指向“三會”發展的數學形類表征教學實踐探究

李堅　孫紅英

摘要 數學核心素養主要集中在“三會”上，即“會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。”然而，怎樣讓“三會”落地生根，當前廣大教師還缺少有效的實踐策略。運用數學表征特別是“形類表征”可以讓學生數學核心素養的發展找到“抓手”，獲得“媒介”。基于相關理論和實踐，在指向“三會”發展的數學形類表征教學實踐中，應遵循如下理念與策略：引導學生善于從表征觀察中發現問題、揭示本質、形成結構，以培養敏銳、深邃與長遠的數學眼光；引導學生善于從表征思考中嚴密邏輯、協同創新，以培養高階數學思維；引導學生善于從表征表達中遷移經驗、類比聯想、關聯拓展，以培養嚴謹縝密、清晰準確與系統邏輯的數學語言。

關? 鍵? 詞 核心素養 “三會” 形類表征 表征觀察 表征思考 表征表達

引用格式 李堅，孫紅英.指向“三會”發展的數學形類表征教學實踐探究[J].教學與管理，2023（32）：36-41.

數學核心素養是受教育者應當具備的基本素養[1]。《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確指出數學核心素養主要集中在“三會”上，即“會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。”[2]但小學生受認知水平、理解能力和思維特點的限制，在用“數學的眼光觀察世界”時，由于數學知識比較抽象而難以被覺察發現；在用“數學的思維思考世界”時，由于數學邏輯比較嚴謹而難以被推理證明；在用“數學的語言表達世界”時，由于數學概括比較嚴密而難以被建模應用。

可見，核心素養的發展需要“抓手”和“媒介”才能落地生根，而運用數學表征，特別是“形類表征”，即運用“圖形（或圖表）、實物情境與教具模型等”表征能很好地解決這個問題。根據信息傳播學及腦科學的研究，“形類”更容易被大腦理解與記憶。運用形類來觀察和捕捉真實情境中的數學信息，不僅有助于學生從現實世界中發現數量關系和空間形式，還能讓學生在復雜的世界中能敏銳地發現與提出有意義的問題[3]，從而有利于學生數學眼光的培養；運用形類來理解數學概念和思考相關問題，可讓學生能清楚地看見自己在數學活動中各種思考方式的思考過程和思維方式，不僅有助于提高學生分析問題的能力，還能讓學生對自己的思考過程和思維方式不斷地進行改進和完善，從而有利于學生數學思維的提升；讓學生運用形類來解釋道理與表達規律，不僅有助于學生找到解決問題的載體與理解數學的工具，還能讓學生把隱藏在知識背后的思想方法與數學道理直觀地揭示出來并表達清楚，從而有利于學生數學語言的發展。

因此，我們在學生概念認識、規律驗證、算理理解、體系建構及本質揭示等內容的學習過程中，要善于合理、積極地運用“形類表征”，使得學生可以更為直觀地觀察、更為深入地思考、更為準確地表達，從而讓學生的核心素養得到真正的發展與提升。

一、表征觀察，培養數學的眼光

數學活動始于數學觀察，數學學習始于數學問題的發現和提出，并需要從真實情境中抽象出數學研究的對象及其屬性，形成概念、關系和結構[4]。要想實現現實情境與數學之間的這種思維切換，就需要學生具備一定的善于觀察的數學眼光，因為數學的眼光是打開學生數學之門的鑰匙。

數學眼光的培養需要學生具備一定的知識經驗和推理能力，需要借助一些“媒介”作為抓手，需要養成善于觀察和思考的意識，并掌握一定的方法，但現實情境中的數學數量關系和空間表現形式是比較抽象和復雜的，而小學生的數學知識經驗和推理能力相對匱乏，并且觀察事物和分析問題的能力相對較低。因此，在教學中可用一些形類表征來幫助學生學會在現實情境中進行深度觀察，學會在復雜和海量的信息中發現和提出有價值的數學問題，學會通過對數學對象及其之間關系的理解，抽象出一定的數學結構和知識體系，并揭示其背后的數學原理，從而實現數學核心素養的提升。

