猶抱琵琶半遮面 千呼萬喚始出來

于水英 陳麗 王玲

1 試題呈現

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33．

2 試題分析與思維導圖

2.1 第（1）問的分析

第（1）問難度較低，直接利用拋物線定義或者將題干直接“翻譯”成數學符號語言就可以得出來.

具體解法可以掃碼（圖2）觀看.

2.2 第（2）問的分析與思維導圖

析題：第（2）問可以抽象為相鄰的弦長和的最小值問題，通過條件轉化化歸得到鄰邊垂直，因此本問可以分三個步驟考慮：步驟一弦長和的表示，步驟二變量的統一化，步驟三研究最小值.不妨設A，B，C三點在W上，則

可得到下面的思維導圖（圖1）：

【步驟1】弦長和的表示

解析幾何中的弦長問題，通常是從代數角度出發，或設線，或設點；亦可以利用參數方程；當然個別情況會從圖形本身出發，通過幾何角度來解決弦長問題.

若選擇設線法，根據條件中AB，BC互相垂直且

【步驟2】變量統一化

步驟1得到的弦長和含有多個變量，多變量問題在高中階段常用的方法是減元，常見的減元方法有同構法、換元法、主元法、放縮法.觀察①式發現，這個式子含兩個變量且內部結構不對稱，很容易想到主元法.若以k為主元式子形式復雜，以t為主元式子對稱且為雙絕對值和的形式，故選t為主元看成雙絕對值和的形式；同理③式以a為主元也是雙絕對值和的形式.所以對于①式可用去絕對值的方法得到

當且僅當k=1時，等號成立.這里的式子與前面的⑤式相同.

【步驟3】研究最小值

求最小值常用的方法有求導法、二元基本不等式法、三元基本不等式法、柯西不等式法等.

對于⑤式，當k＞1時，除了換元還可以上下同時除以k6，利用同構的思想，就可以得到和第一段相同的式子，直接得到結論.

對于⑧式，令m=-（x1+x2），換元后得到g（m）=

提升：這道題的拋物線方程并非標準形式，但可以通過平移得到y=x2，因為平移并不影響周長的求解，且問題處理方式與前面都是一致的，得到的式子也相同，所以這道題也可以先平移再運算.

除這些常規方法以外，我們還可以利用不等式

來解決，不等式的證明請掃碼（圖2）觀看.下面看看如何利用它解決這道題：由設點法，可以得到|AB|+|BC|=

說明：沒有在文章中呈現的結論的證明、題目的具體解法，請掃碼（圖2）觀看.

3 試題感悟

3.1 厘清算理，提煉算法

本題指導學生將“所求”轉化為弦長和的最小值，從“已知”得到垂直關系，最終化歸為兩條垂直的弦長度和的最小值問題.先從步驟1即弦長的表示入手，不同入手方式形成不同的結果；研究多變量函數的最小值，統一變量是必經之路，于是進入步驟2；最后步驟3就是關鍵的運算環節.這樣從算理到算法的思維過程，層層剝殼，培養了學生的高階思維能力.

3.2 融合滲透，提升素養

通過題意分析講解，促進學生核心素養的提升.從表示弦長的設線法、設點法的代數思維，到直線參數方程法、設角法的幾何思維，培養了學生的邏輯推理、直觀想象等能力；在步驟2統一變量中培養了學生的數據分析能力；在步驟3中，培養了學生的運算能力.再者，整個過程用思維導圖的形式梳理，讓思維可視化，提升學生的關鍵能力.

3.3 善于總結，提煉升華

高中數學多數知識難懂，不好記憶，教師要引導學生總結所學知識，幫助學生理解問題.

4 試題鏈接