GNSS拒止下面向目標(biāo)監(jiān)視的多無人機(jī)定位與控制方法

嚴(yán) 超，張澤旭，袁 帥，劉京宗，陳國棟，聞 單

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院飛行器動力學(xué)與控制研究所，哈爾濱 150080)

0 引 言

隨著無人機(jī)相關(guān)技術(shù)的快速發(fā)展,無人機(jī)已經(jīng)在民用和軍用領(lǐng)域中扮演著越來越重要的角色。相比于有人機(jī),無人機(jī)具有體積小、性價比高的優(yōu)點(diǎn),并且通過合理的控制算法設(shè)計(jì)可以提供期望的無人機(jī)自主程度。

無人機(jī)具有廣泛的應(yīng)用,如邊境巡邏[1]、目標(biāo)追蹤[2]、編隊(duì)飛行[3-4]、測繪[5]、監(jiān)視和偵察[6]。其中,監(jiān)視任務(wù)是無人機(jī)最常見的應(yīng)用之一,其目的是通過傳感器持續(xù)收集信息以提高對目標(biāo)的勢態(tài)感知。在執(zhí)行監(jiān)視任務(wù)時,一種常用的方法是讓無人機(jī)圍繞目標(biāo)以規(guī)定的距離進(jìn)行持續(xù)監(jiān)視,以獲取有價值的目標(biāo)信息。與單一無人機(jī)相比,多架無人機(jī)能夠以指定的角度間隔環(huán)繞目標(biāo)運(yùn)動,從而在同一時刻獲取目標(biāo)多方位的信息,實(shí)現(xiàn)更全面的監(jiān)視。在許多現(xiàn)存的結(jié)果中,通常假定目標(biāo)的位置已知,主體任務(wù)是開發(fā)控制算法實(shí)現(xiàn)多無人系統(tǒng)的協(xié)同監(jiān)視任務(wù)。當(dāng)目標(biāo)的位置未知時,通過設(shè)計(jì)估計(jì)器來估計(jì)目標(biāo)的全局位置,基于此設(shè)計(jì)控制算法實(shí)現(xiàn)多無人系統(tǒng)對目標(biāo)的協(xié)同監(jiān)視。在這種情況下,應(yīng)該同時設(shè)計(jì)目標(biāo)定位和協(xié)同控制方法[7]。

當(dāng)目標(biāo)位置已知,Shames等[8]研究了一組無人系統(tǒng)協(xié)同監(jiān)視一個靜態(tài)目標(biāo),但所使用的模型為單積分器模型。Lan等[9]進(jìn)一步考慮了非完整約束模型,開發(fā)了一種混合控制方法用來驅(qū)動無人系統(tǒng)對靜止目標(biāo)進(jìn)行監(jiān)視。當(dāng)目標(biāo)位置未知,通常基于不同的測量信息對目標(biāo)進(jìn)行定位。文獻(xiàn)[10-13]研究了當(dāng)只有距離測量信息可用時的目標(biāo)監(jiān)視問題。然而在一些實(shí)際應(yīng)用中,距離測量信息通常很難獲得。如當(dāng)無人機(jī)和距離目標(biāo)很遠(yuǎn)時,或當(dāng)無人機(jī)執(zhí)行任務(wù)需要保持無線電信號靜默時。相比于距離測量,方位角測量是一種被動測量方式,能夠應(yīng)用在更多的場景。并且,與相對位置傳感器或距離傳感器相比,方位角測量只需要普通類型的傳感器,如單目相機(jī)系統(tǒng),具有裝配簡單、價格便宜、體積小等優(yōu)點(diǎn)。因此,越來越多的工作集中于僅基于方位角測量的目標(biāo)監(jiān)視問題。Deghat等[14]研究了基于方位角測量的單個智能體對緩慢移動目標(biāo)的定位和監(jiān)視問題,結(jié)果表明,通過提出的定位算法和控制器,智能體和目標(biāo)之間的距離收斂到期望距離的鄰域。然后Deghat等[15]將結(jié)果推廣到具有非完整約束的智能體模型。Shao等[16]研究一組無人系統(tǒng)利用方位角測量對多個目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同監(jiān)視,控制一組無人系統(tǒng)以多個目標(biāo)的中心為圓心和期望的半徑圍繞目標(biāo)進(jìn)行環(huán)繞。然而,他們并沒有考慮無人系統(tǒng)之間的協(xié)調(diào),不能實(shí)現(xiàn)任意指定的構(gòu)型。Li等[17]研究了三維空間中,基于方位角測量的一組智能體對靜態(tài)目標(biāo)的定位和監(jiān)視問題,估計(jì)器和控制器設(shè)計(jì)的思想與文獻(xiàn)[14]中相同。

