壓電微納定位平臺自適應陷波濾波在線諧振抑制

王雯雯,賴磊捷

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院,上海 201620)

0 引言

微納米定位技術在納米光刻、生物顯微操作和超精密制造與測量等領域中有著廣泛而重要的應用[1-2]。壓電陶瓷驅動器具有剛度高、分辨率高、精度高、響應速度快等優點。結合柔性機構具有的無摩擦、無間隙、無需潤滑、分辨率高等優點,壓電驅動的柔性微納米定位平臺在微納米定位技術中具有重要地位[3-4]。

壓電驅動柔性微納米定位平臺使用柔性機構彈性變形來實現微位移傳動,通常呈現較低的阻尼比,在跟蹤同頻帶內的高速運動軌跡時易產生自激振蕩,影響系統控制性能[5-6]。為消除柔性機構低阻尼諧振的影響,基于反饋控制的主動振動控制策略是目前常見的方法,這類方法通過改變系統零極點分布來增加其阻尼比,進而達到抑制諧振的目的。例如英國阿伯丁大學Aphale等通過優化設計分數階積分諧振控制器(IRC)來提升系統的閉環控制帶寬,增加了系統的跟蹤性能[7]。上海交通大學Li等設計了一種位置/速度/加速度正反饋的阻尼控制器,以此獲得更大的阻尼比[8]。但這類方法的缺點是在設計過程中需要精確獲得系統模型。國內外學者還提出了基于陷波濾波器或系統逆模型的方法[9-10],通過零極點抵消來消除低阻尼諧振的影響,但此方法對系統模型比較敏感,負載和環境等因素的變化引起的模型誤差容易導致控制魯棒性差,甚至系統不穩定。由以上分析可見,如何在各類諧振抑制控制方法中消除對被控對象精確數學模型的依賴性,有效提升諧振控制器魯棒性和自適應性能是亟待解決的問題。

為解決上述問題,針對壓電驅動柔性微納定位平臺的低阻尼諧振問題,本文設計了可以有效抑制平臺諧振的自適應陷波濾波器。通過實時檢測諧振頻率的動態變化來在線更新陷波濾波器參數,進而可以實現自適應的諧振抑制功能。首先搭建了基于壓電陶瓷驅動器與橋式放大柔性機構的微納定位平臺及其實驗系統。其次,基于FFT方法設計了諧振頻率在線提取算法,并以此對陷波濾波器中心頻率、深度和寬度等參數進行自適應調整,進而抑制系統的諧振現象。最后,利用所設計的微納定位平臺和自適應陷波濾波器進行軌跡跟蹤實驗,以此驗證了諧振抑制算法的可行性、有效性。

1 壓電微納定位平臺及其動力學模型

壓電驅動微納定位平臺實驗系統由壓電陶瓷驅動器PAL40VS12(行程為38 μm,剛度為25 N/μm),壓電控制器PDS21(輸入0～+10 V對應輸出0～+120 V),電容傳感器(0～10 V對應0～200 μm),數據采集卡PCI-6221以及柔性機構等組成,各組成部分連接關系如圖1所示。柔性機構采用復合橋式放大機構來實現對壓電驅動器輸出位移的有效放大,輸出端采用平行四邊形機構來減少寄生位移。

圖1 微納定位平臺實驗系統

壓電驅動柔性微納定位平臺中,平行四邊形柔性機構看成剛度為ks的彈簧和阻尼系數為cs的阻尼器,含橋式放大的壓電陶瓷驅動器也可看作剛度為kAP的彈簧和阻尼系數為cAP的阻尼器,等效剛度kAP等于橋式放大機構的輸出剛度[11]。圖2為所搭建的壓電驅動柔性微納定位平臺的力學模型。圖中Vd(t)為控制電壓,kamp為壓電控制器的放大系數,R為驅動電路的等效電阻,Vpzt(t)是加在壓電驅動器上的電壓,x(t)為平臺位移輸出量,kb為橋式放大機構的位移放大比,kpzt為壓電剛度,ms為平臺等效質量。

圖2 微定位平臺機電模型

微定位平臺的動力學方程:

AVpzt(t)RCVpzt(t)+Vpzt(t)=kampVd(t)

(1)

(2)

式中:n為壓電驅動器的層數;d33為壓電常數;C為壓電驅動器的等效電容。

根據拉普拉斯變換,將式(1)變成:

(3)

式中ωn和ξ分別為系統無阻尼固有頻率和阻尼比。

其中

(4)

(5)

(6)

針對上述二階系統,柔性機構等效阻尼系數較小,使平臺容易產生較嚴重的低阻尼諧振,從而在平臺的通頻帶內出現自激振蕩,嚴重影響了系統的定位精度、動態品質和控制帶寬。

2 諧振頻率的在線檢測

為有效抑制平臺諧振,首先需要對平臺諧振頻率進行在線檢測。在實際的數字控制系統中,采樣得到長度為N且非周期的序列x[n],序列x[n]的取樣結果決定了傅里葉頻譜X[k]的運算結果。序列x[n]和傅里葉頻譜X[k]的變換式為

(7)

(8)

(9)

(10)

則離散傅里葉變換形式為

(11)

實現快速傅里葉變換的方法大致分為兩類:頻域抽取法快速傅里葉變換和時域抽取法快速傅里葉變換。本文采用頻域抽取法的FFT,通過蝶形算法完成信號的頻域分析[12]。

在壓電驅動微定位平臺閉環系統中,通常對誤差信號進行采樣和FFT頻譜分析,完成信號時域到頻域的轉換。將頻域值表示為復數R(n)存儲在系統緩沖器中,設計的諧振頻率提取算法如圖3所示。首先求出R(n)點的頻率幅值|R(n)|,只有|R(n)|>幅值閾值Hset,若能同時滿足|R(n)|>|R(n-1)|,|R(n)|>|R(n+1)|和|R(n)|>Temp,此時將|R(n)|存儲在變量Temp中;接著進入下一次循環,直到n=N,結束循環,最后從Temp中獲得諧振頻率點n。幅值閾值Hset為0.025 dB。通過以上算法求出諧振頻率點n,如果采樣頻率為fs,采樣點數為N,則計算出諧振頻率為

圖3 諧振頻率提取算法流程圖

f=(n-1)fs/N

(12)

3 自適應陷波濾波器

傳統的陷波濾波器不能調節陷波的深度,為了準確地調節陷波濾波器的各種參數,本文在原來的基礎上設計了一種改進型陷波濾波器[12]。其傳遞函數為

(13)

式中:ωn為陷波濾波器中心頻率;k1為陷波濾波器深度;k2為陷波濾波器寬度。通過分別調節3個參數可設計滿足性能要求的陷波濾波器。

陷波濾波器中心頻率ωn的取值是陷波濾波器的設計重點。中心頻率是FFT后頻譜圖里幅值最大對應的頻率點,需要根據實際情況進行確定。在前面章節提到的通過諧振頻率在線檢測獲得中心頻率,表示為

ωn=f

(14)

陷波濾波器深度k1也是抑制諧振的重要參數。k1的設定數值越小,陷波深度越深,諧振抑制效果越好,但是幅度過大會造成相位滯后,反而會加強振動,所以確定一個合適的k1值是一個重要任務。經過FFT后,深度參數確定為

(15)

式中:Hmax為諧振點處的幅值;Hf為陷波后的信號幅值。

陷波濾波器寬度k2一般是指陷波中心頻率兩側,幅度降低到3 dB時兩個頻點的差。k2值越小,陷波寬度越小,陷波器的抑制效果越好,但也會導致陷波器的群延遲增加。在加入陷波濾波器后,幅值衰減到設置的幅值閾值Hset,幅值閾值水平線與諧振頻率兩側的FFT曲線有兩個交點,頻率點分別為ω1和ω2,陷波濾波器的帶寬為

k2=2max{(ωn-ω1),(ω2-ωn)}

(16)

4 軌跡跟蹤實驗

根據以上結果設計了基于自適應陷波濾波在線諧振抑制的閉環控制方法,如圖4所示。由圖可見,利用偏差信號進行快速傅里葉變換,在線獲得平臺諧振特性,調整陷波濾波器參數,實現平臺諧振的在線抑制。實驗過程中,首先調節PID閉環反饋控制器的比例、積分和微分增益,分別設置為2.5,160和0,在未加入自適應陷波濾波器前,過大的系統增益會使系統出現較嚴重的諧振現象。隨后對系統的誤差信號進行采樣,采樣頻率為1 kHz,對1 024個采集到的誤差信號進行FFT頻譜分析,利用圖3所示流程對諧振頻率特性進行檢測,并對陷波濾波器參數進行在線自適應調整。第1個頻譜分析周期的分析結果如圖5所示。

圖4 在線諧振抑制的結構框圖

圖5 誤差信號的FFT頻譜分析結果

為了驗證所設計自適應陷波濾波器的諧振抑制效果,對階躍信號和振幅為0.5 V的不同頻率三角波信號進行軌跡跟蹤實驗,所得實驗結果如圖6、7所示。

圖6 階躍信號跟蹤效果

圖7 不同頻率三角波跟蹤效果

由圖6、7可知,控制系統對階躍信號和多軸頻率三角波信號進行了軌跡跟蹤,由此可見,低阻尼諧振現象得到有效抑制,同時兼顧了穩定性的要求。在此基礎上,通過設計高增益反饋控制器可實現壓電陶瓷驅動柔性微納定位平臺的高精度軌跡跟蹤控制。

5 結束語

本文基于FFT設計出可以實時調整寬度、深度和中心頻率的自適應陷波濾波器,有效地抑制了諧振現象,實現了壓電驅動柔性微定位平臺的精準控制。首先,搭建了壓電驅動柔性微納定位平臺系統并進行動力學建模,解釋了諧振現象;其次,利用FFT分析系統中的誤差信號,設計諧振頻率在線提取算法,實現對陷波濾波器參數的在線實時整定;最后,利用所設計的陷波濾波器對階躍信號和不同頻率的三角波信號進行軌跡跟蹤實驗。實驗結果表明,所設計的自適應陷波濾波器能夠較好地跟蹤不同頻率下各類軌跡信號,低阻尼諧振現象得到有效抑制,滿足了微定位平臺的跟蹤性能要求。