基于旋轉矩陣的預設時間航天器編隊姿態協同控制

李文靜,劉成勝,蒲愛香,張文嬌

(西安航天動力研究所,西安 710100)

0 引言

在航天器編隊飛行的過程中,多個航天器通過彼此間的信息交互形成特定的分布式空間系統,從而可以完成單個航天器難以完成的編隊協同控制任務[1-3]。按照編隊成員之間信息的交互模式,可將現有的航天器編隊協同控制算法分為兩類:集中式和分布式[4]。前者結構簡單易于實現,但是系統的魯棒性較差。而在分布式的編隊協同控制算法中,多航天器系統由編隊成員及它們之間的通信拓撲共同組成。編隊中每個成員的控制輸入包含相鄰航天器的狀態信息,以此來提升編隊控制系統的魯棒性[5]。因此,為了確保編隊系統能夠順利地完成空間任務,有必要合理利用編隊成員間的相對信息,即分布式的控制方式來實現復雜環境下編隊的協同控制。同時,為了更好地完成空間任務,對于航天器的推進精度有較高的要求,因此在推進器的選取中必須考慮任務的復雜性,對應選取不同的發動機形式。

在多航天器控制領域,姿態協同控制作為航天器編隊控制的一個基本問題,在對地測量、深空探測以及交會對接等任務中具有重要的研究價值,已經得到了國內外學者的廣泛關注與研究[6-9]。交會對接是指兩航天器于同一時間在軌道中的同一位置以相同速度和姿態交會且在結構上連成一個整體,是一項重要的空間任務。在此過程中航天器的姿態必須始終保持一致,因此姿態協同控制具有十分重要的研究價值。在航天器姿態動力學建模方面,經過不斷的改進和發展,很多成熟的姿態動力學建模方法被相繼提出。如單位四元數法[6, 10]、修正Rodrigues參數法(MRPs)[11]和旋轉矩陣法[7,12]等。Xu等[6]針對基于單位四元數的航天器姿態協同控制系統提出分布式事件觸發算法,以減少編隊成員間不必要的通信頻次。基于MRPs的姿態描述方法,Zou等[11]提出了一種基于快速終端滑模的姿態協同控制算法,以實現航天器編隊系統的有限時間收斂和對干擾的魯棒性。然而,基于單位四元數和MRPs的姿態描述方法也都存在缺點。四元數的標量存在雙目標值,人為地忽略其中的一個,會使得航天器在進行姿態機動時能夠以小角度旋轉便可完成的任務卻需要轉動一個大于180°的角度來實現,造成不必要的能量耗散。即上述兩種方法無法與航天器姿態一一對應,在航天器姿態控制過程中可能產生退繞現象對航天器系統造成影響[13-14],因此,在為航天器設計姿態控制器的過程中必須避免退繞現象的發生。在此背景之下,無退繞現象的旋轉矩陣建模方法應運而生。Tan等[12]和Zhao等[15]分別基于旋轉矩陣提出了針對剛體和柔性航天器的自適應控制方法。基于旋轉矩陣的描述方法使得航天器的姿態模型更為統一,且不存在姿態動力學中的退繞問題,因此其在航天器的單體控制和編隊的協同控制中都有著良好的適用性。

值得注意的是,大部分現有的協同控制算法只能實現編隊系統的漸進穩定,這意味著系統的收斂時間過長,無法實現編隊的快速機動[16-17]。為此,Zhang等[18]提出了一種新的非奇異快速終端滑模,解決了航天器編隊系統在有向和無向通信連接下的有限時間控制問題。Huang等[7]針對航天器姿態協同控制問題提出了基于旋轉矩陣的自適應有限時間控制策略。實際上,無論是漸進穩定還是有限時間穩定,系統收斂到誤差帶的時間總是正相關于系統初值,所以系統實際的收斂時間只能通過后驗的方式獲得,不可提前預知和設定。而近年來新提出的預設時間控制方法能夠對收斂時間進行預知,并在一些問題中得到了應用[19-21]。Cao等[21]針對歐拉-拉格朗日系統,提出預設時間控制策略,實現了編隊跟蹤控制。然而,航天器姿態協同控制與預設時間控制方法相結合的研究還較少。因此,探究如何實現航天器姿態協同控制系統的預設時間穩定有著重要的理論意義和工程實踐價值。

