基于PINN的變截面壓電半導體纖維力學特性研究

吳文銳,房 凱,李 鵬,錢征華,2

(1.南京航空航天大學 航空學院,航空航天結構力學及控制全國重點實驗室,江蘇 南京 210016;2.南京航空航天大學 航空學院,直升機動力學全國重點實驗室,江蘇 南京 210016)

0 引言

壓電半導體材料兼具壓電特性和半導體特性,被用于制造各種電子器件,在智能材料與結構領域具有廣闊的應用前景。在壓電半導體材料中,機械力可產生極化電荷,與極化相關的電場驅動載流子定向移動,從而實現了機械載荷對載流子傳輸的控制,這種自供能特性為電子器件的微型化提供了便利。近年來,許多新的壓電半導體結構已經被合成,包括纖維、管、帶、螺旋和薄膜等[1-2],這些結構以單個或陣列的形式組成了許多新型電子器件,如場效應晶體管、壓電傳感器[3]、納米發電機[4-5]等,在工程應用中發揮著重要作用。

已有研究表明,在壓電半導體介質上施加非均勻應變可以有效提高壓電性能[6],這為高靈敏度壓電半導體器件的結構設計提供了新思路。基于此,人們期望通過漸進變化的截面來獲取非均勻應變,進而提高自供電器件的壓電性能,錐形壓電半導體纖維是典型結構之一。此外,受加工工藝及工作環境的影響,器件的形狀也會發生變化,如機械加工過程中的缺陷、使用過程中的生物和化學腐蝕等,這些都可導致器件表面凹凸不平[7]。

為了分析變截面壓電半導體結構的力學特性,國內外專家學者開展了一系列相關研究。Ren等[8]采用應變梯度法,考慮了應變梯度效應,得到非均勻納米線軸向延伸下載流子和機電場分布的理論解。Elouafi等[9]基于Mori-Tanaka模型和Eshelby張量,推導了橫觀各向同性壓電材料有效性能的解析和半解析表達式。Yang等[10]基于壓電半導體宏觀理論對一維模型進行了分析,從理論上證明了壓電介質和非壓電半導體復合光纖中的PN結與纖維的彎曲變形直接相關。Giuseppe Romano等通過解析和有限元仿真,研究了垂直壓縮氧化鋅納米線中自由載流子對壓電場的屏蔽效應。類似的相關研究很多,但絕大多數都是針對特定的截面變化模式開展理論分析[10-13],當壓電半導體纖維的截面以任意函數形式變化時,其動力學控制方程為變系數偏微分方程,數學上難以求得具有一般形式的理論解。為了解決這一難題,文獻[7]提出了冪級數展開法,將壓電半導體材料的截面變化函數、位移場和電勢場表達為沿纖維長度方向的冪級數形式,但受限于級數的收斂性,該方法并不能求解截面模式任意變化下壓電半導體纖維的壓電特性。另一方面,現有對壓電半導體材料的力學特性研究常是基于線性化假設,對壓電半導體本構方程進行了線性化處理,即假設壓電半導體材料中載流子的變化遠小于初始載流子濃度,這種近似得到的線性解僅適用于外部載荷較小的情況[14-15],當外部載荷逐漸增大時,線性化假設不再適用。

為了精確計算任意截面變化模式下壓電半導體纖維的靜力學特性,本文創新地提出了基于物理信息的神經網絡(PINN)模型,應用深度學習算法求解復雜的變系數偏微分方程。該方法降低了對實驗或模型數據的依賴[16],將潛在的物理定律編碼為先驗信息,可對復雜高階多維方程進行正向計算,不受幾何空間限制,處理邊界條件靈活,適用于任意截面形狀的壓電半導體。此外,該方法既能基于線性化假設進行求解,還能直接求解非線性方程,具有非常好的普適性。本文先以靜態拉伸變形下的壓電半導體的線性化方程為例,介紹PINN方法的基本原理及實現過程,通過與有限元仿真的對比驗證了該方法的正確性;再在此基礎上研究了不同的截面變化模式對壓電半導體纖維PN結物理特性的影響;最后應用類似的思路求解了壓電半導體的非線性方程,充分驗證了PINN方法的適用性和通用性。本文方法及結果可為壓電半導體器件的結構設計及應用提供重要的理論基礎。

