極軸式定焦點菲涅爾聚光器的聚光理論與實驗研究

王海 伍俊研 謝沛爍

（肇慶學院機械與汽車工程學院 廣東肇慶 526061）

0 引言

在菲涅爾透鏡的設計中，通常采取一般設計方法，即選取太陽光譜中某一代表波段在PMMA 材料中的折射率作為設計基準，繼而對透鏡的相關參數進行設置。因在地面上觀測的太陽輻射的波段范圍大約為0.295～2.5 μm，其在PMMA 材料中的折射率均不相同，導致不同波長的光在菲涅爾透鏡中所形成的焦距不同，即形成色散。LORENZO 等［1］提出色散的存在會降低菲涅爾透鏡的聚光效率，尤其對聚光比大、焦徑比小的菲涅爾透鏡的影響更大；JING 等［2］則結合上述太陽光譜特性和多焦點設計方法，設計了1 種應用于光伏系統的高聚光比菲涅爾透鏡。上述研究均表明，菲涅爾透鏡在太陽能領域的應用中需考慮色散帶來的影響，尤其是聚光比高、焦徑比小的菲涅爾透鏡。另外，由于菲涅爾透鏡在設計過程中的入射光線為平行光，而太陽光并非絕對的平行光，具有16′的半平均視角，該視角的存在對焦平面處形成的焦斑具有增大趨勢［3］。而常見的太陽能集熱器的開口直徑一般在120 mm 左右。若聚光器跟蹤精度不夠，太陽光傾斜入射，則可能會導致焦斑脫離太陽能集熱器開口范圍。

本文提出1 種確定菲涅爾透鏡最小焦斑半徑的方法，并將菲涅爾透鏡到該焦平面的距離作為菲涅爾透鏡理論焦距。在筆者前期提出的極軸式定焦點菲涅爾聚光器的工作基礎上［4］，進一步研究聚光器全年的聚光焦斑偏移情況，驗證該聚光器可實現全年定焦點聚光，為后期極軸式定焦點菲涅爾聚光器的應用提供依據。

1 菲涅爾透鏡理論焦距及焦斑半徑

本文所用菲涅爾透鏡為單焦點菲涅爾透鏡，如圖1（a）所示。圖1（b）為菲涅爾透鏡理論聚光原理圖。實際太陽光垂直照射聚光過程中，由于太陽光具有16′的半平均視角以及色散作用的存在，導致在菲涅爾透鏡焦平面處形成的是具有一定大小的圓形焦斑，而非理想情況中的點。同時，由圖1（b）可知，在設計焦距f 下形成的焦斑半徑不一定為最小值。為了能夠在實際應用中提高菲涅爾透鏡的聚光比，則需要計算出該菲涅爾透鏡的最小焦斑半徑和對應的位置，并分別作為理論焦斑半徑和理論焦距。

圖1 菲涅爾透鏡光學原理圖

圖2 為菲涅爾透鏡理論焦距計算原理圖。一般可認為菲涅爾透鏡最外環形成的焦斑大小可以類比為透鏡形成的焦斑大小。為從理論上驗證聚光器可實現全年定焦點聚光，則要求理論推導出的最外環焦斑在全年的偏移情況均在允許范圍以內，即焦斑中心不脫離集熱器開口范圍。同時采用CCD 對實際聚光焦斑進行拍攝，與理論推導結果進行對比分析，驗證聚光器可實現定焦點聚光。實驗所拍攝的焦斑為可見光形成的焦斑［5］。因此，在理論推導菲涅爾透鏡焦斑時，選取太陽輻射的波段范圍0.4～0.76 μm 的可見光作為研究對象。

圖2 中T、C、B 等3 條線分別代表太陽光中的頂部光線、中心光線、底部光線。由于不同波長的光在PMMA 材料中的折射率不同，故聚光后所形成的焦點位置也不相同。德國肖特（Schott）玻璃公司給出了PMMA 材料的色散公式如式（1）：

式中：a0=2.18 645820；a1=-2.44753480×10-4；a2=1.41557870×10-2；a3=-4.43297810×10-4；a4=7.76642590×10-5；a5=-2.99363820×10-6。

由色散公式計算得到的折射率可知，入射光的波長越大，其在PMMA 材料中的折射率越小。為了準確計算菲涅爾透鏡的理論焦距位置以及焦斑半徑，本文選取0.4 μm 和0.76 μm波長的光作為計算基準，在PMMA 材料中對應折射率分別為1.507 3、1.486 6。結合菲涅爾透鏡聚光過程中的極限位置，即考慮T 光線中的0.76 μm 的光波和B 光線中的0.4 μm 的光波經菲涅爾透鏡聚光后所形成的疊加區域最小位置和對應的半徑分別作為理論焦距和焦斑半徑。