1.表征“模糊”，發現問題，發展敏銳的眼光

概念的認識和理解是數學學習的起點與基礎。有不少數學概念來源于生活實際，盡管學生在生活中已經有所接觸，比如“放大與縮小”，但學生對它們的觀察與認識還比較膚淺和模糊，還不能從數學的角度精準地把握它們的本質內涵，即“大小變了形狀不變”，并且會受到生活中“變大與變小”的誤導。這樣的觀察與學習處于一種模糊不清的狀態，對學生后續學習會造成一定的干擾和負遷移。如果我們的教學不注意糾正這種狀況，就難以讓學生的觀察達到清晰和精準的層面，學生發現問題和提出問題的能力也就不能得到有效提升，核心素養的發展也就無從談起。

要避免這種狀況，我們可引導學生通過形類表征的操作，幫助他們理解“放大與縮小”的本質意義，即在電腦上用畫圖的方式將照片任意放大和縮小，然后通過觀察發現問題并嘗試提出問題。學生通過觀察可以直觀地感知與發現：“這些照片的大小都在改變，但有一些形狀變了，有一些沒有變”，并提出：“這些圖片是不是都是我們數學上研究的‘放大和縮小呢？”這樣的表征操作可以有效地將學生的觀察從“干擾”引向“敏銳”。接著追問：“你怎么知道這些照片的形狀變了？需要用什么來描述？”學生自然能想到需用數據來描述變化前后長方形長和寬的大小，即用“數”來描述“形”。此后，繼續引導思考：“看到變化前后對應邊長度的數據你想到了什么？數據如何變化而形狀沒有變？形狀變了的呢？”學生通過“數”的比較與計算不難找到放大和縮小前后“形”的變化規律，并且理解與明確了“放大與縮小”的本質是形狀不變，即對應比的比值不變。這樣表征可有效地將學生的觀察從模糊轉為精準。借助圖形的變化，先從定性的角度進行觀察以提高學生發現問題與提出問題的能力，讓學生數學的眼光變得異常敏銳；再轉向從定量的角度開展探究，以深入“放大與縮小”的知識本質，讓學生數學的眼光變得精準。

2.表征“隱含”，揭示本質，發展深邃的眼光

小學階段需要掌握和運用的數學性質有很多，它們看起來易懂、易檢驗、易運用，但其背后蘊含的道理卻是比較抽象的，學生難以察覺和明白。如果對它們的觀察與學習只停留在方法的掌握和實際的運用層面，那么學生的數學眼光就是表面的、學習狀況就是淺層的、數學思維就是低階的。這就要求教師在教學中要善于運用形類表征，引導學生在直觀表征中深入地觀察和捕捉隱藏在性質背后的數學道理與數學思想，從而清楚地揭示出知識的本質，這樣才能讓數學觀察與理解從表面走向深邃、從隱含走向清晰。

例如，在教學“3的倍數的特征”時，我們需要借助形類表征安排有深度的探究活動，要讓學生理解：“為什么一個數各個數位上的數字之和是3的倍數，那么這個數就是3的倍數？反之，則不是”。為此，在教學中可借助小正方體模型、計數器或方格圖等形類來直觀表征，引導學生將多位數進行拆分和合并：132=1×100+3×10+2×1=（1×99+1）+（3×9+3）+2×1=（1×99+3×9）+（1+3+2）。然后啟發思考：“通過觀察132的拆分和合并，你能看出性質背后的道理嗎？”通過觀察交流與深度思考，能很容易地理解3的倍數特征的本質。最后，還可以引導學生運用數的拆分與合并的方法繼續探究“其他數的倍數特征”的本質原理，進一步打通知識之間的聯系，實現方法與原理學習的一致性。在數形結合以及數的分與合之中，學生自然能用數學的眼光去觀察與理解數學性質的本質及其背后所蘊含的數學思想，進一步推想到表征解釋其他數學性質的本質。

3.表征“聯系”，形成結構，發展長遠的眼光

著名數學教育家弗萊登塔爾認為，“聯系”是排在第一位的數學素養[5]。引導學生用知識間的聯系解決問題是深度學習的關鍵[6]。同樣，用數學的眼光去觀察世界時，不僅要敏銳深邃，還要能長遠久遠，深度發掘、整體關聯，從而讓觀察能更加深入、眼光更為長遠。因此，在教學中應積極地運用形類表征將零散孤立的知識建構成關聯系統的整體，并善于運用“聯系”的數學眼光去觀察新舊知識之間的連接點、發掘更深層次的核心概念，以達成知識掌握的結構化和內容學習的一致性，從而促進學習的深度建構與思維的深度發展。

例如，在教學“分數乘分數”時，可先回憶并借助圖形將“整數乘整數（20×30）”“小數乘小數（0.2×0.3）”和“分數乘整數（3×）”的運算意義和算理算法表征出來（如圖1）。接著引導思考：“看到這三個圖，你能找到它們算理和算法的相同點和不同點嗎？”學生通過觀察與交流，不難感知它們運算的一致性，即“計數單位的累加”，從而找到知識生長的“最近發展區”以及可借鑒遷移的形類表征方法。接著再啟發學生繼續運用畫圖的方法去嘗試表征“分數乘分數（×）” 的算法推導和算理理解（如圖2）。這樣的設計，讓學生在形類表征方式的運用中充分經歷了“數的運算”的算理理解和算法推導過程，并清楚地認識到“數的運算”的整體性和結構化，深度體驗到“數的運算”的本質聯系，使學生數學的眼光變得更為長遠。

二、表征思考，培養數學的思維

數學是思維的體操。數學學習特別是數學學習能力的提高離不開數學思維，并且在觀察、比較、分析、驗證、推理、歸納與應用等數學活動中數學思維是不斷出現的。數學思維的發展是數學學習的終結目標，即“會用數學的思維思考現實世界”，以理解現實世界的數量關系，把握空間形式。

小學生的數學思考是基于直觀的，并且需要適時的調控。小學生的思維以形象思維為主，抽象思維能力、邏輯推理能力及運算能力還不足，需要直觀“媒介”來引導和調控。鄭毓信教授說：“我們應當鼓勵學生借助于圖形，特別是采用概念圖和流程圖對思維過程作出理解與分析，等等。因為，這顯然十分有益于主體對已有思想的自我梳理、評價與改進，包括我們如何能夠跳出細節建構起整體性、結構性的認識。”[7]因此，教師需要做的，其實就是在已有的知識經驗和學習目標之間為學生搭建一些形類表征的“腳手架”，讓學生的思考能夠有“形”可用、有“路”可轉，從而將思考外顯并讓各種思考表征進行恰當地轉換和整合。在適時調控之中，讓思考能夠不斷地完善和深入，讓思維能夠不斷地嚴密和發散，真正達到對知識本質的深度理解，并將思維水平不斷引向高處。

1.嚴密表征，助推邏輯思維提升

數學思維的發展需要一定的數學推理能力，運算律和計算教學是發展數學推理能力和數學思維的最佳載體。小學生思維以具體形象為主，對于數學運算律的驗證和算理的解釋雖不需要他們進行十分嚴格的證明，但從思維的邏輯性和嚴密性角度考慮，依然需要能夠用恰當的方式進行多樣的解釋和說明，以經歷數學“再發現”過程[8]和發展演繹推理能力，而形類表征恰好可以解決這一問題，即讓學生的解釋過程化抽象為直觀、化深奧為易懂、化雜亂為有序，讓學生的思考可視且易于調控、學習能夠深入淺出、思維達到邏輯縝密。

