洞悉高考考題方向 加強試題融舊創新

周毅鴻 周建玲 彭國富

新高考強調基礎性、綜合性、應用性和創新性，在試題之間、考點之間、學科之間相互關聯，交織成網，對學生素質進行全面考查.通過對2022年全國數學新高考Ⅱ卷考題的分析發現，考題在呈現方式和設問方式上有所創新，打破了一些固有模式，以此考查學生解決問題的應變能力和創新能力.如何引導學生建立起必備知識與關鍵能力、學科素養、核心價值之間的緊密聯系，這需要教師高屋建瓴，善抓典型例習題、考題中的核心知識與方法并進行融舊創新的改編，以培養學生在新情境下積極主動地探索新方法解決問題的創新能力.下面將重點以例1的第（3）問為例，逆向論述一些常規解題與試題融舊創新的實踐研究.

1 試題呈現與簡要分析

例1 （2022年全國數學新高考Ⅱ卷第22題）

已知函數f（x）=xeax-ex.

（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；

（2）當x>0時，f（x）<-1，求實數a的取值范圍；

（3）設n∈N*，證明：

分析：第（1）問求導，令導函數大（小）于0較易解決；第（2）問是恒成立問題，可分離參數.由f（0）=-1，猜想它是一個端點效應問題，可試著分類討論.第（2）問的具體解答過程如下.

解析：（2）求導，得f′（x）=eax（1+ax-ex-ax）（x>0）.

令φ（x）=1+ax-ex-ax，則φ′（x）=a+（a-1）＼5ex-ax，可得φ′（0）=2a-1.

當a≥1時，φ′（x）>0，則φ（x）在（0，+∞）上單調遞增，

φ（x）>φ（0）=0，即f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增，f（x）>f（0）=-1，不滿足題意.

0，即f′（x）<0，所以f（x）在（0，+∞）單調遞減，f（x）

關于第（2）問的解法探究，常見的還有幾種，本文中不一一呈現.下面重點探究例1的第（3）問.師生普遍感到第（3）問很難，并且參考答案也有些突兀、難以理解.

2 破難尋質

例1的第（3）問巧妙地將函數、導數、數列、不等式結合在一起，體現了新高考以必備知識為基礎，強調各個知識點之間相互關聯，同時也突出了問題呈現方式的新穎性.在對第（3）問的破題過程中，筆者聯想到了平時教學研究中的兩個經驗.

2.1 聯想一

首先聯想到了下面例2的第（2）問：

例2 （2019年東北四校聯考）若函數

f（x）=ex-ax-1（a>0）在x=0處取極值.

（1）求a的值，并判斷該極值是函數的最大值還是最小值；

2.2 聯想二

2020年人教A版新教材選擇性必修第二冊習題5.3的第12題：

利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：

（1）ex>1+x（x≠0）;（2）ln x0）.

由此題的（1）（2）可推出以下基本模型.在教學中，也可引導學生畫如圖1所示的函數圖象，幫助學生更好地理解基本模型[1]：

①ex>1+x（x≠0）；

②ln x0）；

③ln x0，x≠1）；

④ln（x+1）

于是，可得到例2（2）的解題思路：

3 源質破難

4 總結反思

綜觀例1第（3）問的解題思路，雖然形式新穎，但萬變不離其宗.在高考復習階段，教學中不僅要講清楚題目本身及其變式訓練，還要引導學生“揭示問題本質”，通過“本質”去編題、命題，打破機械刷題、機械套路.為了不讓學生盲目地刷題，教師要通過對試題的核心知識與方法的融舊創新，時時引導學生主動思考問題，在“生”中尋“熟”，靈活運用各種知識與思想方法.真正通過數學教育，幫助學生形成理性思維、科學精神，促進其個人智力發展，發揮數學學科不可替代的作用.

參考文獻：

[1]周毅鴻，周建玲，洪竟雄.巧用基礎模型，拎起導數骨架[J].中學數學，2020（23）：64-65.