剖析解三角形問(wèn)題，發(fā)展關(guān)鍵能力

蔡怡歡

解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，合理聯(lián)系初中的平面幾何，鏈接高中的三角函數(shù)與平面向量知識(shí)，是高中數(shù)學(xué)中比較特殊的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也是歷年高考考查的重點(diǎn)之一.解三角形通常出現(xiàn)在高考試卷解答題中，位置偏前，難度中等.其中，三角形邊或角等元素的求值，邊或角關(guān)系式的證明，與其他相關(guān)知識(shí)的抽象與交匯以及創(chuàng)新應(yīng)用或?qū)嶋H應(yīng)用等方面，都是很好的考查方向.

1 通過(guò)求值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)三角形的創(chuàng)設(shè)，結(jié)合邊或角的相關(guān)代數(shù)式以及關(guān)系，求解具體角的大小、具體邊的長(zhǎng)度、三角形的面積或?qū)?yīng)代數(shù)式的值等，一直是高考中最常見(jiàn)的解三角形解答題的設(shè)置方式與考查方式，關(guān)鍵是綜合三角函數(shù)的相關(guān)公式、解三角形的相關(guān)公式及平面幾何知識(shí)來(lái)化歸轉(zhuǎn)化，進(jìn)而通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算求解.

2 通過(guò)證明，考查邏輯推理

例2 （2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科·17）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Csin（A-B）=sin Bsin（C-A）.

（1）證明：2a2=b2+c2；

（1）證明：在△ABC中，由sin Csin（A-B）=sin Bsin（C-A），得sin C（sin Acos B-cos Asin B）=sin B（sin Ccos A-cos Csin A），整理有sin A＼5（sin Bcos C+cos Bsin C）=2cos Asin Bsin C.

所以sin Asin（B+C）=sin2A=2cos Asin Bsin C，結(jié)合正弦定理，可得a2=2bccos A.

由余弦定理，可得a2=b2+c2-2bccos A，所以2a2=b2+c2.

所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=5+9=14.

點(diǎn)評(píng)：解三角形問(wèn)題中邊或角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，涉及三角函數(shù)公式以及解三角形中的正（余）弦定理等，利用條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，合理通過(guò)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算求解.

3 通過(guò)轉(zhuǎn)化，考查數(shù)學(xué)抽象

點(diǎn)評(píng)：以解三角形為問(wèn)題背景，交匯解三角形與三角函數(shù)、函數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí)，數(shù)學(xué)抽象，合理轉(zhuǎn)化，借助三角函數(shù)關(guān)系式的同構(gòu)與應(yīng)用，合理構(gòu)建角之間的關(guān)系，是破解此類問(wèn)題的關(guān)鍵所在.等價(jià)轉(zhuǎn)化并加以數(shù)學(xué)抽象，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，是此類考題的亮點(diǎn).

4 通過(guò)探究，考查數(shù)學(xué)建模

例4 （2022年高考數(shù)學(xué)上海卷·19）如圖1所示，AD=BC=6，AB=20，O為AB中點(diǎn)，曲線CMD上任一點(diǎn)到點(diǎn)O的距離相等，∠DAB=∠ABC=120°，MO⊥AB，點(diǎn)P，Q關(guān)于OM對(duì)稱.

（1）若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求∠POB的大小；

（2）求五邊形CDQMP面積S的最大值.

解析：（1）若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，由題意可得OB=10，BC=6，∠ABC=120°.

（2）如圖2，設(shè)CD與MO相交于點(diǎn)N，由題意知五邊形CDQMP關(guān)于MN對(duì)稱.

所以，可得S五邊形CDQMP=2S四邊形CPMN=2（S四邊形OCPM-S△ONC）.

同理，當(dāng)P為劣弧DM中點(diǎn)時(shí)，S也取得相同的最大值.

點(diǎn)評(píng)：此題借助扇形的性質(zhì)、正弦定理與余弦定理及三角形的面積公式在解三角形問(wèn)題中的應(yīng)用，合理創(chuàng)設(shè)情境，結(jié)合點(diǎn)的位置的確定以及對(duì)應(yīng)的面積的最值來(lái)合理綜合應(yīng)用，考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力.借助解三角形的創(chuàng)新情境來(lái)解決一些相應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，也是解三角形綜合應(yīng)用的途徑.

解三角形解答題的場(chǎng)景離不開平面幾何，借助幾何場(chǎng)景合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用三角公式進(jìn)行邏輯推理，結(jié)合三角形知識(shí)巧妙代數(shù)運(yùn)算、綜合探究、創(chuàng)新應(yīng)用等，考查考生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等方面的落實(shí)情況，引領(lǐng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí).