非荷載因素作用下超靜定結構的力學特性分析

馬 駿

（渤海大學，遼寧 錦州 121013）

0 引言

對于非荷載因素對超靜定結構影響的研究，到目前為止已經有很多成熟的方法和理論，大部分都已作為知識點編入教材。而這些方法理論中有些傳統經典，也有些新穎易用。如李增福等[1]研究的超靜定結構如何求解位移，其方法是先將具有多余約束的超靜定結構轉化成無多余約束的靜定結構，這樣就把問題通過傳統的思維方法化繁為簡。李忠芳等[2]對溫度應力問題進行深度剖析，融合重組成一個關于構件會自由膨脹的靜定問題和關于裝配應力的超靜定問題。王樹范等[3]在解決支座移動給超靜定結構帶來的影響時，通過等效思維，將支座的移動作用等效成外部荷載，然后再求解超靜定結構的內力。本文利用力法原理分析非荷載因素（溫度、支座移動等）在超靜定結構上表現的力學特性。

1 力法原理求解超靜定結構內力公式

力法是超靜定結構求解方法中最基本的方法。例如溫度改變后，求超靜定的內力，可以把典型方程中的Δip改成由于溫度差所引起的、與多余約束未知力Xip相對應的位移Δit即可。這時典型方程就變為：

上面式子各系數算法與傳統方法基本一致。其不同點在于Δit的求解，還有對位移協調方程等式中右邊的位移Δi的注意。其中Δit是關于靜定結構因溫度變化而發生的位移，可通過下式解決：

式中：

α——材料的線膨脹系數。

后者Δit則要看上述公式是用于哪種非荷載因素情況。當然，此處是溫度荷載，其在建立力法的基本結構中不產生位移，故而取0。以上為力法求解溫度荷載在超靜定結構中的影響，力法對于求解支座移動對超靜定結構中所產生的影響同樣可以利用上式[4-5]。只是此時的Δit是在支座移動情況下產生的位移，其求解方法利用如下公式：

而方程右端的Δi則不再是0，而是條件中對應處的實際位移。非荷載因素下超靜定結構的求解問題，溫度因素和支座移動因素是非荷載因素的典型代表，本文主要針對這兩種因素的影響給予說明。當然，因制造帶來的誤差而導致的影響也重要。其位移可以通過位移求解的一般公式得到，公式如下：

上式通用于超靜定與靜定，使用時根據實際情況對應代入，無則取零。

除了力法可以解決非荷載因素的問題，位移法、能量法等也可以。本文主要例舉利用力法原理介紹非荷載因素（溫度、支座移動等）在超靜定結構上表現的力學特性。

2 溫度變化

圖1(a)所示為一跨剛架，剛架內側溫度+10℃，外側+20℃。求解其彎矩并繪出彎矩圖。截面為矩形，高度h=l/10，線膨脹系數為α[6]。

圖1 溫度荷載作用下的剛架

求解過程如下：

（1）首先由圖1(a)可知此結構溫度的分布和結構體都是對稱的。所以利用這個特點對其簡化，得圖1（b）。此時半結構中只剩下未知力X1和X2。

（2）列力法基本方程：

δ11X1+δ12X2 +Δ1t =0

δ21X1+δ22X2 +Δ2t =0

（3）求系數。由圖1(c)、(d)通過圖乘得：

按照圖1(a)計算自由項：

（4）最后將上述值對應回代方程，有：

2 支座移動

如圖2(a)所示，一根超靜定梁，A端下沉距離a，試繪制其彎矩內力圖[7]。

圖2 支座移動作用下的剛架

求解過程如下：

對原結構圖觀察，此梁有一個多余約束，其基本結構如圖2(b)所示，列方程為：

δ11X1+Δ1c=Δ1

根據已知條件，梁A端的轉角Δ1=φ；X1=1作用下基本結構的相應轉角可由圖2(c)求得，即A端轉角由剛體位移關系求得。Δ1c也可按照圖2(c)，利用單位荷載法求得。

將上述所求的常數項和相應的系數代入力法基本方程，從而解得：

綜上繪制彎矩圖，如圖2（d）所示。

3 支座移動與溫度變化同時作用

前文介紹了利用力法原理求解非荷載因素下超靜定結構的內力，這里介紹利用能量原理的辦法解之。如圖3(a)所示為一根等截面梁高h，材料為線性彈性體，材料線膨脹系數α。試用余能原理解其內力[8-9]。

圖3 支座移動作用下的剛架

求解過程如下：

（1）確定靜力可能內力，由圖3(b)、(c)得：

（2）求結構余能Ec：

（3）應用余能駐值條件：

因此：

4 結束語

通過以上例題推演，可以發現，在非荷載因素作用的情況下，超靜定結構會產生內力。靜定結構沒有多余約束，即它的自由度剛好為零，其上所有約束都參與維持它的平衡狀態。所以無論哪個約束移動，結構都會隨之移動從而去實現自平衡，這樣就沒有結構構件的變形，自然也就不會產生自內力。而超靜定結構有多余約束，約束之間相互牽制，無論哪一個都是不能隨便移動的，除非讓構件產生變形。而有變形就會有力，所以無論是溫度改變也好、支座移動也好，亦或者是制造誤差、材料收縮等，只要能使超靜定結構發生形變的因素，均可使超靜定結構產生自內力。這樣，材料的強度在結構投入使用之前就已經被消耗一部分了。若從此角度來看，某些情況下，靜定結構反而會更加適合某種嚴格控制自內力工程的應用。但一般工程都是超靜定結構，因為要保證它的安全儲備，不可以被輕易毀壞。因此這也給工程師們尤其是施工人員一個重要的提示，為了避免工程結構自內力的產生，在施工過程中一定嚴格把好施工質量關，對于建筑基礎、構件的制造等要格外注意。