例如，在學習“乘法分配律”時，在創設的具體情境和問題解決過程中，學生會得到形如a×（b+c）和a×b+a×c的兩種算式，并通過舉例驗證知道兩種算式結果相等。這時還需啟發思考：“能不能借助形類表征來驗證和解釋運算律的正確性？”學生在嘗試畫圖后發現用“求長方形面積”的方式來表征解釋是比較合適的，即乘法分配律的“分與合”兩種算式其實分別對應著圖形面積解決的兩種方法：“分割”和“拼接”。這樣的教學，通過形類表征在“圖”與“式”之間建立聯系，然后進行對照、分析和相互印證以解釋和驗證乘法分配律的正確性，不僅讓思考過程得到直觀外顯，還讓思維經歷了一個從合情推理到演繹推理的嚴密完美之旅，從而深度理解規律的本質內涵，并讓思考更為邏輯、推理更為嚴密、思維更為高階。

2.協同表征，促進創新思維發展

創新思維是一種非常重要的高階思維，是指打破固有的思維模式，從新的角度、新的方式去思考，得出不一樣的且具有創造性結論的思維方式[9]。創新并不是讓學生在解決問題時憑空地求異求新，而是要學生在學習中善于運用歸納類比、協同聯想等方式猜想、推斷和發散，并在思維的困惑處和關鍵處及時運用教師給他們提供的一些可進行直觀猜想及推測的形類表征素材分析問題與解決問題，從而發展創新思維。

例如，在教學圓柱時遇到的問題：“用長方形鐵皮來圍圓柱體（底面另加），何種圍法圍出的圓柱容積最大？”當然，學生可通過將長方形的長和寬進行設數，求出兩種圍法圍成的圓柱的容積并進行比較。若教學只停留于此，則學習是淺層的，思維也是低階的。如能將圓柱體積推導圖（如圖3）直觀地提供給學生，并引導學生對兩種素材進行類比聯想，那么學生可能會發散思維并產生新的思考：“不計算能不能解釋或說明以長方形的長為底面周長圍成的圓柱體的容積是最大的？”此時學生自然會轉到“兩種圍法異同之處”的比較之中，并發現其中的“變與不變”：“所圍圓柱體的底面半徑變了，但側面積不變。”之后，再聯系圓柱體體積推導圖，進一步發現：“由于圓柱的體積=圓柱側面積的一半×半徑，所以當圓柱側面積一定，半徑與體積成正比例，即以長方形長為底面周長比以寬為底面周長圍成的圓柱的底面半徑大，而側面積一樣，故所圍體積大。”這樣的教學活動，通過提供不同形類表征的素材，為學生比較、猜想和推理提供機會，使他們在貌似平常的信息中發現不尋常之處并產生頓悟，從“新”角度發現“新”的結論。學生的思考清晰可見，創新意識躍然紙上，創新思維也在潤物無聲中得到發展。

三、表征表達，培養數學的語言

著名教育家斯托里亞爾提出：“數學教學就是數學語言的教學！”[10]數學作為解決問題的載體、理解數學世界的工具，需要數學的語言。借助數學語言可以進行思維、表達與交流，也可以去認識、理解與反映現實世界[11]。數學語言的表達就是把思考數學對象、解決數學問題的過程用數學語言表示出來，清楚地闡明自己的觀點和意見[12]，深入地揭示其中的數學思想。所以，數學語言的表達需要基于推理且合乎邏輯。然而，小學生是以直觀形象思維為主，抽象概括能力還不是很強，數學符號化程度和理解水平也還不是很高，還未形成一定的表達模型，因此在運用數學的語言進行表達時，宜借助一些形類語言為學生在數學表達時創造一些可直觀理解與表征的“抓手”，讓他們在遷移已有的知識與經驗、開展數學類比與聯想活動，以及關聯知識之間內在聯系的過程之中能進行清晰、系統和嚴謹的表達，這樣不僅能降低數學表達的難度，讓表達有“階”可拾，而且能提升數學表達的質量即讓表達有“規”可尋。

