融合插值點(diǎn)優(yōu)化的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器設(shè)計(jì)方法*

許志強(qiáng) 陳華偉 王曉楠 史文旭

(南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院 南京 211106)

0 引言

波束形成作為陣列信號(hào)處理的一項(xiàng)重要技術(shù)，可有效獲取期望方向上的有用信號(hào)，同時(shí)抑制來(lái)自其他方向上的干擾和噪聲，在聲信號(hào)處理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-5]。處理聲頻和語(yǔ)聲信號(hào)時(shí)，一般采用寬帶波束形成器，如典型的濾波求和結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器。在一些應(yīng)用場(chǎng)景中，如聲頻監(jiān)控和視頻會(huì)議系統(tǒng)等，聲源的位置可能是變化的，因此，設(shè)計(jì)主瓣指向可調(diào)的寬帶波束形成器具有重要意義。

多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器是實(shí)現(xiàn)主瓣指向可調(diào)的一類重要方法[4]，具有適用于任意結(jié)構(gòu)的陣列以及主瓣調(diào)向?qū)崿F(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器是基于分?jǐn)?shù)時(shí)延數(shù)字濾波器中的Farrow 結(jié)構(gòu)[6]而提出的，因此在文獻(xiàn)中亦稱為Farrow結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器。根據(jù)不同的優(yōu)化設(shè)計(jì)原理，人們相繼提出了一些多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器設(shè)計(jì)方法[7-11]，典型的方法包括最小二乘設(shè)計(jì)以及基于凸優(yōu)化的設(shè)計(jì)等。需要指出的是，在多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器設(shè)計(jì)中，由于采用的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的階數(shù)是有限的，因此不可避免存在有限次多項(xiàng)式插值所帶來(lái)的截?cái)嗾`差，進(jìn)而導(dǎo)致波束形成器產(chǎn)生主瓣指向偏差。主瓣指向偏差的存在還將影響波束形成器的指向性指數(shù)，尤其對(duì)于低階多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)影響更為顯著。針對(duì)這一問(wèn)題，最近文獻(xiàn)[12]提出了一種改進(jìn)的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，利用主瓣實(shí)際指向和期望指向之間的非線性關(guān)系對(duì)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)中的調(diào)向模塊進(jìn)行校準(zhǔn)，有效降低了主瓣的指向偏差，改善了波束形成器的指向性指數(shù)。但是，該方法存在的缺點(diǎn)是縮小了主瓣指向可調(diào)角度的范圍。因此，如何在不縮小主瓣指向可調(diào)范圍的前提下改善多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器的設(shè)計(jì)性能值得進(jìn)一步研究。

需要注意的是，在現(xiàn)有的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器設(shè)計(jì)中，多項(xiàng)式插值點(diǎn)的位置選擇往往都是均勻分布的，因而插值點(diǎn)位置的自由度沒(méi)有得到充分利用。本文通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)多項(xiàng)式插值點(diǎn)位置進(jìn)行優(yōu)化，可有效提升多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器的性能。基于此，提出了一種基于插值點(diǎn)優(yōu)化的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器設(shè)計(jì)方法。該方法通過(guò)引入插值點(diǎn)處陣列響應(yīng)的空間導(dǎo)數(shù)約束，減小了主瓣指向偏差；然后利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)插值點(diǎn)位置進(jìn)行優(yōu)化，以充分利用插值點(diǎn)位置提供的自由度進(jìn)一步提升多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器的性能。仿真結(jié)果表明，與現(xiàn)有均勻插值點(diǎn)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)相比，所提方法有效降低了主瓣指向偏差，同時(shí)提升了陣列的指向性指數(shù)，且不會(huì)縮小主瓣指向可調(diào)角度的范圍。

1 陣列模型與評(píng)價(jià)指標(biāo)

1.1 陣列模型

考慮遠(yuǎn)場(chǎng)情況下K個(gè)傳聲器組成的均勻線陣，多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。每個(gè)傳聲器連接M個(gè)抽頭數(shù)為N的有限沖激響應(yīng)(Finite impulse response,FIR)濾波器，wm(k,n)為濾波器的抽頭權(quán)值，其中m=0,···,M-1，k=0,···,K-1，n=0,···,N-1。與傳統(tǒng)寬帶波束形成器的結(jié)構(gòu)相比，多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器中的每個(gè)傳聲器所接的是一組濾波器而不再是單個(gè)濾波器。

