一種SGCMG系統(tǒng)方向奇異規(guī)避操縱律

易 濤，耿云海，吳寶林

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150001)

0 引 言

單框架控制力矩陀螺(SGCMG)由于其能提供較大幅值連續(xù)控制力矩的優(yōu)點(diǎn),被看作航天器的理想姿態(tài)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)。但SGCMG系統(tǒng)內(nèi)在的奇異問題會使得姿控系統(tǒng)產(chǎn)生誤差力矩,延長姿態(tài)穩(wěn)定時間并激發(fā)振動,極大限制了SGCMG的應(yīng)用。

對SGCMG系統(tǒng)的奇異問題,文獻(xiàn)[1]率先引入微分幾何理論進(jìn)行研究,提出了一種逆投影分析方法,推導(dǎo)了高斯曲率公式。文獻(xiàn)[2]根據(jù)拓?fù)淅碚搶⒘餍蔚母拍钜隨GCMG奇異理論,分析了幾個重要空間的關(guān)系,并提出了基于高斯曲率符號判定奇異類型的方法。文獻(xiàn)[3]基于牛頓迭代法提出了根據(jù)角動量求解框架角的逆運(yùn)動學(xué)求解策略,可推廣到其他構(gòu)型。文獻(xiàn)[4]基于空間展開方法深入分析了金字塔和三平行等構(gòu)型的奇異性質(zhì)。文獻(xiàn)[5]在高斯曲率基礎(chǔ)上提出了一種新的奇異描述參數(shù),同樣可以判定奇異類型。

為了降低奇異狀態(tài)的影響,研究學(xué)者發(fā)展出了一系列的奇異操縱律。文獻(xiàn)[6]參考機(jī)械臂理論通過采用Jacobi矩陣的轉(zhuǎn)置替代其偽逆矩陣,提出了一種不需要求逆的動態(tài)操縱律,避免了偽逆求解的數(shù)值奇異問題。文獻(xiàn)[7]在SGCMGs陷入奇異狀態(tài)時將姿控限制在一個二維的動態(tài)坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)系變換設(shè)計了一種基于二維零運(yùn)動矢量的操縱律來快速逃離奇異,取得很好的逃避效果。文獻(xiàn)[8]基于奇異值分解方法引入Jacobi矩陣第二個奇異值相關(guān)量,提出了一種奇異方向逃離操縱律。文獻(xiàn)[9]通過在Jacobi矩陣奇異值分解形式中通過叉乘矢量引入奇異面法向量來修正Jacobi矩陣,提出了修正的奇異方向操縱律,可有效避免數(shù)值奇異。文獻(xiàn)[10]針對奇異點(diǎn)附近框架角速度指令幅值過大的問題,設(shè)計了基于歷史指令信息的自適應(yīng)權(quán)重調(diào)整律,提出了一種權(quán)重矩陣動態(tài)變化且可規(guī)避奇異的綜合操縱律,可以在規(guī)避奇異的同時確保指令幅值滿足框架角速度約束。然而,文獻(xiàn)[6-10]無法保證規(guī)避SGCMG系統(tǒng)的顯奇異點(diǎn),不能避免產(chǎn)生力矩誤差。

為了消除奇異對控制的影響,文獻(xiàn)[11]考慮指令力矩軌跡已知的情況,采用變分法推導(dǎo)出了一種全局最優(yōu)的操縱律。文獻(xiàn)[12]針對航天器姿態(tài)機(jī)動和控制力矩陀螺的耦合約束下姿態(tài)控制問題,建立了約束評價函數(shù)對航天器約束和CMG約束進(jìn)行解耦處理,并設(shè)計了基于啟發(fā)式策略的差分進(jìn)化算法,規(guī)劃出了無奇異的姿態(tài)機(jī)動軌跡和框架角軌跡,但需較大的計算量。文獻(xiàn)[13]分析了常值指令力矩下偽逆操縱律的指令框架角速度,提出了滿足飽和約束的操縱策略,但降低了姿態(tài)機(jī)動能力。文獻(xiàn)[14]提出了一種朝向外包絡(luò)的奇異規(guī)避操縱律,可通過誤差框架角的零運(yùn)動項引導(dǎo)SGCMG系統(tǒng)運(yùn)動到機(jī)動方向上的外包絡(luò),但未考慮內(nèi)部奇異點(diǎn)。文獻(xiàn)[15]提出了一種根據(jù)機(jī)動方向選擇初始框架角的奇異規(guī)避操縱律,需要大量的離線數(shù)值仿真和額外的零運(yùn)動。文獻(xiàn)[16]根據(jù)力矩矢量推導(dǎo)了機(jī)動過程中可能遇到的奇異狀態(tài),并通過對奇異框架角設(shè)計人工勢函數(shù)使系統(tǒng)規(guī)避了奇異狀態(tài)。

