動中明定 定中求變

李丹 張勇輝

運動變化是數學學習中重要的思想方法之一，很多數學問題都呈現出“動中有定、動定相倚”的特點，教學中教師若能敏銳抓住這些特點，從“動”中尋找規律，從“定”中尋求突破，引導學生深度學習，對夯實學生數學基礎、開闊數學思維、提升解題能力將大有裨益.

下面，筆者從一道圓錐曲線試題的解題探究說起，談談解題教學中如何巧抓“動定關系”，引導學生進行深度學習.

1 試題呈現，條分縷析

（1）求橢圓C的標準方程.

（2）橢圓C的上、下頂點分別為點M和N，動點A在圓x2+y2=1上，動點B在橢圓C上，直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，且k1=5k2.

（ⅰ）證明：N，A，B三點共線；

（ⅱ）（略）.

這是臨近高考的一次統測中的解析幾何壓軸題.筆者所教授的班級屬于中等層次，多數學生第（2）問只能草草書寫一些方程，蹭一些步驟分.一個中等難度的試題成了本班學生的難題.

對于第（2）（i）問，從試題條件和結論分析，在前提條件下，“k1=5k2”是“N，A，B三點共線”的主要條件，條件與結論中的“動”“定”關系如表1.

因此，只要抓住主動點A，設出直線MA的方程，解出點A的坐標，同法解出從動點B的坐標，再比較直線AN，BN的斜率，問題便得以解決.第（2）（i）問的解答通法如下.

知kNA=kNB，所以N，A，B三點共線.

學生失分的主要因素有以下三個方面：（1）學生普遍對解析幾何大題有一種畏懼之心，長期的碰壁使其逐漸降低了得分的心理預期，不少學生抱著繞著走的心態；（2）圓錐曲線相關知識方法、重要二級結論等儲備不足，對一些條件不熟悉，不知如何破題，缺乏題感；（3）也是最重要的一點，雖然做過不少題，但缺乏深度學習，解題方法零散、碎片化，不成系統，下次遇到同類型的問題仍然重復犯錯，解題自信心屢受打擊，從而喪失信心.

2 逆向思考，存疑設問

對于這道試題的學習，如果到此為止，學生的解題思維和能力仍然得不到提高，因此有必要把探究引向深入.評講之后，筆者問了學生兩個問題：條件“k1=5k2”中的定值為什么恰好是“5”？這個“5”從何而來？立馬引得了幾個學生的附和，之后學生們陷入沉思.筆者將這些問題留給他們課后研討，準備第二天針對此題上一堂探究課.

3 展開實驗，初步探究

為了探究“5”的來由，筆者制作了幾何畫板課件，便于隨時改換條件進行動態研究和展示，以數學實驗的方式展開探究之旅.以下是課堂上的一些片段.

片段一：

師：誰能告訴大家，這個“5”從何而來？

生甲：我認為，這個“5”就是橢圓方程中的a2=5.

師：能給個理由嗎？

生甲：說不太清楚，直覺.

片段二：

師：能確保你們的運算是正確的嗎？

生丁：能，我和同學丙都算過兩遍.

片段三：

師：通過前面的探究，我們有必要把前面討論的重點問題重新歸結一下，可以得到以下命題.

（把時間留給學生，思考該如何證明，教師巡視.）

師：同學們如果仿照通法證明，運算量將非常大！有些同學已經開始怠工了.我發現同學乙找到了簡潔的證明方法，請他給大家展示一下.

生乙：由題意，得

師：多么簡潔！（全班鼓掌！）同學乙用到了我們以前學過的關于橢圓的一個重要的二級結論.雙曲線也有類似的性質，我們再一起回顧一下：

師：圓錐曲線的一些重要的二級結論在解決相關問題時非常有用，請同學們多總結，多運用，這樣一定能提高解題能力！

4 深度探究，精彩紛呈

針對本試題的課堂探究到此為止，但意猶未盡.作為課后作業，筆者要求學生模仿本題的命題思路及證明方法，命制一些類似的新命題.以下是學生的部分作品：

5 教學反思，啟迪智慧

（1）本課從試題條件“k1=5k2”中的“動”與“定”——k1，k2的關聯變動和定值5的分析入手，明辨出“5”是“N，A，B三點共線”的決定性因素.問題“為什么恰恰是5？5從何而來？”則撓到了學生思維的“癢癢處”，激起了共鳴，激發了探究的熱情，引出了一系列真實有效的探究.

（2）探究的過程符合認知規律，經歷了驗證、試錯、證偽、猜測、論證等過程，從特殊到一般，從簡到繁又以簡馭繁，用一個二級結論輔助證明歸納出的命題，不僅避免了繁雜的運算，還將探究引向深入.

（3）拓展探究把整個探究過程推向一個新高度.學生從一般性命題的簡潔證明中，找到了與其他背景知識的契合點，有效遷移，命制出了嶄新的命題.若將這些命題作為“題源”，將字母系數數值化，再更換背景，又能命制出成串的數學試題！

（4）本課運用《幾何畫板》輔助教學，以數學實驗的方式展開探究之旅，形象地展示了問題中的“動”“定”關系，為快速證偽、猜測驗證提供了幫助.

6 結語

高中數學各知識板塊，特別是函數、數列、三角、向量、立體幾何、解析幾何大量問題中都蘊含著“動定關系”.通過動與定的轉化，加深對問題本質的理解，培養思維的深刻性.對動與定的關系的觀察，便于尋求規律，培養思維的靈活性與廣闊性.靈活處理數學中動與定的關系，動中明定，定中求變，是創造性思維的一個體現.

深度學習具有以下特征：淺層加工與深層加工的統一，多重理解與整體建構的統一，掌握知識和提升能力的統一，自主學習與合作學習的統一.教師只有熟悉這些特征，才能有效制定策略，設計實施路徑，把學生的學習和探究引向深入.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在闡述高中數學的課程目標中指出，要讓學生獲得“四基”，提高“四能”，發展“數學核心素養”.教師不僅要把這些理念深深植根于腦海，更重要的是踐行于每一次數學活動、每一個教育細節中，而引導學生深度學習就是很好的途徑之一.安于心而敏于行，點滴浸潤，長期堅守，方能見穿石之效，收尺寸之功！