在上述提及的文獻(xiàn)中,通常假定無人系統(tǒng)自身的位置已知,然而在室內(nèi)、峽谷等一些GNSS拒止環(huán)境中,無人系統(tǒng)通常無法獲取自身的位置。盡管可以使用慣性傳感器追蹤無人系統(tǒng)自身的位置,但相關(guān)的積分漂移可能會造成較大的誤差。因此,希望在估計(jì)器和控制器的設(shè)計(jì)中不使用任何全局位置信息。Zheng等[18]研究了一組無人系統(tǒng)只使用方位角測量對靜態(tài)目標(biāo)的監(jiān)視問題,通過設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)多無人系統(tǒng)以期望的半徑圍繞目標(biāo)運(yùn)動,并且沿著該圓周形成均勻間距分布。但當(dāng)多無人機(jī)協(xié)同執(zhí)行監(jiān)視任務(wù)時,均勻分布可能不是最優(yōu)隊(duì)形配置。Dou等[19]考慮了一組智能體使用方位角測量對目標(biāo)的定位和協(xié)同監(jiān)視問題,能夠使智能體以目標(biāo)為中心,在規(guī)定半徑的圓周上運(yùn)動,同時沿著圓周實(shí)現(xiàn)任何期望的角間隔,但是所使用的模型為單積分器模型。然而實(shí)際應(yīng)用中,常見的無人系統(tǒng),如固定翼無人機(jī)、輪式機(jī)器人等,運(yùn)動學(xué)模型中均存在非完整約束。

受上述工作的啟發(fā),本文研究GNSS拒止環(huán)境下,僅基于方位角測量的多無人機(jī)對未知靜態(tài)目標(biāo)的協(xié)同監(jiān)視問題。每個無人機(jī)都關(guān)聯(lián)一個局部坐標(biāo)系,其原點(diǎn)位于無人機(jī)質(zhì)心,坐標(biāo)系方向與全局坐標(biāo)系一致。主體目標(biāo)是在缺乏全局位置信息的情況下,僅使用無人機(jī)對目標(biāo)的方位角測量,為無人機(jī)開發(fā)分布式定位算法和控制算法,能夠定位目標(biāo)在無人機(jī)自身局部坐標(biāo)系中的位置,同時實(shí)現(xiàn)多無人機(jī)以期望的距離、角速度以及期望的角度間隔圍繞目標(biāo)進(jìn)行環(huán)繞運(yùn)動,持續(xù)全方位的監(jiān)視目標(biāo)。

本文的主要貢獻(xiàn)有以下兩個方面:1)本文解決了GNSS拒止環(huán)境下多無人機(jī)協(xié)同監(jiān)視目標(biāo)問題,相比于已有的工作,如文獻(xiàn)[18],本文提出方法能夠沿著圓周形成任意角間隔的分布;相比于文獻(xiàn)[16],本文考慮了多架無人機(jī)協(xié)同的情況。2)開發(fā)了新的僅基于方位角測量的估計(jì)器和分布式控制算法,在所設(shè)計(jì)的算法中,不需要任何全局位置信息。

本文后續(xù)安排如下,第1節(jié)給出了文中常用符號表示的說明、代數(shù)圖論相關(guān)知識以及證明所需的相關(guān)引理;第2節(jié)給出了所研究問題的具體描述;第3節(jié)進(jìn)行了估計(jì)器和控制器的設(shè)計(jì),并給出了穩(wěn)定性和收斂性分析;第4節(jié)通過仿真模擬驗(yàn)證了所提算法的有效性;第5節(jié)給出了本文的結(jié)論。

1 預(yù)備知識

1.1 符號說明

本小節(jié)對文中的一些常用符號進(jìn)行說明。R,R≥0,Rn,Rn×m分別表示實(shí)數(shù)域,非負(fù)實(shí)數(shù)域,n維歐幾里得空間,n×m維實(shí)矩陣集;對于一個給定的向量或矩陣X,XT表示其轉(zhuǎn)置,=X=表示向量的歐幾里得范數(shù)或矩陣的2范數(shù);對于一個實(shí)數(shù)x, |x|表示實(shí)數(shù)的絕對值;In表示n維的單位矩陣;atan2(y,x)表示雙參數(shù)正切函數(shù),返回點(diǎn)(x,y)的角度,范圍為[-π, π]。

