基于溫度修正J-A 模型的交流繼電器電磁熱耦合仿真

董玉華 DONG Yu-hua

（上海電力大學(xué)，上海 201306）

0 引言

交流繼電器是電器中常用的一種電磁機(jī)構(gòu)，由于其具有體積小、安裝空間小和結(jié)構(gòu)緊湊等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于空間緊湊的電器中。在繼電器穩(wěn)定運(yùn)行中，溫度是影響其性能的重要指標(biāo)之一。隨著人民生活水平的不斷提高，用電量的急劇攀升，繼電器存在過(guò)載的情況，導(dǎo)致發(fā)熱量增大。與此同時(shí)我國(guó)南北環(huán)境差異很大，繼電器又需要在惡劣溫度條件下工作。溫度對(duì)繼電器的影響越發(fā)明顯，故對(duì)繼電器的溫升分析，具有重要的意義。

為研究不同工況下交流繼電器的溫度場(chǎng)，需考慮鐵芯磁滯曲線、線圈電阻與溫度的關(guān)系，使繼電器鐵芯和線圈等發(fā)熱情況變得復(fù)雜。文獻(xiàn)[1-9]通過(guò)輸入發(fā)熱功率等建立溫度場(chǎng)模型，從而求解出溫度的分布，該方法只適用于直流電磁機(jī)構(gòu)。而對(duì)于交流電磁機(jī)構(gòu)，為研究交流繼電器的溫升，需先對(duì)鐵芯磁滯回線的溫度特性進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，再進(jìn)行電磁仿真進(jìn)而實(shí)現(xiàn)電磁熱耦合。文獻(xiàn)[10]基于有限元和動(dòng)態(tài)磁場(chǎng)模型進(jìn)行磁損耗計(jì)算。但沒有考慮溫度因素對(duì)磁特性的影響。文獻(xiàn)[11]通過(guò)引入溫度、臨界指數(shù)、居里溫度等附加參數(shù)，對(duì)J-A 模型原有參數(shù)進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)J-A 模型在磁場(chǎng)考慮溫度特性的仿真。文獻(xiàn)[12]通過(guò)增加材料的居里溫度、臨界指數(shù)等附加參數(shù)，將磁場(chǎng)的溫度特性引入原Preisach 模型。但沒用優(yōu)化算法來(lái)提高對(duì)參數(shù)辨識(shí)的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[13]既引入溫度因子表征溫度對(duì)飽和磁化強(qiáng)度的影響，又采用模擬退火粒子群算來(lái)優(yōu)化仿真。采用該算法進(jìn)行仿真具有實(shí)現(xiàn)過(guò)程簡(jiǎn)單、執(zhí)行高效等優(yōu)點(diǎn)，但也存在容易陷入局部最優(yōu)等特點(diǎn)。

本文借鑒以上文獻(xiàn)中的方法，并考慮到J-A 磁滯模型是目前最為常用的磁滯模型，具有參數(shù)少、運(yùn)行效率高、物理意義清晰等優(yōu)點(diǎn)[14]。提出改進(jìn)的溫度修正J-A 磁滯模型，還提出了一種基于GA、SA 和TS 的混合優(yōu)化算法，并通過(guò)該混合優(yōu)化算法對(duì)改進(jìn)的溫度修正J-A 磁滯模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。通過(guò)多物理場(chǎng)的基本理論，并分析繼電器熱量的來(lái)源，推導(dǎo)出電磁熱耦合控制方程。運(yùn)用有限元的基本知識(shí)，考慮線圈隨溫度變化及混合優(yōu)化算法辨識(shí)的隨溫度變化的參數(shù)，建立電磁熱耦合模型，對(duì)電磁熱耦合偏微分方程進(jìn)行求解，得到各部件在不同環(huán)境溫度及激勵(lì)電壓下的溫升情況。

1 模型建立

1.1 勵(lì)磁電路數(shù)學(xué)模型

在交流繼電器中，線圈等效為電感L 與電阻R 的串聯(lián)，如圖1 所示。當(dāng)繼電器通電后，激勵(lì)電壓可用微分方程表示為：

圖1 交流繼電器等效勵(lì)磁電路圖

式中：u（t）交流電電壓；i（t）交流電電流；R1、R2和R3分別為線圈1、2 和3 的電阻；L1、L2和L3分別為線圈1、2和3 的電感。

1.2 電磁場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

交流繼電器在工作狀態(tài)下，繞組電流在鐵芯構(gòu)成的磁體中產(chǎn)生交流磁場(chǎng)。在交變磁場(chǎng)的作用下，鐵芯內(nèi)產(chǎn)生渦流。非渦流區(qū)由骨架、頂針、線圈等組成。對(duì)于渦流區(qū)，基于矢量磁位的控制方程為：