1.遷移經驗表征，讓數學語言嚴謹縝密

數學語言的表達過程是學生充分調動原有知識經驗和數學語言嘗試理解與表達新問題、同化與建構新知的過程。因此，教師在教學中需要幫助學生找到學習的“最近發展區”，為他們搭建好數學學習與交流的腳手架，找到直觀地理解和把握新知的數學語言，并引導他們主動遷移已有的知識經驗進行嚴謹地理解和縝密地表達，這樣不僅能讓學生的數學語言在直觀可視的表達運用之中實現新知的建構與本質的理解，而且還能有效地提高學生數學語言的表達能力。

對于三年級學生來說，分數的定義雖然準確簡練，但實際教學中學生還是比較難理解的，因為在學習“分數的再認識”時，學生的認知將從“一個物體”平均分，得到“幾分之一”的較易理解的直觀層次發展到“一些物體”平均分，得到“幾分之一”的較難理解的抽象層次。這是分數認識的一次提升與擴展，特別是“單位1”概念的擴展對以形象直觀思維為主的三年級學生來說是一次較大的挑戰，其主要困難在于“原來是將一個物體平均分，得到幾分之一，而現在是將一些物體平均分，怎么還是得到幾分之一？”因此，在教學中，可先回顧三年級上冊分數１/2的產生過程并用畫圖的方法將過程完整地表達出來，喚醒記憶為新知學習作鋪墊。然后，出示主題圖讓學生嘗試畫出理解過程，并引導他們思考：現在將6個桃平均分成幾份？每只小猴分得其中的幾份？每只小猴分得這些桃子的幾分之一呢？然后再與原來分一個桃的過程比較，找出異同點。由此學生可知：不同點是分得桃子的數量不一樣，即原來是“一個”而現在是“一些”；共同點是都是2份中的1份，都可用1/2表示。最后，讓學生繼續運用形類數學語言類比表征“將一些物體平均分，得到1/3、1/4等分數”的完整過程，進一步深化對“單位1”概念擴展的認知。這樣，學生在聯系生活經驗、遷移已有認知、借助知識之間的連接點，以及運用直觀形類語言表征建構分數的過程之中，就能比較清晰地理解與把握分數的本質及其意義的擴展，同時還能發展學生基于直觀經驗遷移又合乎邏輯的數學語言表達能力，從而讓學生的數學語言表達更為嚴謹和縝密。

2.類比聯想表征，讓數學語言清晰準確

數學學習離不開數學概念的理解和掌握。數學概念建立之后，能否準確地運用數學語言表達自己對概念的理解和認識，將直接影響數學知識的有效建構，以及學習水平的提升。數學概念雖然比較抽象，但它們都有著具體的背景且不是孤立的存在的。鄭毓信教授強調：“從概念的學習角度去分析，我們在教學中不應唯一地強調概念的生成，而應十分重視概念的分析與組織。”[13]因此，在新的概念學習和數學表達時，需要讓學生通過類比和聯想尋找概念之間的內在聯系，借助已有的、與之關聯的概念輔助理解，并將抽象的概念轉換成恰當的形類語言進行表征，以撥開浮于概念表面的抽象的語言和符號，從而給數學表達提供更易理解和操作的直觀模型，以深入概念的內部并達到對其來龍去脈及其本質內涵的深度理解和掌握。

