函數(shù)奇偶性，解題妙應(yīng)用

許陳

摘要：利用函數(shù)的奇偶性來(lái)解決函數(shù)的一些相關(guān)問(wèn)題，是函數(shù)問(wèn)題中最常見(jiàn)的一類(lèi)基本類(lèi)型．通過(guò)歸納，利用函數(shù)的奇偶性，來(lái)巧妙解決函數(shù)中的函數(shù)值、解析式、圖象、最值以及不等式等相關(guān)問(wèn)題，總結(jié)規(guī)律，以指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

關(guān)鍵詞：函數(shù)；奇偶性；函數(shù)值；解析式；圖象

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，反映了函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性特征，同時(shí)兼?zhèn)浜瘮?shù)自身中“數(shù)”與“形”的雙重性質(zhì)，是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)基本工具，也是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見(jiàn)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)．同時(shí)，函數(shù)的奇偶性又可以很好地交匯與融合函數(shù)的基本知識(shí)，以及數(shù)學(xué)中的其他基本知識(shí)點(diǎn)，是充分體現(xiàn)高考“在交匯知識(shí)點(diǎn)處命題”指導(dǎo)思想的重要平臺(tái)，倍受各方關(guān)注．

1 結(jié)合奇偶性確定函數(shù)值

直接利用函數(shù)的奇偶性求解

函數(shù)值及其相關(guān)應(yīng)用是比較常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題，難度比較小，關(guān)鍵是合理應(yīng)用函數(shù)奇偶性加以分析、轉(zhuǎn)化與處理．

例1 已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，滿足f（x）=x2-2x-1，則f（-3）的值是．

分析：結(jié)合奇函數(shù)的定義，合理構(gòu)建關(guān)系式f（-x）=-f（x），取特殊值代入得到f（-3）=-f（3），即可求解．

解析：由于函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，則利用函數(shù)的奇偶性的定義，

可知

f（-3）=-f（3）=-（32-2×3-1）=-2.

故填答案：-2．

點(diǎn)評(píng)：以上問(wèn)題還可以先由f（3）=32-2×3-1=2，再結(jié)合函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，可得f（-3）=-f（3）=-2．正確把握函數(shù)的奇偶性，以及對(duì)應(yīng)的自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，是分析與解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵所在．

2 結(jié)合奇偶性確定函數(shù)解析式

直接利用函數(shù)奇偶性的定義，得到所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式之間的關(guān)系f（-x）=-f（x），或f（-x）=f（x），前者是奇函數(shù)的基本性質(zhì)，后者是偶函數(shù)的基本性質(zhì)，進(jìn)而通過(guò)已知函數(shù)解析式的變形與轉(zhuǎn)化，可以很好地確定一些相關(guān)函數(shù)的解析式問(wèn)題．

例2 已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x|x-2|，求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式．

分析：結(jié)合奇函數(shù)的定義，得到關(guān)系式f（-x）=-f（x），通過(guò)已知解析式的合理轉(zhuǎn)化，確定x＜0時(shí)f（x）的解析式．

解析：當(dāng)x＜0時(shí)，-x>0，則有

f（-x）=-x|（-x）-2|.

又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（x）=-f（-x）=x|（-x）-2|=x|x+2|.

故當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x|x+2|．

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)奇偶性的定義來(lái)解決一些相關(guān)的函數(shù)解析式問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要注意函數(shù)自變量的正負(fù)取值情況以及變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，合理替代，巧妙代換，通過(guò)整體思維、對(duì)應(yīng)思維來(lái)分析與應(yīng)用，從而解決一些涉及函數(shù)解析式以及對(duì)應(yīng)的應(yīng)用問(wèn)題．

3 結(jié)合奇偶性判斷函數(shù)圖象

利用函數(shù)基本性質(zhì)奇偶性，通過(guò)結(jié)構(gòu)特征來(lái)判斷與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題，是函數(shù)奇偶性的一個(gè)非常直觀形象的應(yīng)用，可以便捷且直觀地從函數(shù)圖象來(lái)確定與函數(shù)奇偶性對(duì)應(yīng)的性質(zhì)[1]．

例3 函數(shù)f（x）=x·ln|x|的圖象可能是（）.