圖1 多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器Fig.1 Structure of the polynomial broadband beamformers

在頻率f和入射角度θ處的陣列響應(yīng)可以表示為

式(1)中，Wk,m(f)=wm(k,n)exp(-j2πfn/fs)為濾波器權(quán)值的頻率響應(yīng)[5]，D=(ψ-90°)/90°表示多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)中的調(diào)向參數(shù)，通過(guò)調(diào)節(jié)該參數(shù)便可實(shí)現(xiàn)主瓣指向的實(shí)時(shí)可調(diào)；fs為采樣頻率，dk表示第k個(gè)傳聲器與參考中心的距離，c代表空氣聲速，ψ表示波束形成器的主瓣期望指向角度。

為簡(jiǎn)化表示，式(1)可改寫為矩陣形式：

式(2)中，

表示多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)中濾波器權(quán)值對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)矢量，g(ψ,f,θ)=d(f,θ)?s(D)為波束形成器的導(dǎo)向矢量，d(f,θ)=[e-j2πfd0cosθ/c,···,e-j2πfdK-1cosθ/c]T為陣列傳遞函數(shù)矢量，s(D)=[DM-1,···,D,1]T表示波束形成器的調(diào)向矢量；[·]T表示轉(zhuǎn)置，?表示Kronecker積。

1.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了便于下文評(píng)價(jià)波束形成器的性能，除了波束圖之外，還采用以下指標(biāo)。

1.2.1 指向偏差

由圖1 可知，多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器后端的調(diào)向模塊與FIR 濾波器的個(gè)數(shù)有關(guān)，即波束形成器中多項(xiàng)式插值的階數(shù)等于每個(gè)傳聲器連接的濾波器個(gè)數(shù)。由于多項(xiàng)式階數(shù)總是有限的，而有限次的多項(xiàng)式插值將導(dǎo)致截?cái)嗾`差。盡管使用多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器的初衷是想要主瓣指向任意期望的角度方向，但由于截?cái)嗾`差的存在，主瓣的實(shí)際指向會(huì)偏離期望指向，這就產(chǎn)生了指向偏差。指向偏差表征了波束形成器主瓣指向的精準(zhǔn)程度，在寬帶條件下，可表示為主瓣期望指向與各個(gè)頻點(diǎn)下實(shí)際指向的平均絕對(duì)誤差(Mean absolute error,MAE)：

式(3)中，

其 中，j=0,···,J-1，q=0,···,Q-1，l=0,···,L-1，J代表為主瓣期望指向可調(diào)范圍內(nèi)的離散點(diǎn)數(shù)，Q和L分別代表頻率離散點(diǎn)數(shù)和入射角度離散點(diǎn)數(shù)；φq表示給定頻率范圍內(nèi)每個(gè)頻點(diǎn)fq下波束陣列響應(yīng)所對(duì)應(yīng)的主瓣實(shí)際指向角度。

1.2.2 指向性指數(shù)

指向性指數(shù)(Directivity index,DI)用來(lái)表征全向性噪聲場(chǎng)環(huán)境下的陣列增益，可表示為

1.2.3 白噪聲增益

白噪聲增益(White noise gain,WNG)表征了波束形成器的魯棒性，可表示為

其中，IK代表K×K的單位矩陣，‖·‖表示l2范數(shù)。

2 現(xiàn)有均勻插值點(diǎn)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及其問(wèn)題分析

為了分析現(xiàn)有多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)存在的主瓣指向偏差問(wèn)題，本文以基于凸優(yōu)化的魯棒設(shè)計(jì)方法為例進(jìn)行分析。該方法是典型的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器設(shè)計(jì)方法，文獻(xiàn)[7]首先將其運(yùn)用于多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器設(shè)計(jì)中，后來(lái)又被應(yīng)用于二維多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器設(shè)計(jì)和三角函數(shù)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器設(shè)計(jì)[13-14]。該設(shè)計(jì)方法對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題可表示為

