解無定法，但有法可尋

蔡宏梅

摘要：求解符合某種條件的動點運動規律問題，其實質就是利用題設中的已知條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系；求軌跡方程的主要思路就是充分利用已知的幾何條件，通過“解析化”將其轉化為代數方程.本文中以研究2022年全國高考甲卷拋物線與直線方程大題的解法為切入點，通過相似題型的變式演練，探究了此類問題的常用解法.

關鍵詞：真題展示；解法探究；思路分析；點評與總結

求拋物線與直線的方程是解析幾何中最基本、最重要的問題之一，是用代數方法研究幾何問題的基礎.這類題目把基本知識、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融于一體，成為歷年數學高考的高頻考點與重點題型之一[1].

由于動點運動規律所給出的已知條件不同，因此求解方法也不相同，雖然解題的方法不固定，但是卻有法可尋.下面結合高考真題來具體探究這類問題的思路與解法.

1 真題展示

例1 （2022年高考全國數學甲卷第20題）設拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，點D（p，0），過F的直線交C于M，N兩點.當直線MD垂直于x軸時，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）設直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β.當α-β取得最大值時，求直線AB的方程.

2 解法探究

2.1 第（1）問的解法

所以拋物線C的方程為y2=4x.

點評與總結：定義法是求拋物線方程最常用的一種方法.

2.2 第（2）問的解法

點評與總結：解決第（2）問的關鍵是利用拋物線方程對斜率進行化簡，最后利用韋達定理即可得出坐標間的關系.

3 變式演練

（Ⅰ）第（1）問的解法

（Ⅱ）第（2）問的解法

由第（1）問可先求A，B兩點的坐標，用λ表示出點C，代入求值即可.

整理得（2λ-1）2=4λ+1，解得λ=0或λ=2.

點評與總結：解決此類問題通常采用“設而不求”的方法，首先設出直線與拋物線兩交點的坐標，根據拋物線的方程正確表示出焦點弦長，再利用已知條件求解.

思路分析：先將|MN|轉化為焦半徑|AF|，|BF|的關系式，再變形，應用基本不等式即可求最大值.

解析：如圖1，過點A，B分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為A1，B1.由題意，可知

綜上所述，求解拋物線與直線的有關運動規律類問題，雖然沒有可套的通用模式，但是有靈活的方法可尋.大多要經過審題、尋找并確定求解途徑、逐步轉化推演、綜合陳述、完整作答或給出恰當的結論等必不可少的環節[2].在具體的解題過程中，在積極尋找恰當方法的同時，還要注意挖掘一些隱含條件，注明x，y的取值范圍；要針對軌跡的不同情況，分別討論，確保解題的完整性.

參考文獻：

[1]譚著名.尋找解析幾何解題的突破口[J].高中生，2011（15）：22-24.

[2]朱細秀.一道高中聯賽解幾試題的結論探源[J].中學數學研究，2015（4）：45-46.