堅持課標為綱 把握中考導向 調整教學行為

舒萍

【摘 要】隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的頒布，以及學界對其中“綜合與實踐”部分的不斷解讀和研究，“綜合與實踐”對中考的導向以及教學行為的影響也越來越明確。本文通過分析2023年中考數學卷“綜合與實踐”的試題，為教師更準確地把握課標、落實核心素養育人目標提供思路。

【關鍵詞】綜合與實踐；命題分析；教學建議

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》首次設置“實踐與綜合應用”，提出第三學段以課題學習的形式，要求學生經歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應用”的基本過程；體驗數學知識之間的內在聯系，初步形成對數學整體性的認識；獲得一些研究問題的方法和經驗，發展思維能力，加深理解相關的數學知識；通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增進應用數學的自信心。《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“實踐與綜合應用”改為“綜合與實踐”，提出“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動，以課題學習的形式進行研究性學習，結合實際情境，經歷設計具體問題的解決方案并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程，并在此過程中嘗試發現和提出問題，會反思活動的全過程。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）更加具體地提出初中階段以項目式學習的形式落實“三會”，在社會生活和科學技術的真實情境中，結合具體數學學習內容，經歷現實情境數學化，探索數學關系、性質與規律的過程，感悟如何從數學的角度發現問題和提出問題：用數學的思維方法，運用數學與其他學科知識，綜合地、有邏輯地分析問題，經歷分工合作、試驗調查、建立模型、計算反思、解決問題的過程；用數學語言將現實問題轉化為數學問題。

縱觀課標中“綜合與實踐”的發展，可以發現內容從無到有、從少到多，從數學知識間的聯系與應用到學科間的融合，要求從抽象到具體，學習方式從提出基本過程到課題學習，再到進一步發展為項目式學習，不難看出“綜合與實踐”逐步成為落實數學核心素養的重要方式。本文通過分析2023年中考數學卷“綜合與實踐”的試題，為教師更準確地把握課標、落實核心素養育人目標提供思路。

一、2023年中考數學卷“綜合與實踐”專題的命題分析

“綜合與實踐”的命題具有涵蓋數與代數、幾何、概率統計等數學知識，融合物理、化學、生物等學科知識，綜合學生閱讀、理解、表達等各方面能力的特點，多角度綜合的目的在于培養學生的實踐能力，進而落實學生的核心素養。2023年中考數學卷“綜合與實踐”的命題在現實性、過程性、綜合性上較好地落實數學核心素養。

（一）以生活或學習經歷為背景，突出綜合與實踐內容的現實性

《標準（2022年版）》內容要求中指出，在社會生活和科學技術的真實情境中，結合方程與不等式、函數、圖形的變化、圖形與坐標、抽樣與數據分析等內容，經歷現實情境數學化，探索數學關系、性質與規律的過程，感悟從數學的角度發現問題和提出問題，逐步會用數學的眼光觀察現實世界。可見，“綜合與實踐”試題的命制背景必須貼合生活實際，學生能用所學數學知識解決問題。

1.問題背景來源于生活

例1 （2021·甘肅蘭州）如圖1，小明探究課本“綜合與實踐”板塊“制作視力表”的相關內容：當測試距離為5m時，標準視力表中最大的“E”字高度為72.7mm，當測試距離為3m時，最大的“E”字高度為（? ）mm。

【考查目標】本題以“制作視力表”為背景，通過觀察分析，選擇合適的數學知識（相似三角形的性質）解決問題，可以有效考查學生對相似三角形的掌握情況以及基本性質的能力層次。“制作視力表”的問題背景讓學生體會用數學的眼光觀察生活，并用相似三角形對應邊之間的關系解決生活中需要測量尺寸的問題，感受數學學習的實用性。

【命題評價】視力表是生活中常見的工具，以如何求出視力表中某字母的高度來設計問題，在綜合考查相似三角形的基本性質的同時，進一步體現了數學知識在生活中的應用。本題的命制思路在人教版數學教材九年級下冊第二十七章第三節“27.3 位似”中“信息技術應用”欄目——“探索位似的應用”和“數學活動”欄目——“活動2 位似與美術字”中有所體現，相比較美術字的設計，本題的設計背景更貼合生活，學生更容易感受到學習數學的現實性。

【考查目標】本題以木欄圍地為背景提出問題，通過問題探究、類比探究、問題延伸、拓展應用的操作，考查反比例函數和一次函數的綜合，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意得出等量關系，掌握待定系數法，會根據函數圖象獲取數據。

【命題評價】本題的問題是典型的方程類應用問題，問題的解決是要引導學生建立函數的模型，用函數的思想解決方程的應用問題，通過改變a的具體數值，最后用字母代替a，體驗數學研究從特殊到一般的研究過程，讓學生體會函數模型解決方程問題的普遍性。題目最后設計的拓展應用將函數與不等式聯系起來，充分體現了數學知識的綜合性。本題考查的意義不僅在于解決問題，更是要求學生學會解決這類問題的通法。

