融合算術(shù)與代數(shù)，理解等號的意義

浙江溫州市甌海區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)（325000） 楊 匯

“數(shù)與代數(shù)”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）強(qiáng)調(diào)了“數(shù)與代數(shù)”的一致性，具體內(nèi)容包括理解四則運(yùn)算的意義和理解等式的基本性質(zhì)。其中，“理解等式的基本性質(zhì)”的具體要求包括“了解符號‘=’的含義”和“能在具體問題中感受等式的基本性質(zhì)”，從而體會(huì)等號表示等量關(guān)系的意義。這一教育標(biāo)準(zhǔn)相較于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》新增了“例17：等式的基本性質(zhì)”，強(qiáng)調(diào)等號不代表運(yùn)算的遞推，也不代表運(yùn)算的結(jié)果，而應(yīng)該理解為等號兩邊的量相等。

在小學(xué)階段，等號廣泛應(yīng)用于算式中，但學(xué)生常常誤認(rèn)為等號只表示“計(jì)算的結(jié)果是……”。例如，“3+4=□”這類問題中，學(xué)生往往將等號視為輸出結(jié)果，容易在□中寫入“7”。而在遇到數(shù)字在前、式子在后的題目時(shí)，如“4=9-□”，學(xué)生可能會(huì)誤以為需要從右向左計(jì)算。實(shí)際上，這里需要將等號視為表示等價(jià)關(guān)系的符號，并形成平衡的觀念。

學(xué)者倫威克指出，學(xué)生將等號看作一個(gè)操作符號的觀念往往源自早期的算術(shù)訓(xùn)練，在教學(xué)實(shí)施過程中融合算術(shù)與代數(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解“等價(jià)”的概念。然而，研究者基蘭和科利斯認(rèn)為，學(xué)生認(rèn)知的局限性導(dǎo)致他們對符號“關(guān)系性”的理解受限，但對等號性質(zhì)的理解會(huì)隨著年齡增長而提升。因此，本研究旨在《課程標(biāo)準(zhǔn)》的引領(lǐng)下，探討以下問題：

（1）分析學(xué)生在解決不同類型等式時(shí)的表現(xiàn)，以了解學(xué)生對等號意義的理解處于何種階段；

（2）研究是否可以通過改變教學(xué)方式來促進(jìn)不同階段學(xué)生對等號意義的理解。

本研究的主題集中在對等號的理解上，目標(biāo)是了解學(xué)生在編寫算式時(shí)，是僅將等號視為運(yùn)算符號，還是能夠?qū)⒌忍栆暈榈葍r(jià)關(guān)系的符號，并能同時(shí)觀察、比較等號兩邊的表達(dá)式。

一、研究方法

1.研究工具

結(jié)合莫利納和安布羅斯編制的解決缺少項(xiàng)的等式思維方式理論框架，通過分析學(xué)生解決“a±b=c，c=a±b以及a±b=c±d”這些不同形式的等式的方式，把學(xué)生對等號意義的理解分為以下階段（見表1）。

表1 理解等號意義研究內(nèi)容框架

2.分析框架

結(jié)合一年級學(xué)生的運(yùn)算能力，在本研究的分析框架中，筆者將以學(xué)生具體的解題思路作為考查學(xué)生對等號意義的理解程度的一個(gè)重要方面，并從下面兩個(gè)方面展開：（1）解題結(jié)果（記為“R”），是指計(jì)算結(jié)果的正確率；（2）解題思路（記為“T”），指向?qū)W生對不同形式等式的思考過程。（見表2）

表2 理解等號意義的兩個(gè)方面及指標(biāo)

3.研究框架

本研究隨機(jī)選取了某學(xué)校一年級學(xué)生40 名，主要采用調(diào)查法和個(gè)案研究法進(jìn)行研究，先從學(xué)生的解題結(jié)果、解題思路兩個(gè)方面進(jìn)行分析，劃分出學(xué)生對理解等號意義的四個(gè)階段；再根據(jù)學(xué)生“理解等號意義”的階段選出個(gè)案進(jìn)行深入研究，具體而言，研究關(guān)注處于運(yùn)算階段的學(xué)生和處于不穩(wěn)定階段的學(xué)生，并通過個(gè)案研究的方式探究他們對等號意義的理解是否能夠得到發(fā)展。