對(duì)于非渦流區(qū)，控制方程為：

矢量磁位的微分方程邊界條件為：

式中：μ0真空磁導(dǎo)率；μr為相對(duì)磁導(dǎo)率；σ 為電導(dǎo)率；ε為材料的介電常數(shù)；A 為矢量磁矢位；M 為磁化強(qiáng)度；Je為線圈繞組的電流密。

1.3 溫度場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

交流繼電器產(chǎn)生的熱損耗通過(guò)傳導(dǎo)、對(duì)流和輻射散失到周圍的介質(zhì)中去。由于繼電器內(nèi)部密閉，內(nèi)部空氣對(duì)流很緩慢，本文在進(jìn)行熱分析時(shí)，把內(nèi)部按傳導(dǎo)來(lái)處理，忽略對(duì)流和輻射的影響。

式中：ρ 為密度；Cp為比熱容；T 為溫度；λ 為導(dǎo)熱系數(shù)；Q 為熱源的生成熱。

由于繼電器在極短時(shí)間內(nèi)瞬間承受能量的電流，其自身產(chǎn)生的熱量無(wú)法及時(shí)散失到外界去，整個(gè)過(guò)程近似為絕熱升溫過(guò)程，故外界的溫度為電器內(nèi)的環(huán)境溫度，邊界條件為：

式中：Tf為環(huán)境溫度。

1.4 電磁熱耦合計(jì)算

在交流繼電器通電過(guò)程中，各部件產(chǎn)生溫升所需的熱量主要由鐵芯產(chǎn)生的磁滯損耗、渦流損耗及其線圈繞組產(chǎn)生的焦耳熱組成。其中，由于繼電器正常工作時(shí)，在半個(gè)近似正弦波范圍內(nèi)，對(duì)鐵芯的磁滯損耗影響較小，故本文忽略鐵芯的磁滯損耗。

方程式（2）中，鐵芯的渦流密度為：

方程式（3）中，線圈繞組的電流密度為：

根據(jù)方程式（5）可知，交流繼電器各個(gè)部件的生成熱Q 為：

式中：N 為線圈匝數(shù)；S 為導(dǎo)體截面面積；e 為電流源指向待求場(chǎng)點(diǎn)的單位向量；Js為渦流密度。

對(duì)于傳熱過(guò)程，由傅利葉定理可以得到電磁熱耦合控制方程為：

1.5 溫度對(duì)鐵芯的影響

繼電器中所用的鐵芯屬于鐵磁材料，由于其內(nèi)部存在著磁疇，具有磁化率非定值的特點(diǎn)。磁疇是存在于鐵磁金屬內(nèi)，是鐵磁材料特有的。溫度對(duì)鐵磁材料磁化特性的影響就體現(xiàn)在對(duì)磁疇的影響上[15]。隨著溫度的升高，鐵磁質(zhì)的磁性將逐漸降低，即磁化強(qiáng)度數(shù)值將會(huì)減小，在達(dá)到某個(gè)臨界溫度時(shí)，磁疇將完全消失。J-A 模型為：

對(duì)J-A 中參數(shù)進(jìn)行溫度修正后，即可得到任意溫度下磁滯回線。

在低于居里溫度時(shí)，磁化強(qiáng)度Ms 隨溫度變化可近似表達(dá)如下：

對(duì)J-A 模型中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行溫度修正即可得到改進(jìn)后考慮溫度的J-A 模型。設(shè)常溫T0下，J-A 模型參數(shù)分別為Ms（T）、kn（T）、an（T）、αn（T）和cn（T）。借鑒文獻(xiàn)[11]，提出溫度修正公式為：