2.突出經歷解決問題的操作過程

例4 （2023·廣東廣州）主題：制作無蓋正方體形紙盒。

素材：一張正方形紙板。

步驟1：如圖5（a），將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形。

步驟2：如圖5（b），把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒。

猜想與證明：

（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關系。

（2）證明（1）中你發現的結論。

【考查目標】本題以制作無蓋正方體形紙盒為主題，通過詳細說明制作紙盒的操作過程，將平面圖形與立體圖形建立聯系，考查了勾股定理及其逆定理的應用和等腰三角形的性質。

【命題評價】本題主題簡潔明確，操作過程簡單，學生只要讀懂題目描述的操作過程，解決問題就比較容易，即使是考查立體圖形與平面圖形的對應關系，對于初三學生來說難度也不大。本題的特點就在于讓學生學會用數學的眼光和思維觀察和思考這個操作過程，同時提出具體的問題，教給學生一種提出問題的角度，從而培養學生提出問題的能力。類似這樣的設計在2023年中考中出現較多，比如四川巴中、甘肅蘭州、內蒙古通遼、黑龍江齊齊哈爾等的綜合與實踐的試題，都是幾何操作類型。

（三）以核心素養為目標，突出綜合與實踐內容的綜合性

所謂綜合，不僅表現為數學知識、數學思想方法在解決問題過程中的綜合，還可以表現為通過跨學科主題學習，建立學科間的聯系，將數學與其他學科、日常生活實際緊密聯系起來。

1.學科內綜合

例5 （2023·山西）2023年3月，水利部印發《母親河復蘇行動河湖名單（2022—2025年）》，我省境內有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選。在推進實施母親河復蘇行動中，需要砌筑各種駁岸（也叫護坡）。某校“綜合與實踐”小組的同學把“母親河駁岸的調研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實踐調查，并形成了如下活動報告。請根據活動報告計算BC和AB的長度。（結果精確到0.1m，參考數據：[3]≈1.73，[2]≈1.41。）

【考查目標】本題以推進實施母親河復蘇行動中需要砌筑各種駁岸（也叫護坡）的真實情境為背景，開展課題活動，并給出完整的活動報告，以此考查矩形的判定與性質、解直角三角形的應用。解題的關鍵是理解坡度的含義，構造適當的輔助線以便在直角三角形中求得相關線段。本題呈現完整的操作過程，讓學生不僅會解題更經歷解決問題的過程。

【命題評價】本題以母親河復蘇行動為背景，對于活動的意義給予了充分說明，增強學生的自豪感，加強學生環境保護的意識，兼顧學科育德的導向。題目設計以活動報告的形式呈現“母親河駁岸的調研與計算”，設計完整，為教學中開展類似的數學活動提供了藍本。教材中類似的活動也很多，比如人教版數學教材七年級下冊第七章“平面直角坐標系”中的“數學活動”欄目，讓學生繪制平面分布圖；八年級下冊第十七章“勾股定理”中的“數學活動”欄目和九年級下冊第二十七章“相似”中的“數學活動”欄目，均為讓學生設計方案測量旗桿的高度；九年級下冊第二十八章“銳角三角函數”中的“數學活動”欄目，讓學生制作測角儀，測量樹的高度和塔的高度。2023年中考對于這類問題的命題設計較多，如天津卷利用測角儀測量塔的高度，江蘇泰州卷對《數書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編，四川卷設計測量風力發電機風葉的長度，湖南卷設計確定椅子后背與地面的夾角等。這類問題可操作性強，綜合建筑學、測量、藝術、數學等知識，學生也比較容易理解實際問題中的數量關系。學生經歷問題過程的分析，更容易體會到綜合與實踐內容的過程性和綜合性，逐步學會用數學的思維思考現實世界。

2.跨學科綜合

例6 （2023·廣西）有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心。”某興趣小組將利用物理學中杠桿原理制作簡易桿秤。小組先設計方案，然后動手制作，再結合實際進行調試，請完成下列方案設計中的任務。

【知識背景】如圖6，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據杠桿原理推導得：（m0+m）·l=M·（a+y）。其中秤盤質量m0克，重物質量m克，秤砣質量M克，秤紐與秤盤的水平距離為l厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米。

【方案設計】

目標：設計簡易桿秤。設定m0=10，M=50，最大可稱重物質量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米。

任務一：確定l和a的值。

（1）當秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程。

（2）當秤盤放入質量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程。

（3）根據（1）和（2）所列方程，求出l和a的值。

任務二：確定刻線的位置。

（4）根據任務一，求y關于m的函數解析式。

（5）從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應刻線，請寫出相鄰刻線間的距離。

【考查目標】本題綜合物理學科的知識，利用杠桿原理制作簡易桿秤，主要考查一次函數的應用，解題的關鍵是理解題意。仔細閱讀題目，逐步理解題目中已經搭建好的一次函數模型，對照模型中各數據的現實意義，理解制作桿秤的思維過程，通過調整數值進行計算、反思進而解決問題。