1 應用PINN求解壓電半導體力學特性的基本原理

1.1 壓電半導體材料的基本方程

對于壓電半導體材料,其控制方程包括運動平衡方程、靜電電荷方程、電荷(電子與空穴)的連續性方程[17-19],即

(1)

(2)

(3)

Ei=-φ,i

(4)

1.2 變截面壓電半導體纖維的理論建模

圖1為變截面壓電半導體纖維受拉示意圖。

圖1 變截面壓電半導體纖維受拉示意圖

考慮圖1中長度為L的變截面壓電半導體纖維,其截面面積由函數A(x3)所決定,且在端部受到大小相等、方向相反的拉力F作用下發生變形。本文先從線彈性理論框架下研究變截面壓電半導體纖維的拉伸特性,即假設壓電半導體材料中電子(空穴)的變化遠小于其初始載流子濃度。假設該納米纖維是電隔離的,無任何電荷或電流,在僅考慮拉伸變形下,結合式(2)-(4),控制式(1)中的運動平衡方程、靜電電荷方程可退化[7]為

(5)

(6)

電荷連續性方程可改寫為

(7)

(8)

這里考慮了應力松弛條件,對彈性常數、壓電常數和介電常數進行了修正,即

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式(5)、(6)可統一為

(14)

考慮到纖維兩端的應力邊界條件σ33=F,故纖維兩端的電位移邊界條件D3(0)=D3(L)=0可進一步化簡為

(15)

(16)

于是,求解圖1中變截面壓電半導體的拉伸問題可歸結為尋找同時滿足式(12)-(16)的理論解。由于截面是變化的,式(14)是變系數的微分方程,難以找到適用于截面形式任意變化的通用理論解,一些理論解或數值解多數都是針對某種特定的截面變化模式。為了解決這一難題,本文將基于PINN對該問題進行求解,并研究截面的非均勻變化對壓電半導體纖維拉伸變形的影響。這種方法最大的優勢在于其具有廣泛的適用性,適用于任意截面形狀的壓電半導體纖維。

1.3 PINN的數值計算流程

神經網絡具備強大的擬合能力,可以擬合任何非線性函數,但因其搜索空間龐大,導致尋優難,而為神經網絡設置合理的約束是利用其擬合能力的有效手段。利用深度神經網絡擬合變截面壓電半導體纖維的拉伸問題同樣如此。為了解決求解過程中尋優難、訓練樣本需求大的問題,本文將壓電半導體纖維的物理變化規律作為先驗知識,利用其約束預測網絡的求解空間。本文構建的PINN深度機器學習技術求解變截面壓電半導體纖維拉伸問題的基本步驟如下所述。

基于壓電半導體的本構方程和控制方程式(12)-(14),可構造損失函數:

(17)

圖2 基于壓電控制方程的深度學習網絡結構

首先,將多個神經元按照多層結構在輸入、輸出之間連接,構成一個以x3和A(x3)為輸入,以φ、Δp、Δn為輸出的全連接神經網絡(其中φ、Δp、Δn分別表示壓電纖維內部的電勢、電子濃度擾動、空穴濃度擾動),除最后一層外,其余的各層都是“線性變換+激活函數層”。激活函數給神經元引入了非線性因素,解決了線性模型的非線性缺陷,使得神經網絡可以逼近任何非線性函數。在常見的激活函數中,由于雙曲正切函數具有輸出范圍廣、梯度不易消失的特點,因此,本文選擇雙曲正切函數作為激活函數,從而把函數值壓縮到[-1,1]區間[21]。

神經元前向傳播的過程可表示為

(18)

式中:a為網絡層中的單個神經元;上標l為層序號,下標j,i分別表示該層的第j個神經元和前一層的第i個神經元;w和b分別為兩個神經元之間對應的權重和偏差;g為激活函數。第L層為輸出層,輸出的擬合函數為

(19)

本文選取PINN的目的是尋找一組網絡層參數,對輸入x3和A(x3)進行處理,使輸出φ、Δp、Δn逼近微分方程的真實解。

其次,對輸出進行自動求偏微分,構成逼近函數,并將深度人工神經網絡形成的逼近函數作為試函數[22]。結合壓電控制方程式(12)-(14),構成方程的損失函數:

(20)

同時,將邊界和初始條件代入人工神經網絡函數,結合邊界條件式(15)、(16),構成邊界損失函數:

(21)

式中wfi和wui分別為方程損失函數和邊界損失函數中各部分對應的權重系數。權重系數的選取應盡量使得方程損失、邊界損失各項當中的φ,3處于同一數量級,使神經網絡對各項損失具有相似的關注程度,以避免某些影響偏微分方程的損失項被忽略。神經網絡各層之間的權重和偏置可以通過最小化均方誤差損失來進行神經網絡深度學習。

最后,定義整體損失函數為Loss=MSEf+MSEu,通過不斷迭代優化網絡權值,減小損失函數值,直至達到足夠合理的機器學習精度。此時,該神經網絡逼近的數值即為本文變截面壓電半導體纖維拉伸問題的最終解。由算法的具體過程中可見,本文方法不受截面函數A(x3)的影響,適用于截面以任意函數形式變化的壓電半導體纖維。

2 基于PINN的變截面PN結物理特性分析

2.1 變截面PN結

為了驗證PINN方法在求解變截面壓電半導體纖維力學特性的適用性,本文選擇半導體領域的基本單元PN結為例進行研究。它由P型和N型兩種半導體連接而成,如圖3所示。由圖可見,當構成PN結的半導體材料具有壓電特征時,外部施加的機械載荷可誘導結構內部出現極化電場,進而驅動載流子的定向移動,以實現對半導體器件性能的調控。因此,開展PN結結構的性能分析對半導體器件現代功能的研發和設計都具有重要意義。

圖3 變截面PN結示意圖

表1 ZnO的材料參數

考慮到x3=0的位置對應PN結的交界面,設置電勢的參考零點為φ(0)=0。對于圖3所示的PN結,除邊界條件要求的D3(-L)=D3(L)=0外,還需滿足以下連續性條件:

(22)

此外,PN節處于平衡狀態時需滿足全局電中性條件[14,17],即

(23)

2.2 正確性驗證

本文選取x3=±L處壓電半導體纖維的半徑為0.09 μm,相應地,A0=0.02 μm2,Al=Ar=0.025 μm2。不同F作用下壓電半導體纖維的電勢沿x3軸的變化趨勢如圖4所示。

圖4 使用PINN法和有限元仿真結果的正確性驗證

此外,為了對比,本文還使用有限元軟件COMSOL Multiphysics的PDE模塊進行仿真分析,得到了不同外力情況下ZnO纖維的電學特性。由圖4可見,使用PINN法得到的結果與通過有限元仿真得到的結果高度吻合,這說明了本文方法的正確性。除二次函數外,經核驗,通過PINN計算得到的其他截面變化模式下的電學響應均與有限元仿真結果高度吻合。限于篇幅,這里不再一一給出。這充分說明了本文方法的正確性和適用性。同時,電勢關于坐標原點沿x3方向反對稱分布,這是由壓電半導體纖維的對稱性所決定。不同外力改變了纖維內應變的大小,而在纖維的勢壘區內部,電勢完全被自由電荷屏蔽[24],故僅在纖維端部,應變的改變通過壓電效應使電勢發生了明顯的變化。

2.3 頸縮截面的影響

本節仍以橫截面積變化函數A(x3)=A0(1+αx32)為例,研究頸縮構型對壓電半導體纖維PN結內部力電耦合特性的影響。研究過程中固定外力F=5 nN,分別討論兩種情況:

1) 兩端Al和Ar的截面積保持不變,為0.025 μm2,而交界面面積A0可變,其結果如圖5(a)所示。

圖5 不同端面比A0/Al的頸縮構型纖維中電勢φ的分布

2) 交界面A0的截面積保持不變,為0.025 μm2,而兩端Al和Ar的面積可變,其結果如圖5(b)所示。

相比于A0=Al=Ar=0.025 μm2的均勻壓電半導體纖維構型,A0/Al數值發生變化時,工況1)的截面積變化劇烈的部分主要發生在PN結勢壘區內部,而工況2)則主要發生在兩個端面附近。由圖5可見,在一對恒定作用力的作用下,隨著A0/Al值的減小,端面電勢φ逐漸增大,但兩種情況的變化幅度有著明顯差別,圖5(b)中的端部電勢變化更顯著。這是因為端部的應變變化對附近電荷分布有影響,而在PN結的勢壘區內部的場被自由載流子完全屏蔽,中部應變改變并不會對附近電荷分布有影響,因此,勢壘區內部的截面積變化幾乎不會改變PN結的壓電性能。