式中：Ms為飽和磁化強(qiáng)度；Man為無(wú)磁滯磁化強(qiáng)度；kn為磁滯損耗參數(shù)；an為無(wú)磁滯磁化曲線形狀的參數(shù)；αn為磁疇內(nèi)部耦合的平均場(chǎng)參數(shù)；cn為可逆磁化系數(shù)；δ 為方向參數(shù)，當(dāng)dH/dt＞0 時(shí)，δ=1，當(dāng)dH/dt＜0 時(shí)，δ=-1；TC為居里溫度；β 為臨界指數(shù)。

1.6 溫度對(duì)線圈電阻的影響

繼電器線圈中，金屬導(dǎo)線的電阻率隨著溫度的變化而變化。當(dāng)溫度高時(shí)，金屬中分子熱運(yùn)動(dòng)加劇，阻礙電子的定向運(yùn)動(dòng)，從而導(dǎo)致電阻率增大；反之，電阻率減小。

電阻率ρ 與溫度θ 之間的關(guān)系近似為：

式中：ρ0為0℃時(shí)的電阻率；ωk為電阻溫度系數(shù)。

2 磁滯回線的仿真分析

雖然J-A 模型可以精確地模擬磁滯回線，但其準(zhǔn)確性與參數(shù)的初始值選取密切相關(guān)，參數(shù)取值不夠精確，模擬值與實(shí)驗(yàn)值之間會(huì)有較大的出入。為克服這一缺點(diǎn)，本文采用遺傳GA、模擬退火SA 和禁忌搜索TS 的混合優(yōu)化算法。

為對(duì)優(yōu)化算法的求解精度進(jìn)行準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)，本文引入了對(duì)誤差極為敏感的擬合標(biāo)準(zhǔn)差-均方根誤差[16]作為優(yōu)化算法的評(píng)價(jià)指標(biāo)，即目標(biāo)函數(shù)，從而將J-A 模型仿真問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)最小值的優(yōu)化問題。目標(biāo)函數(shù)如下所示。

式中：Rf為均方根誤差值；Bme為磁感應(yīng)強(qiáng)度實(shí)測(cè)值；Bca為在優(yōu)化算法中計(jì)算所得值；N 為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

在混合算法中，將GA 作為整體框架來(lái)控制整體結(jié)構(gòu)和進(jìn)程，利用GA 搜索能力強(qiáng)的特點(diǎn)，作為最優(yōu)解的搜索方式，利用SA 的Metropolis 接受準(zhǔn)則得到的解作為TS 的初始解，通過(guò)禁忌表和藐視規(guī)則取得最優(yōu)解；將TS 選出的最優(yōu)解作為GA 的初步解，以此來(lái)不斷縮小范圍，最終獲得全局最優(yōu)解。具體混合算法的流程如圖2 所示。

圖2 混合優(yōu)化算法的流程框圖

為驗(yàn)證混合優(yōu)化算法在J-A 磁滯模型參數(shù)辨識(shí)問題上的準(zhǔn)確性與有效性，本文隨機(jī)選取參數(shù)利用J-A 基本磁滯理論生成一條理論磁滯曲線作為基準(zhǔn)磁滯曲線。然后，分別用GA、SA、TS 和所提混合優(yōu)化算法對(duì)基準(zhǔn)磁滯曲線進(jìn)行J-A 磁滯模型參數(shù)辨識(shí)?；敬艤鼐€參數(shù)值及其各參數(shù)的區(qū)間范圍，如表1 所示。

表1 基本磁滯回線參數(shù)值及其各參數(shù)的區(qū)間范圍

按照表1 中的各參數(shù)區(qū)間范圍，分別基于GA、SA、TS和混合優(yōu)化算法對(duì)J-A 磁滯模型參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果，如圖3所示。

圖3 基于各算法所得參數(shù)生成的仿真磁滯曲線與基準(zhǔn)磁滯曲線的對(duì)比圖

由圖3 分析可知，通過(guò)TS 算法對(duì)參數(shù)辨識(shí)的精度最差，是由于初始解對(duì)TS 算法的性能影響較大，初始解的質(zhì)量越高，其效率和準(zhǔn)確度也越高。由GA 和SA 算法得到的磁滯曲線與基準(zhǔn)磁滯曲線之間均具有一定偏差，這是因?yàn)镚A 和SA 在辨識(shí)模型參數(shù)時(shí)均存在誤差。而混合優(yōu)化算法生成的仿真磁滯曲線和基準(zhǔn)磁滯曲線的吻合度較高，整體誤差更小、辨識(shí)精度更高。根據(jù)仿真結(jié)果，分別計(jì)算各算法生成的磁滯曲線與基準(zhǔn)磁滯曲線之間的均方根誤差，結(jié)果如表2 與圖4 所示。

