意外生成讓高三數學復習課煥發精彩

余磊 楊明正

在高三進行不等式專題復習教學的時候，因為一個學生的意外發言，打亂了筆者先前設計的教學思路，教學也因此“誤入歧途”，好在通過師生的共同努力最終“柳暗花明”，同時收獲了很多美好.這是一次難忘的經歷，于是決定整理出來與大家分享.

1 生成背景

復習比較大小問題時，給出了如下例題：

A.M=N

B.M

C.M≤N

D.M>N

設計目的：復習比較大小的常用方法，如作差法、作商法、單調性法和特殊值驗證法.通過此題掌握解決比較大小問題的常用方法.

預設：大部分學生會采用作差法解答，考慮到小題小做，也應該會有學生取特殊值驗證快速解決.（此處作差法解答過程略，運算量偏大.）

生成：筆者正要準備復習下一個問題的時候，學生1舉手說他可以提供一種新的解決辦法.過程如下：

所以答案為選項B.

2 問題探源

學生1解釋說這一步用到了“糖水不等式”的知識，以前老師在教學這個知識點的時候，他覺得“糖水不等式”非常有意思，曾經特別關注過，所以印象深刻，并且知道在課本里的具體位置.

（1）出處

人教普通高中課程標準實驗教科書A版（2019年）數學必修一第43頁有這樣一道課后練習題：已知b g糖水含有a g糖（b>a>0），再添加m g糖（m>0）（假設全部溶解），糖水變甜了，請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立.

（2）證法

教師：大家還知道怎么證明此不等式嗎？

學生2：此不等式的證明其實也就是不等號兩邊比較大小的問題，作差法可以解決.

學生3：作商法也可以.

教師：其實關于此不等式的證明方法有很多種，每種方法都蘊含有豐富的數學思想方法，大家課后去研究、收集和整理，老師也給大家提供一些資料供參考[1]，另擇時間一起分享交流.

（3）探究

其實這個簡單而平凡的不等式有著廣泛的應用，在高中數學聯賽、高校自主招生考試及高考試題中，可以找到不少它的身影，所以決定臨時改變先前的復習計劃，就“糖水不等式”進行重點挖掘和講解.筆者從題庫里挑選了兩道題與學生一起探究：

探究1 （2020年全國卷Ⅲ，12）已知55<84，134<85.設a=log53，b=log85，c=log138，則（）.

A.a

B.b

C.b

D.c

學生1：“糖水不等式”是分式的形式，所以我們要把題中的a，b，c通過換底公式轉化成分式形式.

在學生1的思路導引下，學生先在草稿紙上嘗試解答.1分鐘不到還是學生1搶先舉手說選A.（接下來學生1口述，老師板書.）

學生1：先來比較a與b的大小.

學生1既尷尬又困惑.其他學生也陷入沉思，難道此法解決不了此題？

片刻之后，有三位學生舉手，筆者隨機請學生4來發表觀點.

學生4：可以嘗試比較a與c的大小.

學生4還說：比較大小不要盲目比較，要注意選項的設置.當a

反觀以上過程，本題利用“糖水不等式”來比較大小，起到了出奇制勝的效果，甚至連題目中的已知條件都沒有用到就把題目解決了.學生都覺得解法非常巧妙，“糖水不等式”很不簡單，功能強大.

探究2 證明：logn（n+1）>logn+1（n+2）（n>1且n∈N）.

有了探究1的經驗，學生很快就有了本題的思路.

學生5的證明：

正當準備進行課時小結和布置作業的時候，還是學生1提出：我覺得這個不等式的結構很有特點，與“糖水不等式”有相似之處，但是又說不清道不明.“糖水不等式”是分式的分子分母同時加一個正數，而這個不等式的右邊相對于左邊是對數的真數和底數同時加了一個數1，它們之間有點說不清楚的關聯，可以稱之為“對數糖水不等式”嗎？

此時下課鈴響起，筆者覺得學生1非常有靈感，順著他的思路提出：如果對數的真數和底數同時加的不是1而是其他的一個正數呢？就是說不等式logn（n+1）>logn+k（（n+1+k）（n>1且n∈N，k>0）是否成立？若成立，寫出證明過程，并嘗試推廣.這也是今天的家庭作業.