其中，i=0,···,I-1，q=0,···,Q-1，l=0,···,L-1，分別表示可調(diào)范圍的插值點(diǎn)、頻率樣點(diǎn)及入射角度范圍的離散點(diǎn)；式(7b)為期望方向上的無(wú)失真約束；式(7c)為WNG 約束，γ為WNG 約束的門限。

考慮遠(yuǎn)場(chǎng)條件下K=8 陣元組成的線陣，陣元間隔d=0.045 m，聲速c=340 m/s，采樣頻率fs=8000 Hz，WNG 約束的門限值γdB=-35 dB，入射角度范圍Θ=[0°,180°]，頻率范圍Ω=[200,3700] Hz，主瓣期望指向可調(diào)范圍Ψ=[40°,140°]，從中均勻選取11 個(gè)插值點(diǎn)，此時(shí)ψi=[40°50°60°···140°]；對(duì)于期望指向角度ψ，通帶范圍為ΘML=[ψ-5°,ψ+5°]，阻帶范圍為ΘSL=[0°,ψ-35°]∪[ψ+35°,180°]，期望的波束響應(yīng)Pd(ψ,f,θ)在通帶范圍內(nèi)為1，阻帶范圍內(nèi)為0。求得濾波器頻率響應(yīng)Wk,m(f)后，用抽頭數(shù)N=512 的濾波器逼近計(jì)算后的頻率響應(yīng)，從而獲得各濾波器抽頭權(quán)值。

表1 給出了不同多項(xiàng)式階數(shù)下波束形成器的最大指向偏差與最小DI，同時(shí)也計(jì)算了整個(gè)調(diào)向范圍內(nèi)指向偏差與DI 的平均值。可以發(fā)現(xiàn)，隨著多項(xiàng)式階數(shù)的增加，波束形成器的指向偏差減小，DI 則隨階數(shù)增加而逐漸提升。為了進(jìn)一步觀察多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器DI 的變化，圖2 分別給出了指向偏差和DI 在整個(gè)調(diào)向范圍內(nèi)隨階數(shù)變化的曲線?？v觀整個(gè)調(diào)向范圍，各階數(shù)下波束形成器的主瓣期望指向越偏離中心位置，指向偏差越大。從圖2(b)可以看出，DI 的最小值位于調(diào)向范圍的邊緣處；并且階數(shù)越低，DI最小值也越低。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)M=4時(shí)，主瓣最大指向偏差為12.46°，對(duì)應(yīng)最小DI 為5.30 dB；相比之下，當(dāng)M=7 時(shí)，指向偏差最大值僅為3.92°，對(duì)應(yīng)最小DI為7.57 dB。

表1 多項(xiàng)式階數(shù)對(duì)波束形成器性能的影響Table 1 Effect of polynomial order on the beamformer performance

圖2 不同多項(xiàng)式階數(shù)下的指向偏差和DIFig.2 Orientation deviation and DI under different polynomial orders

以上的分析表明，現(xiàn)有的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器設(shè)計(jì)存在主瓣指向偏差，且指向偏差最大的地方集中于調(diào)向范圍的邊緣，對(duì)應(yīng)的DI 一般也是最差的。特別對(duì)于低階的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)，問(wèn)題更為突出。雖然增大多項(xiàng)式的階數(shù)可以改善波束形成器性能，但在實(shí)際應(yīng)用中，增大多項(xiàng)式階數(shù)意味著濾波器個(gè)數(shù)增加，硬件實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度相應(yīng)變大。為解決這一問(wèn)題，下文我們將提出基于插值點(diǎn)優(yōu)化的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器設(shè)計(jì)方法。

3 基于插值點(diǎn)優(yōu)化的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器設(shè)計(jì)

3.1 空間導(dǎo)數(shù)約束的引入

通過(guò)第2 節(jié)的分析可知，由于有限次多項(xiàng)式插值所帶來(lái)的截?cái)嗾`差，將導(dǎo)致多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器的主瓣指向出現(xiàn)偏差，進(jìn)而會(huì)造成陣列的DI下降。針對(duì)這一問(wèn)題，本節(jié)引入陣列響應(yīng)的空間導(dǎo)數(shù)約束，以減小多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器的主瓣指向偏差。注意到，對(duì)于給定的陣列響應(yīng)，其主瓣指向位置對(duì)應(yīng)于陣列響應(yīng)幅值的最大值點(diǎn)。因此，根據(jù)式(1)，若主瓣實(shí)際指向與期望指向一致，那么陣列響應(yīng)幅值平方關(guān)于角度θ的空間導(dǎo)數(shù)在期望角度ψ上應(yīng)當(dāng)為零，即在θ=ψ處滿足如下條件：