表2 各算法的均方根誤差

圖4 基于各算法均方根誤差對(duì)比圖

由圖4 可知，受初始解質(zhì)量限制的TS 算法最快收斂于全局最優(yōu)值附近，但在第18 次迭代陷入局部最優(yōu)值；GA 快速迭代到第141 次后收斂速度開始放緩，并最終收斂于最優(yōu)解；SA 經(jīng)345 次迭代后收斂速度開始變緩，當(dāng)?shù)螖?shù)超過(guò)624 次時(shí)，收斂于當(dāng)前最優(yōu)解，符合SA 算法穩(wěn)步趨于全局最優(yōu)解的特點(diǎn)；混合優(yōu)化算法在第2 次迭代時(shí)就已收斂于全局最優(yōu)值附近，在第20 次迭代后滿足終止條件，輸出全局最優(yōu)值。

綜上結(jié)果表明，基于混合優(yōu)化算法的均方根誤差最小，與基準(zhǔn)磁滯曲線的吻合度最高，證明了該混合優(yōu)化算法的有效性。

3 仿真與驗(yàn)證

3.1 混合優(yōu)化算法仿真結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證混合優(yōu)化算法在溫度修正的J-A 磁滯模型參數(shù)辨識(shí)的準(zhǔn)確性和該溫度修正方法的可行性。本文鐵芯材料為新日鐵生產(chǎn)的冷軋有取向硅鋼片（Z110），取文獻(xiàn)[11]中相同材料下-15℃和85℃時(shí)極限磁滯回線的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。利用上述混合優(yōu)化算法，并結(jié)合式（8）-式（12），辨識(shí)出溫度修正的J-A 磁滯模型中的Ms、α、k、a、c、β 參數(shù)。該參數(shù)生成的仿真磁滯曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比如圖5 所示。

圖5 混合優(yōu)化算法的模擬磁滯曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比

由圖5 可知，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致性較好，驗(yàn)證了混合優(yōu)化算法的有效性和實(shí)用性，并驗(yàn)證了溫度修正方法的可行性。

3.2 繼電器電磁熱仿真與驗(yàn)證

根據(jù)第1 節(jié)中所述的電磁熱耦合數(shù)學(xué)模型及其上述混合優(yōu)化算法得到的不同溫度下鐵芯磁滯曲線的仿真結(jié)果，建立繼電器電磁熱仿真模型。

繼電器線圈1 和2 的匝數(shù)為350 匝，線圈3 的匝數(shù)為700 匝，額定電壓為230Vrms/50Hz。仿真模型如圖6 所示。由于仿真時(shí)速度較慢，為提高仿真效率，忽略繼電器外殼、電路板、對(duì)仿真影響較小的圓角、倒角等細(xì)微結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)化處理后由于其結(jié)構(gòu)對(duì)稱性較好，電磁熱場(chǎng)計(jì)算由二維軸對(duì)稱的方式來(lái)進(jìn)行仿真。此外，熱時(shí)間尺度通常遠(yuǎn)大于渦流損耗隨時(shí)間的變化，且根據(jù)IEC61009 的脫扣時(shí)間值規(guī)定，滅弧+跳閘時(shí)間不超過(guò)10ms。繼電器通電后10ms 內(nèi)，鐵芯和頂針大多數(shù)時(shí)間都位于觸發(fā)外部機(jī)構(gòu)的位置。故仿真模型中頂針和鐵芯位于終點(diǎn)，如圖6 所示。

圖6 繼電器電磁熱仿真模型

鐵芯與線圈對(duì)溫度場(chǎng)有明顯影響，在細(xì)化網(wǎng)格時(shí)重點(diǎn)考慮。隨著激勵(lì)頻率的增加，渦流會(huì)越來(lái)越集中到鐵芯表面，故鐵芯上增加合適的邊界層。線圈骨架與線圈貼合，且與鐵芯靠近，故靠近線圈和鐵芯部分的網(wǎng)格要加密。頂針貼合鐵芯處的網(wǎng)格也要加密。電磁熱仿真模型如圖6 所示。