由圖2 可知，對于T 光線中的波長0.76 μm 的光，根據光的折射定律式（2）和式（3）：

式中：ε 為太陽光半平均視角；N 為空氣折射率，近似等于1；Nn為波長0.76 μm 的光在PMMA 中折射率；βn為其第一折射角；κn為其第二折射角；αm為菲涅爾透鏡最外環（第m 齒）的傾斜角，其中透鏡半徑為R，環距為b，鏡面厚度為t。

由幾何關系可得式（4）：

同理可知，對于對于B 光線中的波長0.4 μm 的光，根據光的折射定律式（5）和式（6）。

式中：N1為波長0.4 μm 的光在PMMA 中折射率；β1為其第一折射角；κ1為其第二折射角。由幾何關系可得式（7）：

由上述0.4 μm 和0.76 μm 的波長光所得對應的焦距f1、fn以及相關幾何關系，則可得式（8）和式（9）：

式中：f0為理論推導所得焦距，r0為理論推導所得焦斑半徑。

圖3 展示了極軸式定焦點菲涅爾聚光器的工作原理。在聚光器進行固定焦點聚光跟蹤時，它首先會根據太陽赤緯角的大小，繞赤緯軸進行俯仰運動定軌，然后沿極軸自東向西跟蹤太陽，跟蹤角速度與地球自轉角速度相同。因此，菲涅爾透鏡與極軸呈現出空間對稱性。菲涅爾透鏡會根據太陽赤緯角的變化，沿著以赤緯軸為轉動中心、透鏡焦距F 為半徑的圓弧軌跡上移動。當太陽的光垂直照射在菲涅爾透鏡上時，其聚光焦斑正好落在極軸與赤緯軸的交匯位置。

圖3 極軸式定焦點菲涅爾聚光器工作原理圖

2 聚光焦斑偏移情況分析

2.1 理想跟蹤條件下聚光焦斑偏移

在理想跟蹤條件下，聚光器與入射太陽光不存在跟蹤角度誤差，但聚光器在跟蹤太陽位置的過程中，接收器平面與聚光器除特殊位置保持平行狀態外，其余位置均存在夾角θ'，即菲涅爾透鏡光軸與接收器平面法線存在夾角θ'。由圖4、圖5所示，聚光焦斑形狀位置會隨著夾角的變化而改變。

圖4 赤緯角0°≤δ≤+23°27′時理想跟蹤條件下聚光焦斑形狀位置變化圖

圖5 赤緯角-23°27′≤δ≤0°時理想跟蹤條件下聚光焦斑形狀位置變化圖

對固定安裝的接收器平面，菲涅爾透鏡的光軸與接收器平面法線的夾角θ' 可用如下公式（10）計算：

式中：φ 為地理緯度；φ 為接收器傾角（接收器平面與地平面夾角）；γ 為接收器方位角；ω 為太陽時角；δ 為太陽赤緯角。

由于在該聚光器中，接收器平面傾角與當地緯度相同，且朝向正南，即φ=φ，γ=0°，上式可簡化為式（11）：

當赤緯角0≤δ≤+23°27′時，聚光焦斑偏移情況如圖4 所示。由圖4 中幾何關系可得式（12）和式（13）：

同理可知，當赤緯角-23°27′≤δ≤0°時，聚光焦斑偏移情況如圖5 所示。由圖5 中幾何關系可得式（14）和式（15）：

由圖4、圖5 可知，聚光焦斑長度為EG。

為了更準確地描述聚光器的焦斑位置偏移情況，本文將焦斑幾何中心的位置作為聚光焦斑位移中心。當聚光焦斑位移中心偏離半徑為60 mm 的圓環邊界時，表明聚光器無法實現定焦點聚光。通過對理論聚光焦斑的幾何關系進行計算，可以得到聚光焦斑位移中心與接收器平面幾何中心的位置偏差值，即焦斑中心偏差值。最后，計算該位置偏差值與圓環半徑（60 mm）的百分比值，可以得到相對位置偏差情況。

2.2 實際跟蹤條件下聚光焦斑偏移

為了研究極軸式定焦點菲涅爾聚光器的實際跟蹤條件下的聚光焦斑偏移情況，把廣州地區（北緯23°08′）作為研究對象，搭建定焦點聚光性能測試系統，測量裝置主要包括極軸式定焦點聚光器、直射輻照計、朗伯靶、CCD 照相機、中性密度濾光片（ND-filter）和數據采集系統，如圖6 所示。

圖6 定焦點聚光性能測試系統

該聚光器中采用的菲涅爾透鏡中PMMA 材料折射率n=1.49，半徑R 為550 mm，環距b 為1 mm，焦距f 為1 000 mm。其中菲涅爾透鏡最后外環的傾斜角tanαm=0.797。由式（2）～（9）可得，該菲涅爾透鏡的實際焦距f0=936.2 mm，焦斑半徑r0=936.2 mm；聚光器的極軸跟蹤裝置為光電式單軸太陽能跟蹤器；聚光器赤緯角跟蹤以手動調節的方式實現。太陽直射輻射采用FZ-A 型直射輻照計測量，其準確度為±5%。朗伯靶是規格為240 mm×240 mm 的矩形鐵靶，該朗伯靶通過安裝在可調節平臺上將其調至聚光器焦點處，此外對靶表面噴涂漫反射率達到90%以上的Al2O3，使其接近于朗伯反射面。實驗采用卡西歐數碼相機作為探測器采集聚光焦斑的圖像信息，前方放置中性密度濾光片。最后通過數據采集系統對圖像進行二值化、去除噪聲等操作，采用橢圓擬合的方式求取圖像中的焦斑長度以及焦斑中心偏差值。