考慮到式(2)，有

式(9)中，[·]H代表共軛轉(zhuǎn)置，[·]*代表共軛。將式(9)代入式(8)，并考慮到期望方向上需滿足陣列響應(yīng)的無(wú)失真約束條件wT(f)g(ψ,f,ψ)=1，式(8)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

式(10)中，Re[·]代表取實(shí)部。為表示方便，令?d(f,θ)/?θ|θ=ψ?h(f,ψ)，根據(jù)式(2)中d(f,θ)的定義，有

則由式(10)，θ=ψ處的空間導(dǎo)數(shù)約束條件可表示為

3.2 優(yōu)化問(wèn)題的構(gòu)建

為減小主瓣指向偏差，在多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，引入上述插值點(diǎn)處的空間導(dǎo)數(shù)約束。相應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題可以表述為

需要說(shuō)明的是，優(yōu)化問(wèn)題(12)中，對(duì)于施加的插值點(diǎn)處的空間導(dǎo)數(shù)約束式(12d)，僅約束了位于調(diào)向范圍邊緣的插值點(diǎn)，即ψi(i=0,I-1)，而非全部的插值點(diǎn)。主要原因包括兩個(gè)方面：(1) 由上文分析可知，調(diào)向范圍邊緣的插值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的主瓣指向偏差較大，而中間的插值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的主瓣指向偏差相對(duì)較小。因此，約束邊緣處的插值點(diǎn)可有效抑制整個(gè)調(diào)向范圍內(nèi)的主瓣指向誤差峰值。(2) 研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)約束全部的插值點(diǎn)時(shí)，將導(dǎo)致陣列的DI有較大的損失，而僅約束調(diào)向范圍邊緣的插值點(diǎn)則可以取得較好的折中。

現(xiàn)有的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器設(shè)計(jì)中，多項(xiàng)式插值點(diǎn)的位置選擇往往都是均勻分布的，插值點(diǎn)位置的自由度沒(méi)有得到充分利用，忽視了插值點(diǎn)位置的優(yōu)化對(duì)提升波束形成器性能的貢獻(xiàn)。為克服這一缺點(diǎn)，在優(yōu)化問(wèn)題式(12)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出將插值點(diǎn)優(yōu)化納入多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器設(shè)計(jì)中?？紤]到優(yōu)化問(wèn)題式(12)由于引入了空間導(dǎo)數(shù)約束造成陣列DI 下降，因此在優(yōu)化插值點(diǎn)時(shí)，采用DI作為代價(jià)函數(shù)，以通過(guò)插值點(diǎn)的優(yōu)化提升設(shè)計(jì)性能。插值點(diǎn)優(yōu)化的問(wèn)題可以表述為

式(13)中DI(ψ|ψi),i=0,···,I-1 表示將ψi(i=0,···,I-1)作為波束形成器插值點(diǎn)而計(jì)算得到的DI。

3.3 優(yōu)化問(wèn)題的求解

圖3給出了基于插值點(diǎn)優(yōu)化的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器設(shè)計(jì)方法的整體框圖，其中主要包括求解插值點(diǎn)優(yōu)化問(wèn)題和濾波器頻率響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題兩部分。注意到，在求解插值點(diǎn)優(yōu)化問(wèn)題式(13)時(shí)，其代價(jià)函數(shù)的計(jì)算涉及到濾波器頻率響應(yīng)，因此在框圖中濾波器頻率響應(yīng)優(yōu)化到插值點(diǎn)優(yōu)化之間存在反饋環(huán)節(jié)。下面分別討論如何實(shí)現(xiàn)濾波器頻率響應(yīng)優(yōu)化和插值點(diǎn)位置優(yōu)化。

圖3 基于插值點(diǎn)優(yōu)化的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器設(shè)計(jì)方法的整體框圖Fig.3 Block diagram of polynomial broadband beamformers design based on interpolation point optimization