1.2 代數(shù)圖論

無人機(jī)之間的信息交換可以用圖來建模,圖的頂點(diǎn)表示無人機(jī)個體,圖的邊表示無人機(jī)之間的拓?fù)潢P(guān)系。記圖G=(O,E),其中O={1,2,…,n}表示包含n個節(jié)點(diǎn)的集合;E={e1,e2,…,em}表示包含m條邊的集合,其中每一條邊都是集合O的二元子集{i,j},邊{j,i}表示節(jié)點(diǎn)i可以從節(jié)點(diǎn)j接收信息。圖G的鄰接矩陣A=[aij]n×n被定義為:如果存在從節(jié)點(diǎn)j到節(jié)點(diǎn)i(i≠j)的有向邊,aij>0;否則aij=0;本文假定aii=0, ?i∈O。如果aij=aji, ?i,j∈O,則圖被稱為無向圖。節(jié)點(diǎn)i的鄰居集定義為Ni={j∈O|{j,i}∈E},當(dāng)圖為無向圖時,i∈Nj?j∈Ni。在有向圖中,有向路徑是圖中具有不同節(jié)點(diǎn)的邊序列,如果對于任意不同的兩個節(jié)點(diǎn)j和i,存在從節(jié)點(diǎn)j到節(jié)點(diǎn)i的有向路徑,則有向圖是連通的。如果存在從每個節(jié)點(diǎn)到每個其他節(jié)點(diǎn)的無向路徑,則無向圖是連通的。

1.3 相關(guān)引理

引理 1[20].對于給定的n個節(jié)點(diǎn)狀態(tài)向量xi∈Rm,i=1,2,…,n,若n個節(jié)點(diǎn)之間為無向連通圖,則

(1)

(2)

(3)

式(3)被稱為持續(xù)激勵(Persistence excitation, PE)條件。若V(·)滿足式(3),則可稱V(·)是PE的。式(3)的標(biāo)量形式為

(4)

式中:U∈Rm是任意常量單位矢量。

2 問題描述

假定無人機(jī)裝備標(biāo)準(zhǔn)的自駕儀且可以保持其高度,考慮一組n個無人機(jī)i,i∈O={1,2,…,n},每個無人機(jī)的運(yùn)動學(xué)由下式給出

(5)

式中:g(ψi(t))=[cos(ψi(t)), sin(ψi(t))]T,pi(t)=[xi(t),yi(t)]T∈R2是無人機(jī)i在全局坐標(biāo)系Σg中的位置,ψi(t)∈[-π,π]表示無人機(jī)的航向角,vi(t),ωi(t)是無人機(jī)i的控制輸入。

給定一個靜止目標(biāo),使用pT=[xt,yt]T∈R2表示其在全局坐標(biāo)系Σg中的位置,無人機(jī)無法獲得該坐標(biāo)。假定n個無人機(jī)和目標(biāo)初始位于不同的位置。

每個無人機(jī)i關(guān)聯(lián)一個局部坐標(biāo)系Σi,其原點(diǎn)位于pi,方向與全局坐標(biāo)系一致。在GNSS拒止環(huán)境下,每個無人機(jī)都不能獲取自身的全局位置pi。記piT(t)=pT(t)-pi(t)表示目標(biāo)在無人機(jī)i的局部坐標(biāo)系Σi中的相對位置,無人機(jī)i并不能獲得該位置。本文假定每個無人機(jī)i裝配有相應(yīng)的視覺傳感器,如單目相機(jī),可以在時間t測量到目標(biāo)的方位角θi(t)∈[-π, π],如圖1所示。記ρi(t)==piT(t)=,表示無人機(jī)i和目標(biāo)之間的距離。將φi表示為通過無人機(jī)i和目標(biāo)直線上的單位向量,可以寫為

圖1 無人機(jī)、目標(biāo)和估計(jì)的目標(biāo)相對位置圖示

φi=[cos(θi(t)), sin(θi(t))]T

(6)

可以通過下式計(jì)算得到

(7)

(8)

將無人機(jī)間的通信建模為無向連通圖,每個無人機(jī)只能夠獲得其鄰居所測得的目標(biāo)方位角信息。記?i,j∈[-π,π]表示無人機(jī)i和其鄰居j,j∈Ni間的角間隔,即?i,j=∠pipTpj,可以通過下式計(jì)算

?i,j(t)=θi(t)-θj(t)+ζi(t),i∈O,j∈Ni

(9)

定義無人機(jī)在每個時候到目標(biāo)的距離與期望距離之間的差為

(10)

下面給出GNSS拒止環(huán)境下缺乏全局位置信息的靜止目標(biāo)持續(xù)監(jiān)視問題的具體陳述。

問題 1.無人機(jī)僅使用自身及其鄰居對目標(biāo)的方位角測量,為每個無人機(jī)i設(shè)計(jì)一個估計(jì)器,以估計(jì)目標(biāo)在其局部坐標(biāo)系Σi中的相對位置piT,即:

(11)

(12)

(13)

從而可以實(shí)現(xiàn)以下目標(biāo):

(14)

3 算法設(shè)計(jì)

g(ψi(t))=fi(t)=

(15)

vi(t)==fi(t)=

(16)

(17)

式中:

假設(shè) 1.?x∈R,函數(shù)h(·)具有以下三個性質(zhì):