【命題評價】本題具有真實的生活背景，雖然解題關鍵是理解題意，但是學生閱讀、解決問題的過程實際是經歷項目式學習的過程。本題設計的優點不僅在數學知識的應用、數學模型的搭建、學科知識的融合，關鍵還在于為學生落實用數學的眼光觀察現實世界和用數學的思維的思考現實世界提供了一種思維模式，其中問題的提出、知識背景、方案設計、目標的確立、任務的分解等一系列設計，可以為學生后續自主完成項目式學習提供思維過程的參考。

跨學科綜合在人教版數學教材中，有九年級下冊第二十六章第二節“26.2 實際問題與反比例函數”數學與物理學科的杠桿原理及電學相關知識的融合，特別是在該章“數學活動”欄目的活動2中，利用杠桿原理，通過改變力臂的長短感受變量間的關系。這類設計為學生完成相關知識的學習提供了一種項目式學習的模式。

二、教學建議

（1）教學中關注數學知識間的聯系，樹立大概念意識。

《標準（2022年版）》強調整體把握教學內容，綜合與實踐雖沒有特別具體的教學內容，但如果沒有數學課程中數與代數、圖形與幾何、統計與概率三大板塊的聯合支撐，綜合與實踐就無法實現綜合，更沒有實踐的基礎。因此，在數學教學過程中，教師要將教學內容結構化，將教學內容與核心素養關聯，樹立大概念的意識，為綜合與實踐打下基礎。這種關聯教學的思維模式，也有助于培養學生的思維力。

比如測量樹、旗桿或者建筑物的高度，既可以利用勾股定理的知識建立模型，也可以利用三角形相似的知識建立模型，還可以利用三角函數的知識建立模型。雖然模型有很多種，但每一種方法都會有受限的問題和測量的難度，因此在設計這類問題的實踐活動時可以讓學生采用不同的方法進行嘗試，體會相關知識和方法間的區別與關聯，樹立大概念的意識。

（2）教學中關注引導學生經歷分析和解決問題的過程，保障以學生為主體。

綜合與實踐活動關注學生的實踐過程以及實踐過程中的體驗、感受、反饋。在《標準（2022年版）》的引領下，從2023年的中考數學卷綜合與實踐的命題來看，已經越來越關注讓學生經歷解決問題的過程，試題的設問也越來越關注對獲取結論過程中的思維過程的考查。因此，在數學教學中，教師除了關注數學體系內知識之間、數學與其他學科間、數學與生活的聯系外，還要兼顧數學問題的解決過程，讓學生參與、經歷解決問題的過程，保障學生的主體地位，真正讓學生從過程中體會用數學的思維思考問題。

比如，在測量樹、旗桿或建筑物的高度的問題中，解題時希望得到統一的答案，但在實際操作過程中，學生會發現有很多因素導致誤差。在采用不同的方法測量計算后，得到相差較大的數據時，教師要引導學生思考：

問題1：你覺得哪種方法操作簡便？哪種方法測得的數據更準確？你還有其他的測量方法嗎？

問題2：在測量中，每次的測量數據都有差異，你是如何處理的？

問題3：你認為產生誤差的原因是什么？是否可以優化你的方案？

學生經歷真實的測量計算過程，以上問題自然而然地產生，教師可以帶領學生深入思考產生誤差的原因，培養學生的分析能力和思辨力。

（3）教學中關注數學知識與生活、其他學科知識間的聯系，積累數學與生活、其他學科知識間的相關問題。

數學教學過程中，教師有數學知識和方法的具體教學任務，更關注知識和方法的傳授，也正因為關注學科內的知識方法，往往忽略學科與生活的聯系。《標準（2022年版）》特別強調“三會”，實現“三會”的第一步，應該是在教學過程中增加與生活、其他學科知識間聯系的教學設計，多留意數學與生活、其他學科知識間的聯系，尋找能夠開展綜合與實踐的好問題，合理設計、開展項目式學習，這是完成綜合與實踐的最關鍵一步。

比如，在學習了不等式相關知識后，教師可以讓學生再搜集一些資料，分析其中的數量關系，編成問題，并嘗試用一元一次不等式解決。此外，教師還可以引導學生觀察生活中的各種問題，如日常生活中經常遇到的排隊等待現象（醫院掛號付費、銀行辦理業務等）。服務機構通常通過增加服務窗口來減少排隊，但窗口增加過多又會造成人力、物力的浪費，那么如何使投入的資源較少，而顧客對得到的服務又較滿意，這就是需要研究的排隊問題。

（4）教學中注重引導學生解釋數學結論的現實意義，培養用數學的語言表達現實世界的習慣。

《標準（2022年版）》指出在義務教育階段，數學的語言主要表現為數據意識或數據觀念、模型意識或模型觀念、應用意識。近幾年的中考數學卷，特別是2023年中考數學卷中設問的方式也開始轉向對已有結論的應用或評價上。因此，教師在教學過程中也應注重教與學之后的評價，引導學生用數學的知識、思維、語言去評價自己的數學學習。比如在不等式（組）的學習后設計排隊等待問題，讓學生基于所學知識提供解決方案，這既可以為服務機構提供優化方案，也可以為學生在生活中遇到排隊時提供解決方案。這樣的教學設計既讓學生用數學的眼光觀察現實世界，同時也用數學的語言表達現實世界。

（責任編輯：潘安）