文獻(xiàn)[16]雖然考慮了直接規(guī)避機(jī)動方向上奇異框架角的思路,但在部分機(jī)動方向上,采用的力矩方向矢量與真實(shí)的奇異方向存在較大偏差,可導(dǎo)致操縱律失效。本文將研究航天器繞歐拉軸進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動時SGCMG系統(tǒng)的奇異規(guī)避問題,將方向約束下奇異角動量方程組轉(zhuǎn)化為不等式約束下的非線性優(yōu)化問題進(jìn)行求解,得到機(jī)動方向上的奇異框架角,并根據(jù)含有誤差框架角的指標(biāo)函數(shù)推導(dǎo)出一種奇異規(guī)避操縱律,可以規(guī)避機(jī)動方向上的奇異狀態(tài)。

1 航天器姿態(tài)動力學(xué)模型和機(jī)動策略

1.1 姿態(tài)動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)模型

當(dāng)剛體航天器采用SGCMGs作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)時,其姿態(tài)動力學(xué)方程為

(1)

(2)

式中:A為SGCMG系統(tǒng)的Jacobi矩陣;δ為框架角矢量;h0是SGCMG的角動量幅值。

由四元數(shù)描述的姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程為

(3)

式中:q=[q0qv]T=[q0q1q2q3]T為姿態(tài)四元數(shù),q0是四元數(shù)標(biāo)量部分,而qv是四元數(shù)的矢量部分。

1.2 姿態(tài)機(jī)動策略

為實(shí)現(xiàn)姿態(tài)機(jī)動和簡化SGCMG系統(tǒng)的奇異規(guī)避問題,通過參考軌跡法規(guī)劃出繞歐拉軸機(jī)動的Bang-Off-Bang形式的參考軌跡,其對應(yīng)的姿態(tài)角速度ωr(t)為

ωr(t)=ωr(t)e0

(4)

式中:e0表示初始姿態(tài)誤差的歐拉軸矢量;ωr(t)表示參考軌跡的角速度,如圖1所示。

圖1 參考角速度和角加速度軌跡

根據(jù)姿態(tài)機(jī)動目標(biāo),參考軌跡的3個時刻可分別用下式計算得出:

(5)

(6)

為跟蹤參考軌跡,采用如下類PD控制律:

(7)

式中:qev為誤差姿態(tài)四元數(shù)的矢量部分;ωe為姿態(tài)誤差角速度;Cbd為誤差姿態(tài)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣;kp和kd分別為比例系數(shù)和微分系數(shù)。

2 方向約束下的奇異框架角

若航天器采用式(7)中控制律來跟蹤參考軌跡,所需控制力矩Tc的方向固定,對應(yīng)的力矩方向矢量uc滿足下式:

(8)

那么在姿態(tài)機(jī)動過程中,SGCMG系統(tǒng)的角動量軌跡將沿著固定方向變化,系統(tǒng)可能遇到的奇異狀態(tài)也是確定的。若直接對式(2)約束角動量方向并進(jìn)行求解,對應(yīng)公式為n元非線性方程組,所需計算量較大。考慮到在奇異約束下,SGCMG系統(tǒng)奇異狀態(tài)量是由奇異方向或框架角描述的二元函數(shù)。若固定SGCMGs的角動量方向,這將引入兩個約束式,可以得到一個二元非線性方程組,從而大幅降低求解難度。