二、調(diào)查分析

本研究隨機(jī)選擇一年級學(xué)生40 名，要求他們獨(dú)立作答。對收回40 份測試結(jié)果的分析如下（見表3）。

表3 測試題目類型及正確率

1.質(zhì)性分析：學(xué)生對等號的理解現(xiàn)狀

正如表2 所示，本研究的分析框架中的每個(gè)方面都有具體的指標(biāo)。R 的指標(biāo)主要是考查學(xué)生計(jì)算是否正確；而在T 方面，基于學(xué)生解算式時(shí)的思路，分析學(xué)生對等號意義的理解所處階段。以下是針對這兩個(gè)方面所得出的學(xué)生對等號理解的現(xiàn)狀分析。

（1）關(guān)于R（解題結(jié)果）的分析

從解題結(jié)果來看，“3+5=□”和“□=5+2”是學(xué)生常常接觸的題，所有學(xué)生都能寫出正確答案；對于“2=□-7”這道題，學(xué)生給出了9、5 兩種答案，解答正確的只有14 人；對于“13-6=□+5”這道題，學(xué)生給出了7、1、2三種答案，解答正確的只有5人，其中27 人填寫7；對于“5+□=9+4”這道題，學(xué)生給出的答案有4、13、8，解答正確的只有9 人。5 道題都答對的只有5人。

（2）關(guān)于T（解題思路）的分析

為更好地了解學(xué)生的解題思路，筆者對學(xué)生進(jìn)行了單獨(dú)訪談。

①對“3+5=□”和“□=5+2”解題思路的分析

“3+5=□”和“□=5+2”這兩道題的正確率是100%，所有學(xué)生都認(rèn)為“3+5=□”就是把3與5合在一起，所以□里填8。對于“□=5+2”，學(xué)生的理解是把2 和5 合在一起，從右往左計(jì)算。學(xué)生非常熟悉這兩種類型的題，根據(jù)他們的解題思路，可以判斷出所有學(xué)生都已經(jīng)達(dá)到T（解題思路）中的第2層次指標(biāo)“認(rèn)為等號就是從左到右或者從右到左計(jì)算的符號”，對等號意義的理解已經(jīng)達(dá)到運(yùn)算階段。

②對“2=□-7”和“13-6=□+5”解題思路的分析

對于“2=□-7”，結(jié)果填5 的學(xué)生，他們認(rèn)為7減5 等于2，這種類型的算式就是從右往左計(jì)算。有14 名學(xué)生認(rèn)為等號就是表示兩邊同樣多，顯然，他們知道等號的等價(jià)性質(zhì)。

③對于“13-6=□+5”解題思路的分析

對于“13-6=□+5”，認(rèn)為答案是7 的學(xué)生覺得13減6等于7，當(dāng)筆者追問“+5”是什么意思時(shí)，他們認(rèn)為“+5”是之后需要再添加的。認(rèn)為答案是1 的學(xué)生將等式右邊的表達(dá)式理解為6 可以分成幾和5。由此可見，大部分學(xué)生還沒有理解等號的等價(jià)性質(zhì)，對等號的理解僅僅停留在運(yùn)算階段。他們覺得等式就是一堆數(shù)字和符號，只要在等號的另一邊寫出結(jié)果就可以了。

④對“5+□=9+4”解題思路的分析

“5+□=9+4”這道題的正確率非常低，15%的學(xué)生都認(rèn)為□里應(yīng)該填4，他們認(rèn)為5 加4 等于9，但是不清楚后面的“+4”是什么意思；62.5%的學(xué)生認(rèn)為答案是13，是從右往左計(jì)算，但不清楚“5+”是什么意思。

5道題目都答對的5名學(xué)生在計(jì)算時(shí)會(huì)先算出等號一邊的結(jié)果，再寫出另一邊方框中的數(shù)字，將等號兩邊的表達(dá)式看作一個(gè)整體，能理解等號是表示等價(jià)的符號，對等號的理解處于關(guān)系階段。其中一名學(xué)生發(fā)現(xiàn)在算式“5+□=9+4”中，等號左邊的5比右邊的4多1，要想讓等號兩邊同樣多，□里的數(shù)要比9少1。另一名學(xué)生一邊說一邊用箭頭將算式兩邊的5和4連接起來，并在箭頭上方寫上“-1”，同時(shí)將9 和“□”連起來，于是得到□里的數(shù)應(yīng)該比9少1，填8。這兩名學(xué)生不僅清楚等號是表示等價(jià)的符號，還能同時(shí)觀察、比較等號兩邊的表達(dá)式，運(yùn)用等價(jià)與抵消的方法，他們對等號的理解處于完全關(guān)系階段。

2.量化分析：學(xué)生理解等號的四個(gè)階段

在對測試情況進(jìn)行量化分析時(shí)，也可以表2 中兩個(gè)方面的每個(gè)指標(biāo)為依據(jù)。學(xué)生在解題結(jié)果方面答對幾題，就得幾分；學(xué)生在解題思路方面提到了與第幾個(gè)指標(biāo)類似的內(nèi)容，就可得到幾分。因此，學(xué)生在每一個(gè)方面分別都可得到0～5 分，兩個(gè)方面加起來，就可能得到0～10分。

經(jīng)過量化處理后，在40 份樣本中，得分最高為10分，最低為4分，中位數(shù)是4分。表4是一年級學(xué)生在兩個(gè)方面的得分及總分的平均值。

表4 一年級學(xué)生在解題結(jié)果、解題思路方面及總分的平均值

結(jié)合表1與表2，根據(jù)學(xué)生的得分情況，可對學(xué)生理解等號的階段進(jìn)行劃分。總分是10 分的處于完全關(guān)系階段；總分在8～9 分的處于關(guān)系階段；總分在5～7 分的處于不穩(wěn)定階段；總分為4 分的處于運(yùn)算階段。（見表5）

表5 一年級學(xué)生理解等號的階段劃分

同時(shí)，借助SPSS 軟件對學(xué)生關(guān)于解題結(jié)果、解題思路這兩個(gè)方面的得分做相關(guān)性分析，可以得到：R與T之間在0.01水平上顯著相關(guān)。

3.個(gè)案分析：理解等號的關(guān)系性

本個(gè)案研究分兩次進(jìn)行，第一次借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課“數(shù)字天平”，幫助學(xué)生構(gòu)建初步的平衡表象，建立平衡和等號的關(guān)系，擴(kuò)大對等號意義的理解；第二次檢驗(yàn)教學(xué)結(jié)果，通過解答“a±b=c±d”類型的算式，檢驗(yàn)學(xué)生能否通過合適的教學(xué)方式理解等號的關(guān)系性。個(gè)案選取處于運(yùn)算階段的學(xué)生a 和處于不穩(wěn)定階段的學(xué)生b。

（1）從運(yùn)算階段發(fā)展到關(guān)系階段的個(gè)案

學(xué)生a 對等號的理解處于運(yùn)算階段，對“a±b=c±d”類型的算式仍然會(huì)用從左往右或者從右往左計(jì)算的方式來解題，認(rèn)為等號就是表示結(jié)果的符號。

為檢驗(yàn)學(xué)生a 是否真正理解等號的關(guān)系性，筆者選擇用題目“9+△=□+4，△、□分別有哪些可能？”檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。學(xué)生a 在思考片刻后得出答案（如圖1）。

圖1 從運(yùn)算階段發(fā)展到關(guān)系階段的個(gè)案檢測

學(xué)生解釋：先確定左邊可以等于幾，想9加3等于12，右邊也要等于12，也就是想幾加4 等于12，再繼續(xù)這樣想，只要等號兩邊同樣多就可以了。

可見，學(xué)生a 在思考“9+△=□+4”時(shí)沒有借助數(shù)字天平，還是能很清晰地表述思考過程，說明他能理解等號是一種等價(jià)符號，并且能運(yùn)用“等號兩邊同樣多”去解答。

（2）從不穩(wěn)定階段發(fā)展到完全關(guān)系階段的個(gè)案

學(xué)生b 在教學(xué)前處于理解等號的不穩(wěn)定階段，在計(jì)算“2=□-7”時(shí)會(huì)正確讀2 等于幾減7，但是對等號關(guān)系性的理解還不透徹。在教學(xué)“數(shù)字天平”之后，筆者認(rèn)為該學(xué)生對等號的理解應(yīng)該能達(dá)到關(guān)系階段，于是同樣用“9+△=□+4，△、□分別有哪些可能？”檢驗(yàn)學(xué)生b的學(xué)習(xí)成果。學(xué)生b給出如下答案（如圖2）。

圖2 從不穩(wěn)定階段發(fā)展到完全關(guān)系階段的個(gè)案檢測

學(xué)生b：可以想9加0等于9，右邊也要和這個(gè)9相等，要想幾加4等于9；接著讓左邊的數(shù)一個(gè)一個(gè)多起來，右邊的數(shù)也跟著一個(gè)一個(gè)多起來。

學(xué)生b：我發(fā)現(xiàn)，□里的數(shù)總是比△里的數(shù)多5。

師：為什么總會(huì)多5呢？

學(xué)生b：因?yàn)樽筮叺? 比右邊的4 多5，要保持平衡，右邊□里的數(shù)就要比左邊△里的數(shù)多5。

從學(xué)生b 的表述可以發(fā)現(xiàn)，他不僅能理解“式=式”，還能使用等價(jià)與抵消的思想，對等號的理解已經(jīng)處于完全關(guān)系階段。

三、研究結(jié)論與建議

1.研究結(jié)論

（1）學(xué)生理解等號的關(guān)系性存在困難

根據(jù)測試結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在解決“c=a±b、a±b=c±d”這種部分?jǐn)?shù)未知的非典型算式時(shí)，學(xué)生會(huì)將等號僅僅理解為輸出結(jié)果的符號，很難理解“等號兩邊同樣多”的道理。可見，大部分學(xué)生認(rèn)為等號只是“輸出結(jié)果的符號”，對等號意義的理解停留在運(yùn)算階段，認(rèn)知存在局限性。（2）學(xué)生對等號的理解存在四個(gè)階段

前文提到，學(xué)生對等號的理解可劃分為運(yùn)算階段、不穩(wěn)定階段、關(guān)系階段和完全關(guān)系階段四個(gè)階段。在運(yùn)算階段，學(xué)生將等號視為操作符號，用于執(zhí)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。在不穩(wěn)定階段，學(xué)生明白等號兩邊應(yīng)該擁有同樣多的內(nèi)容，但對等號的等價(jià)性理解尚不深刻。在關(guān)系階段，學(xué)生能夠正確理解等號表示的是數(shù)學(xué)關(guān)系，將等式兩邊的量視為相等或等價(jià)的。在完全關(guān)系階段，學(xué)對等號的理解更進(jìn)一步，不僅理解等號的等價(jià)意義，還能夠同時(shí)觀察、比較等號兩邊的表達(dá)式。

（3）可以通過合適的教學(xué)方式發(fā)展學(xué)生對等號意義的理解

學(xué)生a 和學(xué)生b 在教學(xué)后都能夠達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，甚至學(xué)生b 能夠超出預(yù)期，達(dá)到完全關(guān)系階段。這表明不同階段的學(xué)生在適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式下都能夠理解相等關(guān)系。因此，教師應(yīng)該致力于幫助學(xué)生理解等號的傳遞性和對稱性，將等號的意義從僅僅是“操作—結(jié)果”的理解延伸為“關(guān)系—等價(jià)”的理解。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是在“數(shù)與代數(shù)”這一內(nèi)容的教學(xué)中，教師應(yīng)該密切融合知識(shí)，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)符號的含義，并在算術(shù)規(guī)則中培養(yǎng)他們的符號意識(shí)。