3 靈活運用

學生的付出肯定會有回報.有了上面的心路歷程，學生對“糖水不等式”的理解更加深刻，不再是簡單的記公式，很多學生已經能靈活運用了.在緊接下來的幾次模擬練習和考試中，得到了很好的印證.

（1）（2022年河南省普通高中畢業班高考適應性測試理科卷，11）已知a=log32，b=log115，c=lg 4.則a，b，c的大小關系是（）.

A.a

B.c

C.c

D.a

評注：本題涉及對數的運算法則和對數函數的性質等知識，考查了運算求解能力.比較a，b大小的中間量不太好找，此時學生能夠想起來運用“糖水不等式”解決，筆者非常欣慰.

（2）（“四省八校”2022屆高三第一學期期中質量檢測考試，12）若n>3且n∈N，則下列選項中正確的是（）.

A.logn（n+1）

故答案為選項C.

評注：本題考查了不等式證明的一些常用方法，如特殊值法、作差法、構造函數法、利用基本不等式放縮法等.題雖小但考查的方法很全面，如能靈活借助“糖水不等式”的相關知識，就可輕易解決.

A.x>y>z

B.x>z>y

C.z>x>y

D.y>x>z

解析：由21y=22，20z=21，得y=log2122，z=log2021，由探究2，易知z>y.

故答案為選項B.

評注：本題主要考查指數式和對數式的互化、對數值大小的比較，并構造函數，利用函數的單調性來解決問題，結合“對數糖水不等式”提高解題效率.

（4）〔2022屆炎德英才長郡十五校聯盟高三第二次聯考（全國卷）數學文科，12〕已知a=log316，b=log25，c=log535，則a，b，c的大小關系為（）.

A.b>c>a

B.a>c>b

C.b>a>c

D.a>b>c

解析：因為a=2log34，b=log25=log425=2log45，

由探究2，易知log34>log45>log56，所以2log34>2log45>2log56.

所以a>b>log536>c.故答案為選項D.

評注：本題考查了對數的運算性質以及推理能力和計算能力，利用“糖水不等式”問題瞬間被秒殺.

4 一點啟示

不等式是高中數學的核心內容之一，同時也是難點之一.不少不等式問題處理起來比較棘手，但若能巧妙運用一些著名不等式，或許可以有效地解決關鍵步驟，給人一種舉重若輕的感覺.平時不少教師對基本不等式、絕對值不等式、柯西不等式等比較重視，帶領學生研究的比較多，而可能忽視了對一些常規不等式的價值挖掘.通過以上對近年來的高考題和質檢模擬題的分析，可見“糖水不等式”的使用越來越多，尤其是2022年更加頻繁，有愈演愈烈之勢，所以筆者認為，重視“糖水不等式”深層次探究和理解應用很有必要，要引起我們一線教師的高度重視.

經過這樣一次的復習課教學，一方面學生能把數學與生活進行聯系，另一方面激發了學生的學習興趣和探究動力，這是比知識本身更重要的東西.前蘇聯數學教育家奧加涅相說過：“必須重視很多習題潛在著進一步擴展其數學功能、發展功能和教育功能的可行性.”課本的例題和習題具有很好的示范引領作用，它們或者是重要的結論，或者體現某種數學思想方法.在數學教學中，教師應努力探究教材中的例、習題并加以延伸或拓展，激活教材例、習題，構建深度教學，幫助學生鞏固數學知識，提升數學能力，訓練數學思維，發展學生的數學運算、邏輯推理等數學核心素養.當然，探究應結合教材的內容和學生的實際，并在教師的啟發和指導下由學生討論完成.

參考文獻：

[1]劉彥永.“糖水不等式”的23種證法及其應用[J].數學教學通訊，2020（6）：73-75.