分析：結(jié)合條件中給出的函數(shù)解析式來(lái)分析與判斷已知函數(shù)的奇偶性，通過(guò)函數(shù)的奇偶性所對(duì)應(yīng)的圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)分析排除相關(guān)的選項(xiàng)；在此基礎(chǔ)上利用特殊點(diǎn)進(jìn)一步合理排除相關(guān)的選項(xiàng)，巧妙判斷．

解析：對(duì)于函數(shù)f（x）=x·ln|x|，

由于f（-x）=-x·ln|-x|=-x·ln|x|=-f（x），則知函數(shù)f（x）=x·ln|x|是奇函數(shù)，可以排除選項(xiàng)A，C；

故選擇答案：D．

點(diǎn)評(píng)：具體判斷函數(shù)的圖象以及相關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以借助函數(shù)的奇偶性來(lái)判斷整個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題，而具體的一些細(xì)節(jié)，還要綜合特殊函數(shù)值的確定、函數(shù)的極值與最值以及其他的一些基本性質(zhì)與特征來(lái)綜合處理．

4 結(jié)合奇偶性求解最值

函數(shù)的奇偶性具有一定的對(duì)稱(chēng)性與反射性，由此可以通過(guò)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值來(lái)解決一些與之相關(guān)的函數(shù)最值問(wèn)題，從而判斷一些與最值有關(guān)的函數(shù)問(wèn)題[2]．

例4 若f（x）和g（x）都是奇函數(shù)，且F（x）=f（x）+g（x）+2在（0，+∞）上有最大值8，則在（-∞，0）上F（x）有（）.

A．最小值-8? B．最大值-8

C．最小值-6

D．最小值-4

分析：先根據(jù)條件確定函數(shù)關(guān)系式f（x）+g（x）的最大值，結(jié)合函數(shù)f（x）和g（x）都是奇函數(shù)，可以確定函數(shù)f（x）+g（x）在（-∞，0）上的最小值，進(jìn)而確定函數(shù)F（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的最小值問(wèn)題．

解析：根據(jù)題意可知函數(shù)f（x）+g（x）在（0，+∞）上有最大值6.

又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）和g（x）都是奇函數(shù)，

所以函數(shù)f（x）+g（x）是奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）+g（x）在（-∞，0）上有最小值-6，即

函數(shù)F（x）在（-∞，0）上有最小值-6+2=-4.

故選擇答案：D．

點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際求解一些相關(guān)函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要借助函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上最值的確定，以及函數(shù)奇偶性的判定，從而綜合交匯，創(chuàng)新應(yīng)用．當(dāng)然，具體解決問(wèn)題時(shí)，可以借助特殊函數(shù)（如一次函數(shù)等）來(lái)直觀分析，更加簡(jiǎn)單快捷來(lái)處理此類(lèi)函數(shù)最值問(wèn)題、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題等．

5 結(jié)合奇偶性求解不等式

在解決一些抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要借助函數(shù)的奇偶性等基本性質(zhì)及結(jié)構(gòu)特征來(lái)巧妙轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步確定所要求解的不等式，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在．在一些具體應(yīng)用中，經(jīng)常要與函數(shù)的解析式、單調(diào)性以及其他的相關(guān)知識(shí)加以交匯與融合，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的創(chuàng)新性、綜合性與應(yīng)用性[3]．

例5 已知函數(shù)f（x）=x3-2x+ex-e-x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f（a-1）+f（2a2）≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義來(lái)確定函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，為進(jìn)一步的變形與轉(zhuǎn)化相應(yīng)的不等式提供條件，利用求導(dǎo)處理以及基本不等式的應(yīng)用來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而巧妙轉(zhuǎn)化不等式，進(jìn)而通過(guò)解一元二次不等式來(lái)確定參數(shù)的取值范圍問(wèn)題．

解析：由函數(shù)f（x）=x3-2x+ex-e-x，

可得f（-x）=（-x）3-2（-x）+e-x-ex=-x3+2x-ex+e-x=-f（x）.

點(diǎn)評(píng)：此題中，巧妙融入高次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及抽象函數(shù)類(lèi)型，融合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、基本不等式以及二次不等式的求解等相關(guān)內(nèi)容.其中確定函數(shù)的奇偶性是關(guān)鍵，為進(jìn)一步的變形與轉(zhuǎn)化指明方向，是解決問(wèn)題的一個(gè)重要切入點(diǎn)．

其實(shí)，歷年高考數(shù)學(xué)試卷中，往往離不開(kāi)對(duì)函數(shù)奇偶性的考查，有時(shí)直接設(shè)置相關(guān)題目，有時(shí)隱含在其他數(shù)學(xué)問(wèn)題中，形式各樣，變化多端．此類(lèi)涉及函數(shù)奇偶性的問(wèn)題通常以小題（選擇題或填空題）為主，難度中等及偏下，有時(shí)單獨(dú)考查函數(shù)的奇偶性，有時(shí)將函數(shù)相關(guān)概念與與函數(shù)的奇偶性加以綜合，有時(shí)還融入其他模塊知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)間的交匯與融合．抓住函數(shù)奇偶性的定義及對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象性質(zhì)，合理總結(jié)規(guī)律，巧妙綜合，創(chuàng)新應(yīng)用．

參考文獻(xiàn)：

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[3]孟俊.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合的實(shí)踐探究——以“函數(shù)奇偶性”教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（21）：12-14.