例如，在教學“質數和合數”時，可運用形類數學語言將抽象的因數個數進行直觀地表征，類比聯想成擺放物體或站立隊形的乘法面積模型。首先，引發思考：怎樣快速而不遺漏地找出一個數的所有因數？再類比聯想：這些成對的因數，可與生活中的哪些事例相關聯？會是什么乘法的模型？接著，構建模型以形象理解概念：怎樣用圖形將這個乘法面積模型數學地表達出來？這個數及其成對的因數分別對應著這個圖形的什么？然后，通過形類表征歸納概念本質：用面積是1cm2的小正方形畫圖或操作，分別擺出面積是1～10cm2的長方形，各有幾種擺法或畫法？最后，借助面積模型直觀表達和理解概念：按照擺法將長方形面積進行適當分類。這時，教師再相機出示質數與合數產生的現實背景，以及與之相關聯的著名的哥德巴赫猜想、密碼設定等知識。這樣的學習，不僅讓學生能基于推理進行形類的表征，以直觀形象、清晰準確地表達出概念的本質，同時還讓學生重走數學家之路，再現數學知識的創造過程，以深刻地感受數學文化的屬性并獲得成功的學習體驗。

3.關聯拓展表征，讓數學語言系統邏輯

用數學語言進行表達時，不能只進行單個素材的孤立表征而不去關聯多個素材進行拓展理解，那么這樣的數學表達只是淺層的，用來表達的數學語言也是割裂的。因此，在教學中教師要善于引導學生運用形類語言進行直觀的表征、關聯的表達，以幫助學生梳理清楚各個知識點的來龍去脈與本質，以及知識建構的內在邏輯和認知脈絡，從而切實減輕碎片化學習方式帶來的負擔，讓表達更為系統，讓思維更為邏輯。

小學階段涉及的平面圖形比較多，教師一般會讓學生表征理解各個圖形面積公式的推導方法，以及教材上所提供的認知脈絡和邏輯關系（如圖４），雖然這樣的學習也能關聯多個素材進行理解，從而搞清楚平面圖形建構的邏輯關系，但是這樣的關聯學習還是淺層的，學生的表達與表征路徑還是窄化的，學生的思維很難進階到更為高階的抽象拓展階段。所以，教學中，在學生整理出平面圖形面積公式的推導方法及其邏輯關系后，可引發思考 ：“學習了長方形面積之后，能否先推導出三角形（或梯形）面積公式，再由此推導出其他平面圖形的面積公式？請用形類數學語言把你的思考表達出來。”同時搭建“腳手架”：任意長方形都可分為兩個一樣的直角三角形或直角梯形。這樣，學生不難由長方形面積先推導出直角三角形或直角梯形的面積公式，再由此通過轉化推導出其他平面圖形的面積公式（如圖５）。接著，可以進一步引發思考：“你覺得在這些平面圖形當中，哪一個面積計算方法最為特別，并可用來統整所有平面圖形的面積計算？”學生通過觀察、比較、嘗試、交流、思考與糾錯，最終發現可用梯形面積公式來統整：長方形和平行四邊形可看成上下底相等的梯形，三角形和圓都可以看成是上底為0的梯形，只不過圓的下底是其周長而高是其半徑。這樣，學生對平面圖形面積的認知在梯形的統整下實現了關聯程度更高的一致性。

這樣的學習，先通過對平面圖形面積推導及其聯系的回顧，實現知識內容的結構化。然后又創建新的面積推導方法及其聯系，實現認知方式的結構化。接著又用梯形面積來統整所有面積計算，實現數學思想感悟的結構化。在整個的學習過程中，通過運用形類數學語言進行系統邏輯的表達，不但能提升學生把實際問題抽象成數學問題的能力，而且還能促進學生數學思想感悟、思維水平提升與核心素養發展，做到“化多為少、化復雜為簡單”[14]。

總之，運用形類表征的教學方式，是符合兒童心理與認知發展規律的，是提升學生數學核心素養的有效路徑，可以很好地將學生的數學觀察、數學思考與數學表達直觀地呈現出來，并有效地促進學生數學的眼光、數學的思維和數學的語言的提升與發展，從而讓學習變得更為輕松、讓理解變得更有深度、讓思維變得更為高階。

參考文獻

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［責任編輯：陳國慶］