受到上述研究工作的啟發,本文主要研究了基于旋轉矩陣的預設時間編隊姿態協同控制問題。與大多數現有的航天器編隊控制相比,文中所提控制算法考慮了航天器系統的退繞、收斂時間和系統不確定性等問題,并通過理論分析與對比仿真驗證所提算法的有效性和優越性。

1 準備工作和相關模型

1.1 準備工作

在編隊協同控制器的設計之前,首先給出以下推論、引理和假設等。

航天器編隊成員之間信息交互可通過代數圖論來描述,具體如下。

代數圖論:本文中將使用加權的有向圖G=(V,ε)來表示航天器之間的連接關系,其中V={υ1,υ2,…,υn}表示節點集,ε?υ×υ則為邊集。在有向圖中,對于任何相鄰節點有(i,j)≠(j,i),否則,稱圖G為無向圖。圖G的加權鄰接矩陣定義為C=[cij]n×n。對于所有i∈V,cii=0。若(i,j)∈ε,則cij>0,否則cij=0。進一步定義圖的拉普拉斯矩陣L=[lij]n×n為

(1)

其中Ni={j∈V|(i,j)∈ε}是節點i的鄰集,表示與i存在信息傳輸所有節點的集合。

引理1[22]:如果L是強連通圖G的拉普拉矩陣,則存在全部元素為正的列向量η=[η1,η2,…,ηn]T使得ηTL=01×n成立。

通過神經網絡實現對系統不確定性的近似逼近,具體規則如下。

引理2[11]:在緊集Ω∈R中,對于任意連續函數f(x):Ω→R,神經網絡可以任意精度地逼近f(x),即

f(x)=WTH(x)+σ, ?x∈Ω

(2)

其中WT∈Rl是理想權值矩陣;σ∈R表示逼近誤差;H(x)=col(h1(x),…,hl(x))是高斯基函數,滿足

(3)

其中,l為神經元節點的數量;δi和bi分別表示接受域的中心和高斯函數寬度。

接下來給出預設時間有關推論。

推論1：如果存在李雅普諾夫函數Ve∶Rn→R+∪{0}滿足

(4)

其中常數0

證明：根據文獻[23]可知,對于一個閉環控制系統,如果存在李雅普諾夫方程

(5)

則可得計算得到系統的收斂時間滿足

(6)

式中,V0=V(x0),x0表示系統的初始狀態。對于式(4)中所示李雅普諾夫函數,應用上述結論可得系統收斂時間

(7)

當且僅當系統初值x0→∞時,T=Ts。因此推論1得成立。

此外,對于能量有限的外界干擾,存在如下假設。

1.2 基于旋轉矩陣的航天器姿態誤差模型

本文主要考慮含有n個航天器的編隊系統姿態協同控制問題。由于基于旋轉矩陣的航天器姿態描述方法不存在奇異點,且能夠與實際的航天器姿態一一對應,所以該方法可以避免四元數建模中存在的退繞現象。因此,本文采用旋轉矩陣來描述航天器的姿態。參考文獻[12],編隊系統中第i個航天器姿態角跟蹤誤差動力學模型表示如下

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

其中

(15)

(16)

2 預設時間編隊協同控制算法設計

首先,本章以推論1作為理論依據提出了一種預設時間滑模面,并在此基礎上完成了自適應控制器的設計。此外,將系統狀態作為神經網絡的輸入,對系統未知項進行在線估計與補償。整體的航天器編隊控制系統設計流程如圖1所示。

圖1 控制系統結構框圖Fig.1 The conceptual structure of the control system

2.1 預設時間滑模面

基于推論1,設計如下預設時間滑模面Si=[Sxi,Syi,Szi]T:

(17)

注釋1 滑模面的設計有很多種,其中以式(18)和(19)中的兩種滑模面較為常見。

(18)

(19)

Ei(Fi+τi+di)

(20)

其中

(21)

2.2 控制器設計

首先,為了提高控制系統對模型參數攝動的魯棒性,本節采用引理2中的徑向基神經網絡對系統的不確定性進行在線估計,具體表示如下[24-25]

(22)

考慮到外部干擾對系統的影響,根據假設1,有

(23)

(24)

接著,設計基于最小參數學習法的自適應律

(25)