(1) ?h0>0, |h(x)|≤h0;(2)h(x)x>0;(3)h′(x)>0。

注 1.假設(shè)1表明函數(shù)h(·)是單調(diào)遞增且有界的,滿足h(0)=0。假設(shè)1對h(·)施加的限制條件并不嚴(yán)格,很容易滿足。例如h(x)=h0tanhx,h(x)=(2h0/π)arctanx,h(x)=2h0x/(1+x2)都滿足性質(zhì)。

假設(shè) 2.函數(shù)h(·)的上界h0應(yīng)滿足下列條件

di(|ωd|-h0)>0

(18)

值得注意的是,若ρi(t)=0,則向量φi(t)無法被很好地定義,同時從安全角度出發(fā),無人機(jī)和目標(biāo)之間的距離應(yīng)始終大于0。因此需要首先說明ρi(t)>0,?t≥0,下面引理給出了相應(yīng)的解釋。

引理 3.在估計(jì)器(15)和控制算法(16)和(17)下,若ρi(0)≠0,則ρi(t)>0,?t≥0。

證.對ρi(t)和βi(t)∈[-π,π]求導(dǎo)

-cos(βi(t))vi(t)

(19)

(20)

證.根據(jù)(7)中φi(t)的定義,能夠得到

(21)

使用這個特性,對式(8)中相對位置估計(jì)誤差求導(dǎo)

(22)

(23)

(24)

下面將證明在所提出的估計(jì)器(15)和控制算法(16)和(17)下,若假設(shè)1和假設(shè)2成立且引理3和引理4中的條件滿足,則問題1中的主體控制目標(biāo)將會被實(shí)現(xiàn)。

(25)

(26)

(27)

(28)

定理 2.若假設(shè)1和假設(shè)2成立且引理3和引理4中的條件滿足,在估計(jì)器(15)和控制算法(16)和(17)作用下,無人機(jī)將會以規(guī)定的半徑、圓周速度和無人機(jī)間的角度間隔沿著圓周圍繞未知目標(biāo)運(yùn)動,即下面三個控制目標(biāo)將會被實(shí)現(xiàn)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

定義李雅普諾夫函數(shù)如下

(34)

其對時間的導(dǎo)數(shù)為

(35)

將fi(t)的表達(dá)式代入式(35)中,能夠得到

(36)

θi(t)=atan2(yt-yi(t),xt-xi(t))

(37)

對其求導(dǎo),

(38)

(39)

式中:

(40)

(41)

對其求導(dǎo),可得

(λi(t)-λj(t))]

(42)

定義李雅普諾夫函數(shù)

(43)

其對時間的導(dǎo)數(shù)為

(44)

根據(jù)引理1中的式(1),能夠得到

(45)

(46)

對不等式(46)從0到t積分,得到

(47)

(48)

4 仿真校驗(yàn)

在本節(jié)中,通過仿真來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)估計(jì)器和控制器的有效性以及穩(wěn)定性分析的正確性。考慮由5架無人機(jī)組成的多無人系統(tǒng),無人系統(tǒng)間的通信拓?fù)鋱DG如圖2所示,則該無向圖的鄰接矩陣為:

圖2 通信無向拓?fù)鋱DG

每架無人機(jī)與目標(biāo)之間的期望距離設(shè)置為d=[10,10,12,12,14]Tm;5架無人機(jī)之間期望角度間隔設(shè)置為δ=[π/6,π/3,3π/4,π/2,π/4]T;期望的環(huán)繞角速度ωd=1 rad/s;估計(jì)器(15)和控制器(16)和(17)中的參數(shù)被設(shè)置為k=[3,3,1.5,2,3]T,k1=0.5,k2=2,k3=0.2;非線性函數(shù)h(·)被選擇為hi=0.5tanhei;無人機(jī)的初始位置和初始航向被隨機(jī)設(shè)置。

圖4 針對緩慢移動未知目標(biāo)的仿真結(jié)果

5 結(jié) 論

本文針對GNSS拒止環(huán)境下缺乏全局位置信息的靜止目標(biāo)持續(xù)監(jiān)視問題,提出了一種僅基于方位角測量的多無人機(jī)分布式定位與控制方法,在所設(shè)計(jì)的算法中不需要任何全局位置信息。在算法作用下,每架無人機(jī)能夠獨(dú)自定位目標(biāo)在其局部坐標(biāo)系中的位置,同時以期望的半徑、圓周速度和無人機(jī)間的角度間隔沿著目標(biāo)環(huán)繞,對目標(biāo)持續(xù)進(jìn)行全方位的監(jiān)視。當(dāng)目標(biāo)緩慢移動時,估計(jì)器和控制器依然能夠較好地工作,使得無人機(jī)運(yùn)動收斂到期望運(yùn)動的鄰域。