根據(jù)低壓漏電保護(hù)器的設(shè)計(jì)，繼電器工作范圍為50Vrms 至400Vrms，頻率為50Hz。本文研究當(dāng)輸入電壓分別為170Vrms、230Vrms、350Vrms 及其400Vrms 時(shí)，繼電器通電10ms 后線圈繞組的溫升情況列于表3 中。其他部件的溫升，如表4 所示。

表3 線圈電阻不隨溫度變化時(shí)溫升的仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

表4 繼電器各部件溫升

為驗(yàn)證電磁熱仿真模型的有效性，將繼電器通電10ms，頻率為50Hz 時(shí)，線圈溫升的計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如表3 所示。其中，線圈電阻為常溫情況下測(cè)得的阻值且不考慮渦流和感抗對(duì)線圈的影響。從表3 中可以看出，仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果最大誤差不超過(guò)1%，兩者結(jié)果一致性好，驗(yàn)證了該模型的有效性。

用上述驗(yàn)證過(guò)的電磁熱仿真模型，在考慮線圈電阻隨溫度變化因素且考慮渦流對(duì)線圈的影響下，繼電器通電10ms 時(shí)，各部件溫升情況列于表4 中。

從表4 可以看出，繼電器最高溫升出現(xiàn)在繞組上，為23.87K，其最高溫度為297.02K，遠(yuǎn)小于漆包線熱沖擊溫度448.15K。故在正常工作下，繼電器能穩(wěn)定運(yùn)行。

在相同的激勵(lì)電壓下，隨著環(huán)境溫度上升，各部件的溫升下降。因?yàn)殡S著溫度的升高，線圈電阻會(huì)增大，從而使電流下降，發(fā)熱量和磁場(chǎng)強(qiáng)度也隨之減少。磁場(chǎng)強(qiáng)度的下降，導(dǎo)致鐵芯內(nèi)渦流損耗減少，溫升下降。此外，隨著環(huán)境溫度變高，相同磁場(chǎng)強(qiáng)度下，鐵芯內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?nèi)?，使渦流損耗降低，鐵芯內(nèi)溫升下降。

從表4 中還能看出，鐵芯中的溫升非常小，這是因?yàn)樵诘皖l時(shí)，渦流損耗非常小，隨著頻率的增加，渦流損耗隨之增加。

由于渦流非常小，故忽略渦流損耗對(duì)線圈繞組的影響，考慮繞組隨溫度變化的影響，結(jié)果如表5 所示。

表5 溫度對(duì)繞組影響的溫升對(duì)比

由表5 可以看出，溫度變化對(duì)線圈繞組溫升影響的仿真結(jié)果最大相對(duì)誤差為104.33%?？梢?，線圈繞組的電阻隨溫度變化大，不能忽略溫度變化對(duì)線圈繞組溫升的影響。

4 結(jié)語(yǔ)

①通過(guò)繼電器電磁、熱的多物理場(chǎng)基本理論，并分析繼電器熱量的來(lái)源，推導(dǎo)出電磁熱耦合控制方程。②提出了一種改進(jìn)的溫度修正J-A 磁滯模型方法，辨識(shí)出模型中的參數(shù)后，可得到居里溫度下任意溫度的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)磁滯回線溫度特性的仿真。③基于GA、SA 和TS 提出了一種新的J-A 磁滯模型參數(shù)辨識(shí)混合優(yōu)化算法，其兼顧了GA全局搜索能力和SA、TS 的搜索精度高的特點(diǎn)。④結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，使用本文所提到混合優(yōu)化算法對(duì)改進(jìn)的溫度修正J-A 磁滯模型參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)，并對(duì)模擬磁滯曲線與實(shí)測(cè)磁滯曲線相對(duì)比，發(fā)現(xiàn)結(jié)果一致性較好，驗(yàn)證了該算法在磁性材料磁滯特性模擬研究中的有效性和實(shí)用性，并驗(yàn)證了改進(jìn)的溫度修正方法的可行性。⑤對(duì)忽略渦流損耗的繼電器電磁熱仿真，兩者結(jié)果比較可以看出，環(huán)境溫度及本身發(fā)熱引起的溫升對(duì)繼電器的影響較大，最大相對(duì)誤差為104.33%，表明仿真時(shí)需考慮材料溫度特性。