2.研究建議

（1）在日常教學(xué)中，發(fā)展等號的傳遞性

在不斷的訓(xùn)練中，學(xué)生會(huì)把“運(yùn)算”定位為“得到結(jié)果”。而在學(xué)生后續(xù)接觸代數(shù)時(shí)，怎樣更好地聯(lián)結(jié)代數(shù)與算術(shù)？在日常教學(xué)中，教師可以拓展學(xué)生對符號意義的認(rèn)識(shí)。例如在教學(xué)加、減法之后，可以借助天平和具體物品幫助學(xué)生理解等號的傳遞性。

（2）借助數(shù)字天平，滲透平衡與等價(jià)觀念

借助數(shù)字天平，學(xué)生能清晰地體會(huì)到等號的另一種意義——表示兩邊同樣多。在使天平平衡的過程中，學(xué)生也能直觀地理解等號的等價(jià)意義，并學(xué)會(huì)構(gòu)建四種類型的等式：左右兩邊都掛同一個(gè)數(shù)字，如“10+10=10+10”；交換加數(shù)的位置，仍然相等，如“8+5=5+8”；“數(shù)=式”，如“10=4+6”；左右兩邊不相等，甚至個(gè)數(shù)也不同，但和相等，即“式=式”，如“3+1=1+1+2”“5+2+1=2+3+3”。

將等號的意義從“結(jié)果”延伸為“等價(jià)”具有重要意義。在教學(xué)乘法之后，教師還可以繼續(xù)拓展，給出等號兩邊包含不同運(yùn)算類型的等式，如“4+5+6=5×□”，為學(xué)生初中學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)打下基礎(chǔ)。

（3）借助圖形等式，探尋等號的對稱性

讓學(xué)生接觸圖形等式主要有兩個(gè)目的：一是形成未知數(shù)參與運(yùn)算的觀念；二是感受等號的對稱性。對于方程，字母參與運(yùn)算、等號的兩種意義都是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，在小學(xué)低學(xué)段，可以通過圖形算式理解“未知數(shù)也能參與運(yùn)算”。

例如，結(jié)合同數(shù)連加表示乘法，根據(jù)除法的意義（平均分和包含除），可以深化圖形等式。通過圖形等式，學(xué)生既可以知道圖形代表的數(shù)，還可以借助數(shù)量關(guān)系推理出圖形與圖形之間的關(guān)系。例如，學(xué)生借助圖示能夠感知到圓柱和長方體之間的體積關(guān)系“7×圓柱=圓柱+2×長方體”，從而發(fā)現(xiàn)“6 個(gè)圓柱=2 個(gè)長方體”。運(yùn)用數(shù)量關(guān)系重構(gòu)新的條件，是解決問題的關(guān)鍵。

在代數(shù)結(jié)構(gòu)中，學(xué)生常常感到困惑的是如何尋找式子之間的聯(lián)系，而理解等號的意義有助于他們更有條理地思考和分析數(shù)量關(guān)系。

綜上，融合了“算術(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)活動(dòng)對學(xué)生關(guān)系性思維的發(fā)展起到了積極的作用。本次研究的樣本為一年級學(xué)生，但學(xué)生對等號的學(xué)習(xí)將會(huì)持續(xù)下去。因此，今后的研究將關(guān)注第二學(xué)段、第三學(xué)段的學(xué)生對等號的理解，特別是涉及“數(shù)的結(jié)構(gòu)”和“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)方面的研究，以進(jìn)一步探討這一重要數(shù)學(xué)概念的發(fā)展和教學(xué)方法。