本文采用文獻(xiàn)[1]中的奇異分析方法來描述奇異狀態(tài),并稱其為逆投影法。根據(jù)該分析方法,SGCMG系統(tǒng)的奇異狀態(tài)力矩方向矢量可以描述為

(9)

式中:gi和ti分別為第i個SGCMG的框架軸矢量和力矩方向矢量;ti組成SGCMG系統(tǒng)的Jacobi矩陣A=[t1…tn];εi為符號矢量ε的分量,取值為1或-1;u表示SGCMG系統(tǒng)的奇異方向。

為便于分析奇異性質(zhì),u形式取為:

u=Cbhi[cψsφsψsφcφ]T

(10)

式中:Cbhi為第i個SGCMG初始安裝位置的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,φ∈[0,π],ψ∈[0,2π]。

根據(jù)式(9)可知,奇異狀態(tài)下SGCMGs的總角動量Hs形式為

(11)

式中:hi為第i個SGCMG的角動量方向矢量。

不妨記Φ=[φψ]是逆投影方法的自變量矢量,那么奇異角動量就是關(guān)于自變量Φ的函數(shù)。為求解角動量方向給定時對應(yīng)的奇異框架角,令SGCMG系統(tǒng)角動量方向矢量形式為

uh=[uhxuhyuhz]T=[cυsτsυsτcτ]T

(12)

式中:τ∈[0,π],υ∈[0,2π]。

若SGCMG構(gòu)型的奇異角動量平行于給定的方向矢量uh,應(yīng)滿足約束式:uh×Hs=0。根據(jù)矢量外積性質(zhì),約束式可改寫為等價形式:

(13)

然而滿足方向矢量uh約束的奇異狀態(tài)可能有顯隱兩種奇異狀態(tài),可引入奇異參數(shù)Rs來區(qū)分不同奇異狀態(tài)[5]。此時,uh約束下的奇異框架角是不等式約束下的二元非線性方程組的解,可將式(13)轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題進(jìn)行求解:

(14)

式中:g(Φ)是約束奇異狀態(tài)類型的函數(shù),當(dāng)所求奇異狀態(tài)是顯奇異時,g(Φ)=-Rs;當(dāng)所求奇異狀態(tài)是隱奇異時,g(Φ)=Rs。

對式(14)求解就可得到顯隱兩種奇異的自變量矢量Φ的值,從而得到各SGCMG的力矩方向矢量ti,并根據(jù)ti和系統(tǒng)Jacobi矩陣A的對應(yīng)關(guān)系求出奇異狀態(tài)的框架角矢量。以金字塔構(gòu)型為例,采用Matlab軟件的優(yōu)化函數(shù)求解式(14)中問題可得奇異面的外包絡(luò)如圖2所示。

圖2 基于數(shù)值求解的金字塔構(gòu)型包絡(luò)

3 方向奇異規(guī)避操縱律

為了規(guī)避機(jī)動方向上的內(nèi)部奇異點(diǎn),需使得SGCMG系統(tǒng)下一控制周期的框架角盡量遠(yuǎn)離奇異狀態(tài),則引入如下指標(biāo)函數(shù):

(15)

式中:矩陣P和Qi為正定的權(quán)值矩陣;ΔT為控制周期;Δδi(t+ΔT)是下一控制周期系統(tǒng)框架角δi(t+ΔT)與機(jī)動方向上第i個內(nèi)部奇異框架角δsi的框架角誤差,形式為

(16)

在指標(biāo)函數(shù)式(15)中,第一項是為了最小化操縱律的框架角速度,第二項是為了最大化框架角誤差,使SGCMG系統(tǒng)遠(yuǎn)離對應(yīng)奇異點(diǎn)。為了得到局部最優(yōu)的框架角速度指令,需在力矩生成式(2)的約束下優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)J。根據(jù)Lagrange乘子法,可得到拉格朗日函數(shù):

(17)

式中:λ為拉格朗日乘子矢量。

那么,最小化指標(biāo)函數(shù)J需使下列一階偏導(dǎo)約束式成立:

(18)

將式(17)代入式(18)中,化簡可得:

(19)

式中:Δδi(t)=δ(t)-δsi表示當(dāng)前時刻的框架角誤差。

那么,根據(jù)式(19)可以得到乘子矢量λ表達(dá)式:

(20)

(21)

那么將式(20)和式(21)代入式(19)中,可得操縱律的表達(dá)式為

(22)

由于m是零運(yùn)動的分母項,其值不可為0,且為了使操縱律能規(guī)避奇異點(diǎn),式(22)的第二項系數(shù)應(yīng)當(dāng)取正值。因而,權(quán)值參數(shù)γi需滿足約束式:

(23)

在SGCMG系統(tǒng)的內(nèi)部奇異面中,隱奇異面數(shù)目眾多且分布形式復(fù)雜,這使得SGCMGs的角動量軌跡在航天器姿態(tài)機(jī)動過程中將穿過多個隱奇異面。此外,在到達(dá)內(nèi)部顯奇異面之前,SGCMGs將先到達(dá)相鄰的隱奇異面。文獻(xiàn)[16]直接對所有機(jī)動方向上的奇異點(diǎn)進(jìn)行奇異規(guī)避,但由于零運(yùn)動可以規(guī)避系統(tǒng)的隱奇異狀態(tài),為減少式(22)中操縱律需規(guī)避的奇異點(diǎn)數(shù)目,考慮奇異度量參數(shù):

D=det(AAT)

(24)

對于任何SGCMG系統(tǒng)來說,當(dāng)奇異參數(shù)取值為0時,系統(tǒng)陷入奇異狀態(tài),且D取值越大,系統(tǒng)越遠(yuǎn)離奇異。通過引入含有奇異度量D梯度矢量的零運(yùn)動項來規(guī)避SGCMG構(gòu)型內(nèi)部的隱奇異狀態(tài),可以得到方向奇異規(guī)避操縱律DSA的表達(dá)式為

(25)

式中:i=2,3,…,ns+1,ns表示方向約束下SGCMG系統(tǒng)內(nèi)部顯奇異點(diǎn)的個數(shù);γ1=k1exp(-k2D)。由于SGCMG系統(tǒng)只在角動量幅值增大的過程中才可能遇到構(gòu)型的內(nèi)部顯奇異狀態(tài)[2],式(25)中規(guī)避內(nèi)部顯奇異點(diǎn)的項只需在角動量幅值小于所考慮顯奇異點(diǎn)角動量幅值的情況發(fā)揮作用,因而其他參數(shù)形式為

(26)

式中:Hsi為第i個顯奇異點(diǎn)處系統(tǒng)的奇異角動量,ΔHsi=Hcmg-Hsi表示系統(tǒng)當(dāng)前角動量與奇異角動量的誤差矢量。

那么,基于前述分析和推導(dǎo),采用DSA操縱律的奇異規(guī)避策略可通過如下三個步驟來實(shí)現(xiàn):

1)根據(jù)初始誤差姿態(tài)和控制律策略求出姿態(tài)機(jī)動力矩的方向矢量uc,那么SGCMG系統(tǒng)的角動量方向矢量為uh=-uc;

2)根據(jù)SGCMG構(gòu)型的奇異面分布性質(zhì),通過數(shù)值求解式(14),得到機(jī)動方向矢量uh上的SGCMG系統(tǒng)所有內(nèi)部顯奇異點(diǎn);

3)采用式(25)中DSA操縱律來操縱SGCMG系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)奇異規(guī)避。

4 仿真校驗

對金字塔構(gòu)型分別用改進(jìn)的奇異方向規(guī)避操縱律[4](簡稱為rSDA)和DSA操縱律進(jìn)行兩組姿態(tài)機(jī)動的仿真。第一組仿真中rSDA操縱律的表達(dá)式為

(27)

式中:σ1=l1exp(-l2D),σ2=l3exp(-l4D);l1,l2,l3和l4是待設(shè)計的正參數(shù)。

航天器姿態(tài)系統(tǒng)參數(shù)、控制律參數(shù)和SGCMG構(gòu)型相關(guān)參數(shù)如表1所示。參考軌跡的時間t1,t2和t3都取值為10 s,轉(zhuǎn)動慣量矩陣的值為

(32)

表1 仿真參數(shù)

(28)