由圖3 可知該聚光器為南北放置，東西跟蹤的方式，并根據實驗當天太陽赤緯角（-23°07′）調整聚光器赤緯軸轉動角度。選取真太陽時10∶00、12∶00、14∶00 時刻進行定焦點聚光性能測試實驗，實驗過程中太陽直射輻射值基本維持在（540±5）W/m2范圍，利用CCD 相機對朗伯靶上的聚光焦斑進行拍攝。實驗處理后的聚光焦斑橢圓擬合圖如圖7 所示，其中X 軸表示南北方向，朝南為正；Y 軸表示東西方向，朝東為正。

圖7 不同真太陽時下聚光焦斑分布情況

同時根據實驗相關參數，利用式（14）、（15）等計算理想跟蹤條件下聚光焦斑偏移情況，可得理想和實際跟蹤條件下聚光焦斑偏移情況如表1 所示。對實驗所得的焦斑圖進行測量，可得到聚光焦斑中心與朗伯靶幾何中心的位置偏差值，并計算該位置偏差值與圓環半徑（60 mm）的百分比值，即可得到焦斑相對位置偏差情況。理論分析結果中焦斑相對位置偏差最大值為7.0%，對應的焦斑長度為161.0 mm；實驗結果中焦斑相對位置偏差最大值為11.2%，對應的焦斑長度為151.5 mm，且焦斑均基本分布在半徑為60 mm 圓環區域內。表明理論分析與實驗結果都能實現定焦點聚光，且聚光焦斑長度基本一致，即理論分析模型可靠，可利用上述理論模型驗證該聚光器定焦點聚光的可靠性。

表1 理想與實際跟蹤條件下聚光焦斑偏差情況

2.3 聚光器全年聚光焦斑偏移

為了更全面地驗證聚光器的定焦點聚光的可靠性，并確定接收器平面上的焦斑位置偏差范圍，本文選取聚光器在全年運行過程中的極端位置進行理論模型分析。繼續以廣州地區作為研究對象，選取太陽赤緯角分別-23°27′、0°、+23°27′時，對應真太陽時為10∶00～14∶00 范圍內，時間間隔為2 h 的聚光焦斑變化情況進行模擬研究。如表2 所示為極軸式定焦點聚光器全年聚光焦斑偏差情況，由表2 中可知，聚光器全年運行過程中，焦斑長度最大值為162.2 mm，對應的焦斑中心偏移量為4.3 mm，相應的太陽位置為太陽赤緯角-23°27′和+23°27′，真太陽時為10∶00 和14∶00 時刻。盡管焦斑長度最大值為162.2 mm，但對應的焦斑中心偏差值僅為4.3 mm，相對位置偏差值為7.2%，焦斑中心依然包含于半徑為60 mm 的圓形區域內，即極軸式定焦點聚光器能夠實現全年固定焦點聚光。

表2 全年聚光焦斑理論位置偏差情況

3 結論

本文針對聚光比高、焦徑比小的菲涅爾透鏡，理論推導了菲涅爾透鏡的理論焦距及焦斑半徑。并在此基礎上對菲涅爾極軸式固定焦點聚光器，作了定焦點聚光的原理分析。為驗證該聚光器的定焦點聚光的可靠性，采用理論模型分析和定焦點聚光性能實驗結合，得到結論如下：

（1）由于實際太陽光具有16′的半平均視角以及色散作用的存在，提出聚光比高、焦徑比小菲涅爾透鏡理論焦距及焦斑半徑確定的計算公式。

（2）通過理論模型分析與定焦點聚光性能實驗的對比研究可知，理論分析結果中焦斑相對位置偏差最大值為7.0%，對應的焦斑長度為161.0 mm；實驗結果中焦斑相對位置偏差最大值為11.2%，對應的焦斑長度為151.5 mm，且焦斑均基本分布在半徑為60 mm 圓環區域內。表明理論分析與實驗結果都能實現定焦點聚光，且聚光焦斑長度基本一致，即理論分析模型準確可靠。

（3）進一步對全年聚光器全年聚光焦斑偏移情況分析可得，焦斑長度最大值為162.2 mm，對應的焦斑中心偏差值僅為4.3 mm，相對位置偏差值為7.2%，焦斑中心依然包含于半徑為60 mm 的圓形區域內，即極軸式定焦點聚光器能夠實現全年固定焦點聚光。