四邊形新定義問題例析

王崢

四邊形新定義問題，是培養學生創造性思維的良好素材，包括“等鄰邊四邊形”問題、“等角相鄰點”問題、“妙線”問題、“準等距點”問題等.以下作一分析探討，以饗讀者.

1 “等鄰邊四邊形”問題

菱形、正方形是四邊都相等的四邊形，它們都是從實際生活中抽象出來的，因為應用廣泛而得到推廣.“等鄰邊四邊形”是指有兩組鄰邊相等的凸四邊形.“等鄰邊四邊形”有什么性質？又如何判定呢？下面結合實例進行探討.

例1? ?我們定義：有兩組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．如菱形、箏形都是特殊的“等鄰邊四邊形”．

（1）如圖1，四邊形ABCD中，若∠ABC=∠BCD，BC∥AD，對角線BD恰巧平分∠ABC，則四邊形ABCD“等鄰邊四邊形”.（填“是”或“不是” ）．

（2）在探究“等鄰邊四邊形”的性質時：

①小紅畫了一個“等鄰邊四邊形” ABCD（如圖2），其中AB=AD，BC=CD，若∠A=80°，∠C=60°，寫出∠B，∠D的度數．

②小紅猜想：對于任意四邊形，若有一組鄰邊相等，一組對角相等，則這個四邊形為“等鄰邊四邊形”.你認為他的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉出反例．

（3）在銳角三角形ABC中，AB=AC，在平面內存在一點P，使PB=BA，PA=PC，四邊形PABC可能是“等鄰邊四邊形”嗎？若可能，畫出符合題意的圖形，并求∠BAC的度數；若不可能，請說明理由.

解析：（1）由AD∥BC，∠ABC=∠BCD，可知四邊形ABCD是等腰梯形，則AB=CD.

由∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠DBC，得∠ABD=∠ADB，則AD=AB，AD=DC，所以四邊形ABCD有兩組鄰邊相等，即四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”.故填答案：是．

（2）①如圖3，連接AC．因為AB=AD，BC=DC，AC=AC，所以△ABC≌△ADC（SSS），可得∠B=∠D.又∠BAD=80°，∠BCD=60°，則∠B+∠D=360°－80°－60°=220°.所以∠B=∠D=110°．

②小紅猜想錯誤．反例，如圖4所示．四邊形ABCD中，BA=BC，∠ABC=∠ADC=60°，四邊形不是“等鄰邊四邊形”．

（3）①如圖5，當CB=CP時，由PA=PC，可知四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．設BP交AC于點O.

因為PB=AC，AB=BA，PA=BC，所以△ABP≌△BAC（SSS），可得∠PBA=∠BAC，則AO=OB，PO=CO，從而可知∠OPC=∠OCP=∠OAB=∠OBA.又∠OPC=∠CBP，

則∠ABC=∠ACB=2∠BAC，所以∠BAC=15×180°=36°.

②如圖6，當△ABC是等邊三角形時，四邊形ABCP是“等鄰邊四邊形”．

綜上所述，滿足條件的∠BAC的值為36°或60°．

2 “等角相鄰點”問題

平行四邊形的對角線互相平分；菱形的對角線互相垂直平分；矩形的對角線相等且互相平分；正方形的對角線相等且互相垂直平分.這些實際上是對應四邊形的中心點與四邊形的關系，“等角相鄰點”問題是指四邊形內一點與其四個頂點連接，在四邊形內形成的四個角中有兩組角相等.那么，如何得到等角相鄰點？等角相鄰點又有什么性質呢？

例2? 如圖7-1，在四邊形ABCD內取一點P，連接AP，BP，CP，DP，如果∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，那么P叫做四邊形ABCD的一個等角相鄰點．

（1）如圖7-2，已知正方形ABCD，請在其內部找一點P，使P為等角相鄰點，且α≠β；

（2）如圖7-3，已知任意四邊形ABCD，請在其內部找一點P，且P為等角相鄰點；

（3）如圖7-4，已知任意四邊形ABCD，在它的內部有兩個等角相鄰點P1，P2，證明：線段P1P2上任意一點也是等角相鄰點．

解析：（1）如圖8，所畫的點P在AC上且不是AC的中點和AC的端點.

（2）如圖9，畫點B關于AC的對稱點B′，延長DB′交AC于點P，則點P即為所求.

（3）證明：連接P1A，P1D，P1B，P2C和P2D，P2B，如圖10.根據題意，∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，則∠AP1B+∠BP1C=180°．所以點P1在AC上.同理可知，點P2也在線段AC上．在△DP1P2和△BP1P2中，因為∠DP2P1=∠BP2P1，P1P2=P1P2，∠DP1P2=∠BP1P2，所以有△DP1P2≌△BP1P2（ASA），可得DP1=BP1，DP2=BP2，于是B，D是軸對稱點，關于直線AC對稱．如果在P1P2上任取一點P，作線段PD，PB，根據軸對稱的性質，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC.故P1P2上的任意一點是四邊形的等角相鄰點．

3 “妙線”問題

由于中心對稱圖形繞中心旋轉180°后能與原圖形重合，所以過中心對稱圖形對稱中心的任一條直線，分中心對稱圖形成兩部分，這部分的面積是相等的.但是對于任意四邊形，如何畫一條直線把它分成面積相等的兩部分呢？下面結合實例對此進行深入的討論，并將這樣一條直線稱為“妙線”.

例3? 我們把能將四邊形分成兩部分，且這兩部分的面積相等，這樣的直線稱為“妙線”．下面的圖示，是得到“妙線”的過程：如圖11，在四邊形ABCD中，取對角線BD的中點O，連接OA，OC，顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點O作OE∥AC交CD于點E，則直線AE即為一條“妙線”．

（1）如圖11，試說明直線AE是“妙線”的理由；

（2）如圖12，AE為一條“妙線”， F為AD邊上的一點，請作出經過點F的“妙線”，并說明理由；

（3）如圖13，已知一塊土地是五邊形ABCDE，經過開發，又得到多邊形EDCMN，中間的折線CDE是一條小路，現要修一條直路，且這條直路經過點E，使直路右邊的面積不作改變，如何畫圖呢？

解析：（1）如圖14，由點O是BD的中點，可得S△AOB=S△AOD，S△BOC=S△DOC，則S△AOB+S△BOC=S△AOD+S△DOC=12S四邊形ABCD，所以S四邊形ABCO=12S四邊形ABCD．故折線AOC能平分四邊形ABCD的面積.設AE交OC于點F．由OE∥AC，可知S△AOE=S△COE，則S△AOF=S△CEF.由于折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，因此直線AE平分四邊形ABCD的面積，即AE是四邊形ABCD的一條“妙線”．

（2）如圖15，連接EF，過點A作EF的平行線交CD于點G，連接FG，則GF為一條“妙線”．

理由：由AG∥EF，可知S△AGE=S△AFG．設AE與FG的交點是O，則S△AOF=S△GOE.又AE為一條“妙線”，所以GF為一條“妙線”．

（3）如圖16，連接CE，過點D作DF∥EC交CM于點F，連接EF，則EF為所修的直路.

本文中從形到點再到線，對四邊形內存在的特殊四邊形、特殊點、特殊線作了深入細致的研究，得到了一些創造性的結論，開闊了學生的認知視野，培養了學生創新解決問題的能力，是四邊形領域里一道亮麗的風景線.