巧用瓜豆原理，破解初中數學路徑問題

許志強

摘要：本文中以常見的動態問題為例歸納了瓜豆原理的簡單運用，主要從動態變化過程中出現的全等型、位似型和旋轉型等幾種變化形式進行分析，問題研究符合初中學生思維發展要求，借助此原理的研究，提高解決動態壓軸問題的能力，提升數學綜合素養.

關鍵詞：瓜豆原理；壓軸難題；模型特征；雙動點問題；動態問題

1 瓜豆原理

我們所說的“瓜豆原理”是數學問題中的一個動態問題——主從聯動.這類問題涉及到路徑問題，因此利用本模型解題，首先要明確“主動點”的路徑，再結合具體的問題分析“主動點”和“從動點”之間的關系，之后確定“從動點”運動路徑的形狀，最終達到順利解題的目的.

1.1 模型特征

瓜豆原理實際上就是數學中的軌跡問題，它所涉及到的動點有兩個，一個看作是“瓜”，一個看作是“豆”，“主動點”是“瓜”，“從動點”是“豆”，根據瓜運動的情況來判斷豆的變化軌跡，從而根據主動點運動過程中的特殊位置變化，突破從動點運動的路線，將動態問題轉化為靜態問題進行解答.

1.2 模型思路

利用瓜豆原理解題，一般要做好以下五步：第一，根據問題情境確定主動點，并簡單作出主動點的運動軌跡；第二，確定從動點，判斷其與主動點之間的變化關系；第三，根據運動情況確定主動點的特殊位置，一般是起點或者終點位置；第四，根據問題要求確定主動點的變化特點，從而明確從動點的運動情況，再確定從動點的軌跡；第五，根據從動點運動的軌跡利用相關知識進行解答，往往涉及長度、最值等問題.

2 原理應用

這類模型在應用過程中往往涉及到全等、位似及其旋轉的知識，故筆者從這三種模型分析瓜豆原理在初中數學壓軸問題中的破解方法.

2.1 全等模型

模型探究：如圖1，P為△ABC邊AC上的一點，以BP為邊長向一側作特殊三角形BPE（一般為等邊三角形或等腰直角三角形等），當點P由點A運動到點C時，判斷點E的運動路徑.

結論：根據上述圖示2，首先確定點P運動的起點和終點，確定好相對應的點E的位置，分別記為點M，N，則MN即為點E的運動軌跡.連接BM和BN，根據特殊三角形的性質，可以判定△ABC與△BMN全等，進而得到MN=AC.

典型例題1? 如圖3，在等邊三角形ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，點P從點E出發沿EA方向運動，連接PD，以PD為邊，在PD的右側按如圖所示的方式作等邊三角形DPF，當點P從點E運動到點A時，試求點F運動的路徑長．

分析：如圖4，連接DE，作FH⊥BC于點H，根據等邊三角形的性質得∠B＝60°.過點D作DE′⊥AB，則BE′＝12BD＝2，則點E′與點E重合，所以∠BDE＝30°，DE＝3BE＝23.接著證明△DPE≌△FDH，得到FH＝DE＝23，于是可判斷點F運動的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為23.當點P在E點時，作等邊三角形DEF1，則DF1⊥BC；當點P在A點時，作等邊三角形DAF2，作F2Q⊥BC于點Q，則△DF2Q≌△ADE.所以DQ＝AE＝8，從而F1F2＝DQ＝8.于是得到，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長為8．

2.2 位似模型

模型探究：如圖5，P為線段BC上一動點，A為定點，連接AP，取AP上一點Q，當點P在BC上運動時，如圖6，線段EF即為點Q的運動路徑．

結論：根據上述圖示6，可以進一步得到EF∥BC，從而可以確定△AEF與△ABC相似，進而得到AQAP=EFBC.

拓展探究：點P若在一圓（或弧線）上運動時，點Q的運動軌跡也是成為圓（或弧線）.

典型例題2? 如圖7，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點，F為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，求PB的最小值．

分析：如圖8，根據中位線定理可得點P的運動軌跡是線段P1P2，再根據垂線段最短可知當BP⊥P1P2時，PB取得最小值.由矩形的性質及已知數據即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值為線段BP1的長，由勾股定理求解即可．

典型例題3? 如圖9，在平面直角坐標系中，點P（3，4），⊙P的半徑為2，A（2.6，0），B（5.2，0），M是⊙P上的動點，C是MB的中點，試求AC的最小值．

分析：如圖10，連接OP交⊙P于M′，連接OM．因為OA＝AB，CM＝CB，所以AC∥OM，于是AC＝12OM.故當OM最小時，AC最小.因此當點M運動到點M′時，OM最小.由此即可解決問題．

2.3 旋轉模型

模型探究：如圖11所示，A為定點，∠PAQ為定值，APAQ為定值，當點P在直線BC上運動時，則點Q的運動路徑也是直線.

結論：如圖12，當∠PAQ<90°時，直線BC與MN的夾角等于∠PAQ.

拓展探究：如圖13，A為定點，∠PAQ為定值，APAQ為定值，當點P在⊙O上運動時，則點Q的運動路徑也是圓（如圖14虛線所畫⊙M）.

結論：∠PAQ=∠OAM；APAQ=AOAM=OPMQ.

典型例題4? 如圖15，已知扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120°，C是AB〖TX（〗上的動點．以BC為邊作正方形BCDE，當點C從點A移動至點B時，求點D經過的路徑長．

分析：如圖16，延長BO交⊙O于點F，取BF〖TX（〗的中點H，連接FH，HB，BD．易知△FHB是等腰直角三角形，則HF＝HB，∠FHB＝90°.由∠FDB＝45°＝12∠FHB，推出點D在⊙H上的運動路徑是GB〖TX（〗，易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，進而得到∠GHB＝120°，易知HB＝32，利用弧長公式即可解決問題．

3 模型反思

上述模型問題的研究，實際上考查了學生對問題的操作經歷的體驗，既考查了學生的觀察力和思考力，更重要的是對學生應用能力的檢驗，又要結合問題情景，對號入座，靈活應用.根據問題所展示的相關內容，對瓜豆原理進行如下總結：其一，兩動點之間的變化關系一致；其二，兩動點運動路徑的比例關系一致；其三，運動過程中路徑的形狀與大小的變化及其特殊位置的確定.

綜上所述，瓜豆原理在形式上和解法上給我們提供了簡單而又易操作的解題方法，可謂是“種瓜得瓜，種豆得豆”.但是，僅僅掌握這些還不夠的，還需要我們在數學學習中深入研究，不斷積累數學經驗，能從問題情境中獲得直觀感受，從而構建數學認知結構，獲得模型意識和模型思想，并在解題訓練過程中不斷進行遷移拓展，形成數學思維，提升數學綜合素養.

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