感悟等號(hào)意義 提高運(yùn)算能力

于莎

摘要：學(xué)生在等式的計(jì)算中常常容易出錯(cuò)，因此在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的解決問(wèn)題的途徑.學(xué)生對(duì)等號(hào)的意義有了深刻的理解和感悟，才能夠提高運(yùn)算能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)品質(zhì).

關(guān)鍵詞：等號(hào)的性質(zhì)；運(yùn)算能力

等號(hào)是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的運(yùn)算符號(hào)，與等號(hào)相關(guān)的計(jì)算是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).等號(hào)是用來(lái)表示左右相等關(guān)系的，如果等號(hào)兩邊的數(shù)字、字母或者式子不對(duì)等，學(xué)生往往會(huì)因?yàn)閷?duì)等號(hào)的理解不深刻，導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯(cuò)誤.

等號(hào)的對(duì)等性是數(shù)值大小的相等，計(jì)算的關(guān)鍵在于不改變數(shù)值的對(duì)等性.圍繞這一對(duì)等性，進(jìn)行移項(xiàng)、去括號(hào)、添括號(hào)、配方、約分等運(yùn)算是代數(shù)運(yùn)算的法則和基礎(chǔ).

1 學(xué)生計(jì)算中常出現(xiàn)的問(wèn)題以及解決策略

1.1 運(yùn)用配方法時(shí)只對(duì)等號(hào)一邊進(jìn)行運(yùn)算

例1? 解方程：3x2+8x－3=0.

常見(jiàn)錯(cuò)解：原方程可變形為3x2+8x=3，則

x2+83x=3，

x2+83x+169=3，

x+432=3.

于是x+43=3，x+43=－3.

所以x1=3－43，x2=－3－43.

錯(cuò)解分析：學(xué)生解一元二次方程時(shí)，通常比較注重配方，但往往忽視了與等式性質(zhì)的結(jié)合.在將二次項(xiàng)系數(shù)化為1進(jìn)行配方時(shí)，容易忽略等號(hào)的右邊也要進(jìn)行同樣的運(yùn)算，計(jì)算過(guò)程中等號(hào)應(yīng)兩邊始終保持相等.配方運(yùn)算是建立在等式的基本性質(zhì)之上.

在教授配方法解一元二次方程時(shí)，教師要強(qiáng)調(diào)等式的性質(zhì).將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，不是僅僅對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)化為1，而是要運(yùn)用等式的性質(zhì)2，將等式中的每一項(xiàng)都除以二次項(xiàng)系數(shù)，這一過(guò)程沒(méi)有改變等號(hào)兩邊的平衡.運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行配方時(shí)，配方的過(guò)程運(yùn)用的是等式的性質(zhì)1，方程兩邊要同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.教學(xué)中要讓學(xué)生明白算理，展現(xiàn)前后兩個(gè)算式的形和大小是如何變化的.

正解：將方程二次項(xiàng)系數(shù)化1，得x2+83x－1=0.

移項(xiàng)，得x2+83x=1.

配方，得x2+83x+432=1+432.

即x+432=532.

所以x+43=53，或x+43=－53.

故x1=13，x2=－3.

分析：等式的性質(zhì)是等式固有的運(yùn)算規(guī)律，代數(shù)中的很多運(yùn)算都要用到等式的性質(zhì).靈活運(yùn)用等式的性質(zhì)是解決方程問(wèn)題的關(guān)鍵，也是一些化簡(jiǎn)求值題的關(guān)鍵.

例1中將方程兩邊同時(shí)除以3把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，運(yùn)用的是等式的性質(zhì)2，要讓學(xué)生明白等號(hào)的右邊不是沒(méi)有除以3，只不過(guò)0除以任何數(shù)都是0.配方運(yùn)用的是等式的性質(zhì)1，等號(hào)兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是左邊加了而右邊沒(méi)加.

例2? 求二次函數(shù)y=－12x2+x－52的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，并畫(huà)出函數(shù)圖象.

無(wú)論是人教版還是魯教版，課本中的例題都沒(méi)有呈現(xiàn)如何將二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式.實(shí)際教學(xué)中，轉(zhuǎn)化運(yùn)算是難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn).由于這部分內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)完利用配方法解一元二次方程后學(xué)習(xí)的，學(xué)生有了一定的基礎(chǔ)，可類比計(jì)算，但兩者有不同之處.一元二次方程等號(hào)一邊是0，而二次函數(shù)等號(hào)一邊是y，計(jì)算過(guò)程中，一元二次方程若不能直接配方，則將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，而二次函數(shù)的一邊是y，學(xué)生不知如何運(yùn)算.將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式有如下三種方法.