其中κ>0是自適應增益。

2.3 穩定性分析

為了說明前文中所設計編隊協同控制算法的有效性,現給出如下定理及證明過程。

(26)

結合式(20),可算得V1的導數為

(27)

將式(24)代入式(27),可得

(28)

(29)

(30)

代入自適應律式可得

(31)

(32)

(33)

當滑模面Si=0時,根據Si的定義可知

(34)

因此,可算得Vei的導數滿足

(35)

根據推論1可知,當0

(36)

至此,完成了定理1的證明。

3 仿真與分析

考慮由4個航天器組成的編隊系統,它們間的通信拓撲為有向圖,如圖2所示。

圖2 4顆航天器的通信拓撲Fig.2 The interaction topology of 4 spacecrafts

注釋3 在實際航天器編隊飛行的過程中,編隊成員之間狀態信息的單向傳遞更為普遍。因此相比于無向連接圖,基于有向圖的連接方式更具有一般性,同時也能在一定程度上減小編隊成員間的通信負擔,所以本節中擬采用圖1中所示的有向連接方式進行仿真實驗。

圖2中的通信拓撲所對應的加權鄰接矩陣C可寫為

(37)

為了便于之后的仿真對比,航天器的轉動慣量Ji(單位:kg·m2),具體選取如式(38)所示。

(38)

初始狀態Ri(0)表示如下

(39)

航天器的期望角速度ωd(單位:rad/s)以及外部干擾di(單位:N·m)分別設置為

(40)

(41)

3.1 預設時間姿態協同控制算法仿真

系統的控制參數配置為:v1=0.32,v2=0.6,k1=2,κ=1。值得注意的是,這里v1,v2的值均滿足0

滑模面Si的變化曲線如圖3所示。不難看出,滑模面Si能夠在預設時間Ts內收斂,且在外部干擾的作用下仍然有著較好的穩態性能。

圖3 滑模面Si的變化曲線Fig.3 The curves of sliding mode surface Si

圖4 姿態角誤差的變化曲線Fig.4 The curves of attitude error

圖5 角速度誤差的變化曲線Fig.5 The curves of attitude velocity error

圖6 自適應參數的變化曲線Fig.6 The curves of adaptive parameter

圖7 航天器的控制力矩τiFig.7 Control torques τi of spacecraft

3.2 對比仿真

為了進一步說明本文中所提預設時間控制算法的優越性,在航天器系統初值、模型參數和對應控制參數相同的情況下,與文獻[12]的有限時間控制器做了相應的對比仿真。文獻[12]中有限時間滑模面的設計如式(42)所示

(42)

式中滑模面的具體參數和符號定義可參考文獻[12]。具體的對比仿真結果如圖8所示。

圖8 與文獻[12]的對比仿真Fig.8 Comparative result with reference [12]

圖8中的虛線代表式中預設時間滑模面的變化曲線,實線代表式中有限時間滑模面的變化曲線。不難看出,在系統初值Ri(0)相同的情況下,本文中所提滑模面的初值Si(0)更小,進而使得系統在控制器的作用下具有較小的超調與較高的控制精度。同時,最為重要的是系統的收斂速度也相對較快且可以在合理的范圍內任意設定,因此本文所設計的控制算法更具有理論價值和工程意義。

注釋4:由于滑模變量形式存在差異,計算出的滑模初值并不完全相同。鑒于本文提出的算法在實現過程中與文獻[12]選取相同的控制增益,實現了更好的收斂效果,仍可體現預設時間算法的優勢。

4 結論

主要研究了基于旋轉矩陣的航天器編隊預設時間控制問題,并得到如下結論:

1)基于旋轉矩陣對航天器姿態進行建模,從而使得系統可以避免由四元數建模導致的退繞現象。

2)針對系統參數攝動及不確定問題,文中通過基于神經網絡的最小參數學習法實現對不確定項的估計與補償,同時在一定程度上減小了系統的計算負擔。

3)為了實現系統的預設時間穩定,文中提出了一種基于滑模的預設時間控制算法。通過與現有的有限時間算法對比仿真可知,系統在所設計控制算法的作用下預設時間穩定。

值得注意的是,在航天器編隊飛行過程中執行器可能發生部分失效故障并且執行器在輸入信號較大時會產生飽和現象,難以滿足任務需求,這些是未來的工作所需要解決的幾個主要問題。