2.4 錐形端面構型

為了進一步說明PINN方法在求解任意截面形狀的壓電半導體纖維結構的適用性和通用性,本節選取左端為錐形端面的壓電半導體纖維進行分析,其構型如圖6所示。

圖6 錐形端面構型的變截面PN結示意圖

假設外力F=5 nN,A0=Ar=0.025 μm2,橫截面積A(x3)可用如下的分段函數表示:

A(x3)=

(24)

式中左端的切屑部分用線性函數來表征。

圖7是圖6所示的壓電半導體纖維中的電勢分布。由圖可見,端面截面積的改變對電勢的改變影響較顯著,這是因為隨著左端面截面積的減小,該區域的強度降低,在相同的拉力下產生了較大的應變,進而通過壓電效應產生的電場較大。這種改變僅發生在勢壘區外的端面位置附近,而結區附近的勢壘構型基本無變化。

圖7 不同端面比A0/Al所對應的纖維中電勢φ的分布

綜合圖5、7可知,對于具有相同初始載流子濃度的非均勻壓電納米纖維PN結,其勢壘區內部具有大致相同的電勢及電場特性,而端面截面積的改變對電場特性的影響顯著,變截面壓電半導體纖維在端部位置表現出很強的結構依賴行為,工程應用中可以利用這類特性來提高壓電納米纖維器件的靈敏度[8]。

2.5 壓電半導體纖維非線性方程求解

圖8 線性化法與非線性法計算結果對比

由圖8可見,當外力F較小時,線性和非線性兩者之間的誤差較小,這間接驗證了線彈性壓電半導體理論的正確性。隨著兩端拉力F的增大,纖維端面及交界面的載流子濃度擾動提高,電勢隨之增大,這是因為線性化的控制方程略去了含Δn和Δp的增量項,因而產生了一定的誤差。由于壓電纖維端面附近的載流子濃度擾動最大,故誤差最大的位置也位于該區域內。此外,通過線性化法計算得到了比真實工況更高的電勢值,且此誤差隨著纖維兩端機械載荷的增大而被逐漸放大。為了進一步量化分析,本文定義相對誤差δ為

(25)

端面附近不同位置處的相對誤差隨外力F的變化趨勢如圖8(b)所示,圖中x3表示端面附近的坐標。由圖可見,隨著外力的增大,線性結果所產生的誤差會逐漸增大,這是因為線性化法略去了包含載流子濃度擾動的增量項,而該增量項在載荷較大的情況下影響更明顯。同時在實際應用中,在最大誤差允許的范圍內可得到線彈性壓電半導體理論的適用區間。例如,如果最大相對誤差設為5%,則外界拉力的臨界值F臨界值=70 nN。當F>70 nN時,線彈性壓電半導體理論的計算結果會導致相對較大的誤差,此時必須考慮壓電半導體方程的非線性項;而當F≤70 nN時,線彈性壓電半導體理論的計算結果相對誤差較小,可以接受。

3 結束語

本文構建了基于物理信息的深度學習神經網絡模型(PINN),并給出了計算模型及神經網絡模型的構建過程。在此基礎上,以變截面壓電納米纖維PN結為例進行了壓電性能預測,通過與COMSOL仿真結果進行對比,驗證了模型的正確性和有效性,為復雜壓電半導體器件的結構設計提供了理論基礎。該方法以計算機深度學習的方法代替了復雜的非線性方程求解,可用于求解壓電半導體問題的線性解和非線性解,對任意截面形狀的壓電納米纖維模型均適用,具有良好的普遍性。本文主要研究了壓電半導體纖維的靜態拉伸特性,可以預見,PINN方法對于壓電半導體材料的彎曲、扭轉及動態問題的求解依然適用。