方法1：y=－12x2+x－52=－12（x2－2x）－52

=－12（x2－2x+1）+12－52

=－12（x－1）2－2.

方法2：y=－12x2+x－52=－12（x2－2x+5）

=－12（x2－2x+1－1+5）

=－12（x2－2x+1）－2

=－12（x－1）2－2.

方法3：將二次項(xiàng)系數(shù)化為1（等式兩邊同時(shí)乘-2），得－2y=x2－2x+5.

移項(xiàng)，得－2y－5=x2－2x.

配方，得－2y－5+1=x2－2x+1，則－2y－4=（x－1）2，即－2y=（x－1）2+4.

兩邊同時(shí)除以-2，得y=－12（x－1）2－2.

分析：方法3與用配方法解一元二次方程類似，可類比學(xué)習(xí)，這樣學(xué)生更易理解.方法1和方法2的不同之處在常數(shù)項(xiàng)的處理上面，兩種方法區(qū)別不大，用的都比較多.學(xué)生類比配方法解二次函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常出現(xiàn)的問(wèn)題是等號(hào)右邊二次項(xiàng)系數(shù)化為1，而等號(hào)左邊的y保持不變.究其根本原因是沒(méi)有深刻理解等式的性質(zhì).提取二次項(xiàng)系數(shù)后，括號(hào)里面要配方，還要把多余的數(shù)字再與二次項(xiàng)系數(shù)相乘后放到括號(hào)外面，這里十分容易出錯(cuò).教學(xué)中要讓學(xué)生明白等號(hào)之所以成立，是因?yàn)閮蛇叺淖冃胃淖兊闹皇切问剑瑳](méi)有改變大小.二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式后，教師可再次引導(dǎo)學(xué)生將頂點(diǎn)式通過(guò)去括號(hào)化為一般式，讓學(xué)生感受其中的變化，深刻理解等號(hào)的意義.

1.2 解一元一次方程去分母常出現(xiàn)的問(wèn)題

例3? 解方程：3x－14－1=5x－76.

例3是解分式方程常出現(xiàn)的習(xí)題類型，學(xué)生在解這個(gè)方程時(shí)，常常忘記1也要乘最小公倍數(shù)12.很多學(xué)生以為去分母只是去掉3x－14和5x－76這兩項(xiàng)的分母.教學(xué)時(shí)應(yīng)讓學(xué)生明白為何去分母以及去分母的依據(jù)，只有深刻理解等號(hào)的意義，才能避免計(jì)算錯(cuò)誤.

例4? 解方程：x－30.4－x+20.5=2.5.

學(xué)生解例4時(shí)，與例3混淆了，將分式的分子分母同時(shí)乘10時(shí)，等號(hào)的右邊2.5也乘了10.學(xué)生看到分母中有數(shù)字，就認(rèn)為要找最小公倍數(shù)，而之前并沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間的最小公倍數(shù)，因此這個(gè)題學(xué)生無(wú)從入手.例4課本中的做法是首先通過(guò)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將等式中的小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù).學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題是將等號(hào)左邊分式的分子、分母乘10時(shí)，等號(hào)的右邊2.5也乘了10，錯(cuò)誤地得到10x－304－10x+205=25.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)也是等號(hào)意義的體現(xiàn)，解這個(gè)題時(shí)，可先以0.20.5=25=410=615=0.4是如何進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化的來(lái)引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生感受分子、分母同時(shí)變化，分?jǐn)?shù)的值是不改變的.x－30.4和x+20.5運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)整理后，沒(méi)有改變大小，講解時(shí)，可將二者上下對(duì)比，得到如下方法一.

方法一：

x-30.4? -? x+20.5=2.5

10x-304-10x+205=2.5

針對(duì)這個(gè)題，也可以拓展一下，由兩個(gè)分母0.4，0.5的最小公倍數(shù)為2，得到如下方法二.

方法二：將方程x－30.4－x+20.5=2.5

去分母（分母乘最小公倍數(shù)2），可得5（x－3）－4（x+2）=5，解得x=28.