3.3.1 濾波器頻率響應(yīng)的優(yōu)化

首先分析濾波器頻率響應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題(12)。注意到，優(yōu)化問(wèn)題式(12)中的代價(jià)函數(shù)式(12a)是凸函數(shù)，而無(wú)失真約束式(12b)為線性的，因此無(wú)失真約束也為凸約束。考慮到線性約束條件式(12b)，對(duì)于WNG 約束條件式(12c)可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為‖‖wT(fq)[Ik ?s(D)]‖‖2≤γ-1，因此約束條件式(12c)也為凸約束。接下來(lái)考慮空間導(dǎo)數(shù)約束式(12d)。為了表示簡(jiǎn)便，令

則對(duì)于任意λ ∈[0,1]，有以下關(guān)系成立：

這意味著G(w)是一個(gè)仿射函數(shù)。而對(duì)于仿射函數(shù)也是凸函數(shù)，因此空間導(dǎo)數(shù)約束式(12d)同樣也是一個(gè)凸約束。所以，優(yōu)化問(wèn)題式(12)是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，可以使用常用的凸優(yōu)化工具箱CVX 進(jìn)行高效求解[15]。

3.3.2 插值點(diǎn)位置的優(yōu)化

接下來(lái)，討論插值點(diǎn)位置的優(yōu)化問(wèn)題式(13)。相對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題式(12)，插值點(diǎn)位置的優(yōu)化要復(fù)雜得多，因?yàn)槠浯鷥r(jià)函數(shù)為DI，是關(guān)于插值點(diǎn)位置的高維、非線性、非凸的函數(shù)。常規(guī)的凸優(yōu)化等方法不適合求解該類問(wèn)題?？紤]到粒子群算法具有易于實(shí)現(xiàn)、收斂快、精度高等優(yōu)點(diǎn)[16]，這里采用智能優(yōu)化算法中的粒子群算法求解插值點(diǎn)位置優(yōu)化問(wèn)題式(13)。

首先，將優(yōu)化問(wèn)題(13)中的代價(jià)函數(shù)轉(zhuǎn)化為粒子群算法中的適應(yīng)度函數(shù)。為敘述方便，設(shè)單個(gè)插值點(diǎn)粒子位置為a=[ψ0,···,ψI-1]，速度為V=[V0,···,VI-1]，根據(jù)優(yōu)化問(wèn)題式(13)，適應(yīng)度函數(shù)定義為

在引入適應(yīng)度函數(shù)之后，相應(yīng)的插值點(diǎn)優(yōu)化過(guò)程如下：

(1) 給定粒子位置邊界ψmax、ψmin及速度邊界Vmax、Vmin，對(duì)種群進(jìn)行初始化，得到粒子初始位置和速度，其中，u=0,···,U-1，U代表粒子群算法中的種群大小。根據(jù)粒子初始位置計(jì)算對(duì)應(yīng)適應(yīng)度函數(shù)值，其中DI的大小是通過(guò)將式(12)求解得到的頻率響應(yīng)代入式(5)得到，通過(guò)式(17)獲取粒子個(gè)體最優(yōu)解的初始位置和種群最優(yōu)解的初始位置：

(2) 更新粒子速度和位置：

(4) 令k=k+1，重復(fù)步驟(2)和步驟(3)，直到滿足所設(shè)定的最大迭代次數(shù)，終止粒子更新，輸出此時(shí)種群最優(yōu)解的位置作為最終的優(yōu)化插值點(diǎn)：

綜上所述，基于粒子群算法的插值點(diǎn)優(yōu)化具體流程圖如圖4所示。

圖4 基于粒子群算法的插值點(diǎn)優(yōu)化流程圖Fig.4 Flow chart of interpolation point optimization based on particle swarm algorithm

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

4.1 指向偏差分析

首先比較本文提出的基于插值點(diǎn)優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法與現(xiàn)有設(shè)計(jì)方法的主瓣指向偏差。注意到，本文提出的基于插值點(diǎn)優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法利用了插值點(diǎn)空間導(dǎo)數(shù)約束，以降低主瓣指向偏差。為了公平比較，還對(duì)比了采用插值點(diǎn)空間導(dǎo)數(shù)約束的均勻插值點(diǎn)設(shè)計(jì)方法。

