一道初中幾何壓軸題的點評

刁琴 石勇國

課題信息：本文系四川省首批一流專業“數學與應用數學專業建設點”（YLZY201902），2022年內江市教育局高校基礎教育研究專項課題“HPM視角下城鄉初中數學德育的實踐研究”的研究成果.石勇國系通訊作者.

摘要：幾何問題是中考熱點題型的重難點問題，涉及數學知識面寬，變量多，圖形復雜.結合2021年孝感孝南區二模初中數學壓軸題的點評，給出教學上的幾點建議.

關鍵詞：中考數學；三角形相似；動點；動角

從近年全國各省市中考來看，動態幾何題已成為中考數學的熱點題型之一.這類題按照“觀察—抽象—探索—猜測—論證”方式命題，有較好的區分度，具備探究的功能，有力地考查了學生的數學核心素養.然而這類題難度大，知識點跨度寬，多數學生不易掌握.本文中以2021年孝感孝南區二模初中數學壓軸題為例，利用歸納、類比、猜想、化歸的數學思維，結合數形結合的方法進行求解分析；同時點評了該題的考點、區分度、命題設計，并且給出了變式拓展以及教學上的幾點建議.

1 試題求解分析

題目? 在△ABC與△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，且∠CAB=∠CDE=θ，點D始終在線段AB上（不與點A，B重合）.

（1）問題發現：如圖1，若θ=45°，分別求∠DBE的度數和BEAD的值.

（2）類比探究：如圖2，若θ=30°，試求∠DBE的度數和BEAD的值.

（3）拓展應用：在（2）的條件下，M為DE的中點，當AC=23時，BM的最小值為多少？

本題第（1）（2）問是角∠CAD=θ為變化參數，當θ分別取為特殊值時，依次發現△ACD和△BCE全等與相似，求得∠DBE的度數和BEAD的值.

第（3）問是固定角∠CAB，動點是D，抓住∠DBE=90°的條件，利用直角三角形中線定理和θ=30°，則問題轉化為求CE的最小值，將動態問題轉化為在靜態狀態下求解.

第（1）問從特殊的值入手，證明三角形全等.根據等腰直角三角形ABC與三角形CDE的邊角關系，易證△ACD≌△BCE，進而∠DBE=90°，BEAD=1.

對于第（2）問，利用類比、歸納，發現不變量.根據兩角對應相等的兩個三角形相似，判定Rt△ABC∽Rt△DEC，有

BCAC=ECCD=13=33.

根據相似三角形的判定定理，即兩邊對應成比例且夾角相等，確定△ACD∽△BCE.于是

∠CBE=∠CAD=θ，∠DBE=90°，

以及相似比

BEAD=BCAC=33.

猜想：不管角θ多大，均有△ACD∽△BCE，而且∠DBE是直角.

證明方法類似.

第（3）問利用化歸的方法，轉化最值問題進行求解.根據兩個不變量

△ACD∽△BCE，∠DBE=90°，結合

M是DE的中點、直角三角形斜邊中線定理和θ=30°，得到

BM=ME=MD=CE.

所以，求BM的最小值，即求CE的最小值.根據直角三角形的斜邊大于直角邊，可知當CE⊥BE時，CE最小，如圖3.

因為AC=23，θ=30°，于是CE=BM=12BC=1.

2 試題點評

2.1 考點知識面寬，區分度明顯

試題第（1）問考查了三角形全等的判定.第（2）問考查了類比法、三角形相似的判定、相似比以及歸納法的第一步特殊值驗證.第（3）問考查了直角三角形的中線定理、勾股定理、直角三角形斜邊大于直角邊，以及最值問題.題中附帶的兩圖，包含了等腰直角三角形、特殊直角三角形等9個三角形，3個四邊形.涉及2個變量，即1個角度變量∠CAD，1個動點D.考點從等腰直角三角形變化為一般的直角三角形，從角度變化到動點變化，從求比值到求最值.問題由易到難、層次分明，考點之間有機融合，三個小問區分度明顯，是一道非常好的幾何壓軸題.

2.2 考題變中有定，動中有靜

該題有兩個變量，同時在變化中也有兩個不變量：一是△ACD∽△BCE；二是∠DBE是直角.

為了分解題目的難度，將變量θ依次取特殊值進行設問.第（1）問以簡單特殊值入門，讓考生初步嘗試；第（2）問以另外一個特殊值進一步探索，通過類比、歸納、猜想，引導學生發現上述兩個不變量.第（3）問將變量θ設置為固定值，以D為動點求最值.通過化歸的方法，將動態的問題轉化為直角三角形的靜態最值問題，最后得到解.

題目設計以學生為中心，讓學生從考題中享受探索發現、類比猜想、驗證證明的樂趣.選題動靜結合，從特殊到一般，在變化之中尋找不變量，在動態之中尋找最小值.三個小問由易到難、逐步深入，相關知識點銜接順暢，設計精巧，是一道適合探索研究的好題.

2.3 考題變化有度，適合變式訓練

本題有兩個變量，因此可以設計較多的變式拓展的訓練題.例如下面的問題（4）：

（4）若θ=60°，M為DE的中點，當AC=2時，BM的最小值為多少？

另外考慮點D可能在AB的延長線上，可以設計如下問題（5）：

（5）若θ=60°，且D在直線AB上（不與A，B重合），點M為線段DE的中點.若AC=2，當△BMC為直角三角形時，求BE的長.

分析：分類討論，考慮點D在線段AB上和在其延長線上兩種情形，如圖4，圖5.由△ACD∽△BCE，可得

∠ABE=90°，BE=3AD.

再由直角三角形中線定理，可得

CM=BM=12DE.

由勾股定理，得BM2+CM2=BC2，可知DE=26.設AD=x，則

BE=3AD=3x，DB=4-x.

在Rt△DBE中，利用勾股定理，得BE=3+3.

另外一種情形，類似可得BE=3-3.

3 教學建議

（1）培養學生邏輯思維與直觀想象能力

針對幾何題，引導學生讀題并且聯想變化過程、繪制多幅圖展示動態過程，從題目中提取關鍵信息，在眾多的三角形中找出全等或相似三角形，利用相似比，根據三角形重要定理，列出邊角所具有的關系.利用數形結合的方式，對題目進行雙重表述，鍛煉邏輯思維與直觀想象能力.

（2）培養學生數學思維方式

按照數學的思維方式傳授數學知識，提升學生的四種數學思維：從特殊到一般的歸納思維、觸類旁通的類比思維、化繁為簡的化歸思維、“反其道而思之”的逆向思維.引導學生學會遇到問題時該如何發現規律、舉一反三、變換化簡、反向思考，逐步養成數學思維方法，能夠用數學的眼光看問題，了解問題的本質，分析出難點，選擇合適的數學方法，用數學語言表達求解過程，以此訓練學生的思維方式，提升數學核心素養.

（3）教學融入德育實踐

對復雜的動點幾何題分析不難發現，變量在變化過程中常常會出現數量關系保持不變的情形.這就需要我們勇于探索，排除動態變化的干擾，用數學的眼光去發現不變的規律，大膽猜測，小心求證.教學中要融入德育實踐，在潤物細無聲中，培養了學生講理、嚴謹的理性精神，鼓勵學生認識與評價數學，養成正確的理想信念，增強學生的興趣與自信心，培養堅韌不拔、謙虛謹慎與志存高遠的品質，以及追求創新的精神.