方法三：分別對(duì)x－30.4和x+20.5進(jìn)行如下化簡(jiǎn)，得

x－30.4=（x－3）÷0.4=（x－3）÷25=5（x－3）2，

x+20.5=（x+2）÷0.5=（x+2）÷12=2（x+2）.

整理，得5（x－3）2－2（x+2）=2.5.

例4的三種方法可以使學(xué)生充分理解等號(hào)的意義，等號(hào)之所以相等，體現(xiàn)在數(shù)值的不變性上.運(yùn)用等式的基本性質(zhì)對(duì)式子左右兩邊進(jìn)行整體運(yùn)算，運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)對(duì)式子進(jìn)行局部化簡(jiǎn).

1.3 解分式方程與分式的運(yùn)算中出現(xiàn)的問(wèn)題

例5? （1）計(jì)算：4x2－4－1x－2.

（2）解方程：1x－2=3x.

學(xué)生進(jìn)行分式的加減時(shí)，常與解分式方程發(fā)生混淆，根源還在于沒(méi)有理解等號(hào)的意義以及運(yùn)算法則.學(xué)生學(xué)完解分式方程后進(jìn)行異分母分式的加減，會(huì)按照解分式方程的步驟乘最簡(jiǎn)公分母去掉分式的分母.分式方程是等式，解分式方程與例3解一元一次方程方程是類似的，運(yùn)用的都是等式的性質(zhì);而分式的加減不是等式，運(yùn)用等式的性質(zhì)顯然是錯(cuò)誤的，應(yīng)該運(yùn)用分式的基本性質(zhì).

2 教學(xué)中要多角度理解等號(hào)的意義

2.1 等式的運(yùn)算只是形的改變，是等量轉(zhuǎn)化

例6? 若3x+5y－3=0，求8x·32y的值.

可將8和32轉(zhuǎn)化為23和25，改變了形，將數(shù)字轉(zhuǎn)化為冪的形式，進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，運(yùn)用的是轉(zhuǎn)化思想，沒(méi)有改變數(shù)值的大小.

8x·32y=（23）x·（25）y=23x·25y=23x+5y=23=8.

2.2 等號(hào)的左右相等可進(jìn)行互逆運(yùn)算

例8? 已知x－2y=3，求代數(shù)式3－2x+4y的值.

分析：去括號(hào)與添括號(hào)、整式的乘除與因式分解等等都可看做互逆運(yùn)算.學(xué)生對(duì)于去括號(hào)的運(yùn)算學(xué)習(xí)容易理解，添括號(hào)就難一點(diǎn).例8這個(gè)習(xí)題在六年級(jí)的習(xí)題中經(jīng)常考查，包含了添括號(hào)和整體思想.3－2x+4y=3－（2x－4y）=3－2（x－2y）=3－2×3=－3.

計(jì)算過(guò)程中，雖然出現(xiàn)了括號(hào)，形式發(fā)生了改變，但大小沒(méi)有改變，教學(xué)中可進(jìn)行互逆轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生深刻感受等號(hào)的意義.

2.2 借助等號(hào)的意義實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便運(yùn)算

例7? 解方程：（1）96 000x=102 000x+500；

（2）1 400x－14002.8x=9.

實(shí)際問(wèn)題中方程的數(shù)值都比較大，學(xué)生計(jì)算容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.運(yùn)用等式的性質(zhì)或者分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便.

（1）對(duì)于方程96 000x=102 000x+500，等式兩邊同時(shí)除以2 000，可化簡(jiǎn)為48x=51x+500.

（2）對(duì)于方程1 400x－1 4002.8x=9，可運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將其化簡(jiǎn)為1 400x－500x=9，從而使計(jì)算量大大減少.

等號(hào)的意義不僅僅在于表示運(yùn)算的結(jié)果，更要讓學(xué)生理解其中的算理.學(xué)生雖然已經(jīng)有一定的抽象運(yùn)算能力，但很大程度上還停留在具體數(shù)字的運(yùn)算層面，初中學(xué)生的思維正處在從具體到抽象的過(guò)渡期.因此，教師在授課時(shí)，要注意借助具體、形象的模型或事物幫助學(xué)生理解問(wèn)題，促進(jìn)其數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展.

運(yùn)算能力是初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，提升運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的途徑解決問(wèn)題.學(xué)生對(duì)等號(hào)的意義有了深刻的理解和感悟，才能夠提高運(yùn)算能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)品質(zhì).