仿真條件如第2 節(jié)，考慮由8 個(gè)傳聲器構(gòu)成的均勻線陣，每個(gè)傳聲器后接4 個(gè)濾波器，陣元間隔0.045 m。在現(xiàn)有多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法中，調(diào)向范圍內(nèi)均勻選取7 個(gè)插值點(diǎn)[40.00°56.67°73.33°··· 140.00°]。在用粒子群算法求解優(yōu)化插值點(diǎn)時(shí)，設(shè)粒子數(shù)U=30，最大迭代次數(shù)為50，學(xué)習(xí)因子c1,c2=1.4，慣性權(quán)重ω=0.8。可得，優(yōu)化插值點(diǎn)的位置為[50.47°66.83°82.94°90.78°96.95°114.42°129.20°]，因此將50.47°和129.20°作為空間導(dǎo)數(shù)約束下的插值點(diǎn)。

圖5 和圖6 分別給出了期望角度為40°和130°時(shí)3 種設(shè)計(jì)方法的波束圖，其中紅色實(shí)線為200 Hz下的波束圖，而藍(lán)色點(diǎn)劃線為2300 Hz 下的波束圖。可以看出，現(xiàn)有設(shè)計(jì)方法得到的主瓣實(shí)際指向與期望指向偏離較大，而加入調(diào)向邊緣角度導(dǎo)數(shù)約束的兩組設(shè)計(jì)無(wú)論在40°還是130°下，其主瓣指向偏差都顯著下降。從圖5(b)可以看出，因?yàn)榫鶆虿逯迪聦?dǎo)數(shù)約束設(shè)計(jì)對(duì)邊緣角度40°做了約束，所以對(duì)應(yīng)期望角度為40°時(shí)的主瓣實(shí)際指向與期望指向幾乎重合；而對(duì)于優(yōu)化插值點(diǎn)下導(dǎo)數(shù)約束設(shè)計(jì)，其插值點(diǎn)邊緣角度點(diǎn)為50.47°和129.20°，觀察圖6(c)可以發(fā)現(xiàn)，期望角度為130°時(shí)的主瓣實(shí)際指向重合于期望角度。上述分析表明，加入導(dǎo)數(shù)約束后的設(shè)計(jì)能夠很好地控制主瓣指向，且對(duì)于導(dǎo)數(shù)約束下插值點(diǎn)附近的波束圖主瓣控制效果更好。

圖5 期望指向?yàn)?0°時(shí)，3 種設(shè)計(jì)在200 Hz 和2300 Hz下的波束圖Fig.5 Beampatterns of the three designs at 200 Hz and 2300 Hz with the desired look direction 40°

圖6 期望指向?yàn)?30°時(shí)，3 種設(shè)計(jì)在200 Hz 和2300 Hz下的波束圖Fig.6 Beampatterns of the three designs at 200 Hz and 2300 Hz with the desired look direction 130°

為了說(shuō)明整個(gè)調(diào)向范圍內(nèi)不同設(shè)計(jì)的主瓣指向結(jié)果，圖7 給出了整個(gè)調(diào)向范圍內(nèi)3 種設(shè)計(jì)下的主瓣指向偏差對(duì)比圖。從圖7 中可以看出，加入調(diào)向邊緣插值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)約束的兩組設(shè)計(jì)較現(xiàn)有設(shè)計(jì)，不僅調(diào)向邊緣指向偏差較大的問(wèn)題得到了很好的改善，整體的指向偏差也都減小了。并且，優(yōu)化插值點(diǎn)下的主瓣指向偏差整體上更低一些。表2 給出了3種設(shè)計(jì)具體的指向偏差對(duì)比結(jié)果。從最大指向偏差結(jié)果來(lái)看，優(yōu)化插值點(diǎn)和均勻插值點(diǎn)下導(dǎo)數(shù)約束的最大指向偏差分別為2.31°和3.54°，較現(xiàn)有設(shè)計(jì)的12.62°明顯減小，而平均指向偏差也從原來(lái)的6.41°分別減小到1.33°和2.09°。盡管導(dǎo)數(shù)約束下兩組設(shè)計(jì)都起到了減小指向偏差的作用，但優(yōu)化插值點(diǎn)下的導(dǎo)數(shù)約束設(shè)計(jì)對(duì)于指向偏差的改善效果更優(yōu)，其主瓣指向更加精準(zhǔn)。