參考軌跡的歐拉軸矢量為

e0=[0.568 7-0.480 9-0.667 3]T

(29)

金字塔構(gòu)型是框架軸矢量對應(yīng)于正八面體的由4個SGCMG構(gòu)成的構(gòu)型,具有復(fù)雜的內(nèi)部奇異性質(zhì),其Jacobi矩陣為

(30)

式中:β表示安裝傾角,為SGCMG框架軸矢量與體坐標(biāo)系XY平面的夾角。

SGCMG系統(tǒng)的初始框架角為

(31)

由于World-View衛(wèi)星和Pleiades系列衛(wèi)星搭載的SGCMG角動量分別為75 N·ms和15 N·ms,最大框架角速度分別可達(dá)91.67 (°)/s和171.89 (°)/s。因此,為了使仿真參數(shù)符合工程實(shí)際,本節(jié)仿真中SGCMG角動量幅值設(shè)為50 N·ms,最大框架角速度設(shè)為57.30 (°)/s,也就是1 rad/s。

根據(jù)以上轉(zhuǎn)動慣量和歐拉軸的取值以及式(8),可以求出機(jī)動力矩方向矢量uc,再通過優(yōu)化求解可以得到機(jī)動過程中可能遇到的兩個內(nèi)部顯奇異點(diǎn),其對應(yīng)的框架角δs1和δs2的值為

為實(shí)現(xiàn)奇異規(guī)避,DSA操縱律中需考慮這兩個奇異框架角,對應(yīng)的參數(shù)為k3,k4,k5和k6,可對兩個顯奇異點(diǎn)的零運(yùn)動項取相同的參數(shù)值來簡化參數(shù)設(shè)計過程。此外,為了使兩組仿真條件盡量一致,兩種操縱律中奇異度量D的零運(yùn)動項的系數(shù)取相同值,即有:k1=l3=1.2,k2=l4=10。其他參數(shù)取值為:k3=k5=9.6,k4=k6=2,l1=0.01,l2=20。

第一組仿真結(jié)果如圖3～5所示,第二組仿真結(jié)果如圖6～8所示。通過對比圖3和圖6可知:在機(jī)動過程中,姿控系統(tǒng)在rSDA操縱律作用下產(chǎn)生的單軸誤差力矩極大值達(dá)20.23 N·m,而DSA操縱律幾乎不引起誤差力矩,其極值小于2×10-3N·m。

圖3 第一組仿真rSDA操縱律的力矩誤差

圖4 第一組仿真rSDA操縱律的奇異參數(shù)

圖5 第一組仿真rSDA操縱律的框架角誤差范數(shù)

圖6 第二組仿真DSA操縱律的力矩誤差

圖4和圖5、圖7和圖8分別展示了兩組仿真中的奇異度量D和框架角誤差范數(shù)=Δδi(t)=的軌跡。對比圖4和圖7可知,SGCMG系統(tǒng)在rSDA的操縱下陷入了奇異狀態(tài),而DSA操縱律規(guī)避了奇異。由圖5和圖8可以看出,相比于rSDA操縱SGCMG系統(tǒng)使其直接到達(dá)奇異點(diǎn)δs2,DSA操縱律的誤差框架角零運(yùn)動項可以使系統(tǒng)遠(yuǎn)離對應(yīng)的奇異框架角,從而規(guī)避機(jī)動力矩方向上潛在的內(nèi)部顯奇異點(diǎn)。

圖7 第二組仿真DSA操縱律的奇異參數(shù)

圖8 第二組仿真DSA操縱律的框架角誤差范數(shù)

5 結(jié) 論

對于航天器姿態(tài)機(jī)動中SGCMG系統(tǒng)的奇異規(guī)避問題,本文研究了機(jī)動方向固定情況下奇異框架角的求解問題,給出了角動量方向約束下奇異框架角的等效非線性優(yōu)化求解式,并基于角動量方向約束下的奇異框架角提出了方向奇異規(guī)避操縱律,可以避免系統(tǒng)到達(dá)機(jī)動方向上的顯奇異點(diǎn)。文中給出的兩組對比仿真實(shí)例說明了該操縱律的有效性。