有關基本不等式的常見題型

李友轉

摘要：基本不等式是高考考查的熱點，在選擇題、填空題和解答題中均有所涉及.同時，基本不等式也是解決有關最值問題的重要工具之一，因此熟練掌握與基本不等式有關的題型及其求解方法，是順利解決此類問題的關鍵.本文中主要針對基本不等式及其常見題型進行歸納總結.

關鍵詞：基本不等式；變量替換；配湊法

1 直接應用類[1]

此類問題直接利用基本不等式求最值即可.注意“一正、二定、三相等”這三個條件缺一不可.

例1 已知0＜x＜1，則x（3-3x）取得最大值時x的值為.

分析：滿足“一正、二定、三相等”這三個條件，可以直接利用基本不等式求解.

解析：由0＜x＜1，得1-x>0.

由基本不等式，可得

例2 （2015年天津高考＼5文）已知a>0，b>0，ab=8，則當a的值為時，log2a·log2（2b）取得最大值.

分析：本題結合對數知識考查基本不等式的應用，滿足“一正、二定、三相等”這三個條件，直接利用基本不等式反解出參數的值.

又a>0，b>0，ab=8，所以a=4，b=2.

2 恒等變形類[2]

此類問題一般不能直接使用基本不等式，要從整體上把握式子的結構特征，對不滿足使用基本不等式條件的式子通過“變形”來轉換，但不論怎么變形，都需要根據條件轉化成湊和為定值時求積最大，或湊積為定值求和最小.

2.1 拆項法

故所求最小值為-2.

2.2 湊項法

分析：題目要求和的最小值，就要配湊積為定值，所以要減去2，再加上2，保持原式不變，進而利用基本不等式求解.

分析：本題中函數解析式為一個分式，不利于求出最小值，所以可通過分離常數，湊出積為定值的式子，再利用基本不等式求解.

因此原函數的最小值為23+2.

2.3 湊系數法

分析：要求積的最大值，就要配湊出和為定值的式子，再利用基本不等式求解.

3 條件最值類

在求解含有兩個變量的代數式的最值問題時，常通過變量替換或換“1”法［3］來構造基本不等式求解.

分析：利用換“1”法，出現積為定值的式子，進而利用基本不等式來求和的最小值.

解析：由a>0，b>0，a+b=1，可得

例8 若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是[CD#3].

A.2B.3C.4D.5

分析：本題借助直線背景考查基本不等式的應用，簡單利用換“1”法即可求解.

故所求最小值為4.

解決基本不等式的相關題型，首先要掌握利用基本不等式求最值時的前提，即：

（1）非零的各數（或式）均為正;

（2）和或積為定值;

（3）等號能否成立.這三個條件缺一不可.

其次就是辨別所求式子的類型，根據已知條件用相應的方法解題即可.

參考文獻：

[1]耿道永.高考考查基本不等式的四種題型[J].高中生，2016（18）：28-29.

[2]談杰.基本不等式[J].數學教學通訊，2012（32）：28-29.

[3]莊德明.淺析高中數學“基本不等式”常見題型[J].新課程（中），2014（12）：224-225.