表2 3 種設(shè)計(jì)下的指向偏差結(jié)果Table 2 Orientation deviation results under three designs

圖7 3 種設(shè)計(jì)的指向偏差對(duì)比Fig.7 Comparison of orientation deviation of three designs

4.2 DI及WNG分析

仿真條件如4.1 小節(jié)，圖8(a)給出了不同設(shè)計(jì)下的DI。可以發(fā)現(xiàn)，相較于現(xiàn)有設(shè)計(jì)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)約束的兩組設(shè)計(jì)改善了調(diào)向邊緣DI較小的情況，但對(duì)于均勻插值點(diǎn)下的導(dǎo)數(shù)約束設(shè)計(jì)，中間一段調(diào)向范圍下的DI 相較現(xiàn)有設(shè)計(jì)出現(xiàn)較大幅度的下降。而優(yōu)化插值點(diǎn)下的導(dǎo)數(shù)約束設(shè)計(jì)相比均勻插值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)約束，整個(gè)調(diào)向范圍下的DI 基本都有不同程度的提高，改善了均勻插值點(diǎn)下導(dǎo)數(shù)約束設(shè)計(jì)引起的DI 損失的問(wèn)題。表3 則給出了不同設(shè)計(jì)具體的DI對(duì)比結(jié)果。從表3 中可以看出，現(xiàn)有設(shè)計(jì)下的DI 平均值和最小值分別為6.43 dB 和5.22 dB，均勻插值點(diǎn)下的導(dǎo)數(shù)約束設(shè)計(jì)相較現(xiàn)有設(shè)計(jì)，雖然平均DI損失了0.21 dB，但其DI 最小值提高了0.62 dB；而優(yōu)化插值點(diǎn)下的導(dǎo)數(shù)約束設(shè)計(jì)不僅使平均DI 提高了0.46 dB，其最小值更是提高了1.43 dB之多，有效改善了波束形成器指向性能。

表3 3 種設(shè)計(jì)下的DI 結(jié)果Table 3 DI under three designs

圖8 3 種設(shè)計(jì)下波束形成器的性能對(duì)比Fig.8 Performance comparison of beamformer under three designs

另外，鑒于本文所提設(shè)計(jì)是在現(xiàn)有設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上提出的，兩者都采用了WNG 約束的方法確保魯棒性，因此這里還比較了不同設(shè)計(jì)下的WNG。通過(guò)公式(6)可以得到可調(diào)范圍內(nèi)每個(gè)期望角度隨頻率變化的WNG 曲線，通過(guò)取其平均值，便可得到整個(gè)調(diào)向范圍在每個(gè)頻點(diǎn)下的平均WNG，結(jié)果示于圖8(b)。從圖8(b)可以看出，3 種設(shè)計(jì)方法下的WNG 都大于-35 dB，即滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。綜上所述，在滿足事先設(shè)定的魯棒性要求下，本文所提的基于插值點(diǎn)優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法不僅顯著降低了主瓣在整個(gè)調(diào)向范圍內(nèi)的指向偏差，且有效提升了陣列的DI。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于插值點(diǎn)優(yōu)化的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器設(shè)計(jì)方法，以克服現(xiàn)有設(shè)計(jì)方法存在的因多項(xiàng)式階數(shù)有限所導(dǎo)致的主瓣指向偏差和指向性指數(shù)下降的缺點(diǎn)。該方法引入了調(diào)向范圍邊緣處插值點(diǎn)的空間導(dǎo)數(shù)約束，以減小主瓣指向偏差。與現(xiàn)有的采用均勻插值點(diǎn)的設(shè)計(jì)方法不同，所提方法采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)中的插值點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化。其優(yōu)點(diǎn)是充分利用了插值點(diǎn)位置所提供的自由度，因而能夠進(jìn)一步提升多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)寬帶波束形成器的性能。仿真結(jié)果表明，與現(xiàn)有的設(shè)計(jì)方法相比，本文提出的設(shè)計(jì)方法不僅能夠顯著降低主瓣方向上的指向偏差，還可以有效提高波束形成器的指向性指數(shù)，有效改善了現(xiàn)有多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)波束形成器設(shè)計(jì)的性能。