圓錐曲線與直線壓軸題，可從函數、向量、方程、不等式等視角審視條件、構建思路. 教學中可結合實例開展多解探究，引導學生深刻理解問題，拓展學生的思維.