結構化視角下“認識分數”學材開發的分析與思考

江蘇南京市五老村小學（210002） 陳博文

學材開發是在分析教學內容和調查學生學情的基礎上，著力將教材改編為學材，即教師通過自身的專業知識深入理解知識結構與學生認知結構，設計符合學生認知經驗的真實情境，激發學生發現數學問題并找到關聯的數學元素，從而幫助學生理解知識的結構、邏輯、意義。

一、結構化學材開發的分析

學材開發是基于知識內容、學習材料和學生素養三者整體、關聯、發展的關系，從整體到細節對學習內容進行本土化、個性化、有創意的挖掘重組，構建適合學生自主學習的立體式材料資源。本文以“認識分數（一個物體的幾分之一）”一課的教學為例，就結構化學習中的學材開發做進一步探索。

1.新授環節

蘇教版、人教版、北師大版、滬教版四個版本的教材對于本課所在單元的編排如圖1所示。

圖1

四個版本的教材均將“分數的初步認識”這一內容放在三年級，其中蘇教版和人教版教材安排在三年級上冊，北師大版和滬教版教材安排在三年級下冊。其中，蘇教版教材只安排了認識一個物體（圖形）的幾分之一（幾），人教版、北師大版、滬教版教材既安排了認識一個物體（圖形）的幾分之一（幾），又安排了認識多個物體組成的整體的幾分之幾。雖然安排的學習時間有差異，但各版本教材都緊扣課程標準，在第二學段完成了分數的初步認識，說明不同版本教材的編寫者在“所學內容是否符合兒童的認知和心理基礎特點”上達成了共識。三年級學生已經具備一定的生活經驗和知識基礎，有充足的認數經驗和整數運算經驗，這時讓他們學習“分數”符合學生認知和心理特點。

蘇教版教材先由“將幾個物體平均分成2 份”到“將一塊蛋糕平均分成2 份”，引發認知沖突，通過認識半個到認識，借助認識分數各部分的名稱，讓學生初步理解分數的含義。接著通過不同折法表示，揭示分數的本質。最后讓學生在認識其他幾分之一的過程中學習簡單的分數大小比較。人教版教材先從分月餅的情境出發，由半個引出平均分成2份，初步認識，類比出。然后由實物模型到圖形模型，引出和，讓學生初步理解分數的含義，并在認識多個幾分之一的基礎上認識分數各部分的名稱和分數的讀寫。接著用不同折法表示，揭示分數的本質。北師大版教材從分蘋果的情境出發，引出一半，并讓學生用不同的方式表示一半，提出用表示，借助直觀圖形初步理解的含義；在涂涂、畫畫中進一步理解的含義；通過操作活動得到不同的分數，在展示交流中加深對分數各部分名稱和讀寫的認識。整個過程中沒有給分數任何的定義。滬教版教材在認識幾分之一之前先認識整體和部分，通過將一塊蛋糕平均分給2 個人，引出一半可以用表示，接著討論平均分給4個人的情況，著重強調平均分，認識；接著通過多次對折圓形紙片認識、和，揭示分數的概念，即一個整體平均分成幾個部分，每一部分就是整體的幾分之一。

對比四個版本的教材，能很明顯地發現它們的一個共同思想：借助生活情境，豐富活動體驗，建構分數認知。

（1）創設豐富情境，理解分數含義

分數的產生是從等分不能分得整數結果的物體開始的，學生在生活中已有這樣的經驗，只是不會用分數表示。各版本教材都提供了豐富的貼近學生生活實際的情境，激活他們已有的認知，讓學生在熟悉的情境中體會分數的含義。而且教材中都有對應的實物圖，加強了分數與直觀實物圖形的聯系，讓學生充分感知部分與整體的關系，最終脫離各種表象屬性，抽離出分數的本質屬性。

（2）提供操作機會，構建分數知識

動手操作對學生構建分數知識有著積極的促進作用，四個版本的教材讓學生通過折一折、涂一涂等活動，經歷分數知識的形成過程。折一折能讓學生深刻體會到：無論是不同的圖形，還是不同的折法，只要是平均分成幾份，其中一份就是幾分之一。分數概念是一個原發性的概念，學生頭腦中沒有與之對應的概念，教師應遵循數學概念形成規律，按照“實例觀察—共性分析—屬性抽象—符號表示—具體運用”的流程進行教學，并通過大量的實踐操作，讓學生在頭腦中建立起豐富的表象。為此，筆者設計了如下學材。

本課是通過能夠平均分成2 份且分得的物品數量是大于1 的整數的情境導入的。但在后面的學習中，學生發現在已學的數的領域中找不到能表示平均分1 的結果的數，由此產生了認知沖突。從分數字1 直接轉到，對學生來說是抽象且難以理解的。教師不妨出示郊游情境圖（如圖2），讓學生從分實物過渡，降低認知難度。

圖2

2.探究環節

圖3

①觀察蛋糕圖：將蛋糕平均分給兩個小朋友。

②引導：用圓柱代替蛋糕進行平均分。

③操作：均勻切開圓柱，找到半個圓柱。

由于蛋糕不便于在課堂上進行平均分，筆者引導學生對具體、簡單的立體圖形圓柱進行平均分，降低認知的難度。學生動手操作，初步直觀地看到把“1”平均分成2 份后，其中的一份是什么、在哪里，看得見、摸得著。但又無法用已學的整數來表示其中一份，從而產生用一種新的數來表示它的需要。這時教師再介紹分數，就水到渠成。

①啟發：立體圖形圓柱的切面是一個平面圖形，你能找到這個平面圖形的嗎？

②操作：動動手，用折、畫、涂的方式表示下面圖形（如圖4）的。

圖4

【學材4：12 厘米直條圖】發現幾分之一的大小關系

①操作：在兩根12 厘米的直條圖（如圖5）上，創造兩個幾分之一。

圖5

②討論：比較創造的兩個幾分之一，你有什么發現？（大小關系）

③比較：將所有的幾分之一放在一起，抽象分數數軸，進一步體會大小關系。

為學生提供兩根12 厘米長的直條圖，讓學生去折一折、比一比，是在啟發學生用量一量的方式比較幾分之一。 最后，將各種表示幾分之一的直條圖放在一起比較（如圖6），讓學生直觀地感受到不同幾分之一之間的大小關系。

圖6

3.“評價”環節

【學材5：分數數軸】建立分數數軸概念

將這些分數放在同一個直條圖上（如圖7），去掉直條圖的寬度，自然地延伸、拓展成數軸（如圖8），啟發學生發現分數和整數一樣，也可以放在數軸上。同時，通過直觀觀察，讓學生感受到分子為1時，分母越大，分數反而越小的規律。

圖7

圖8

二、結構化學材開發的思考

學生是學的主體，教師是課堂的引導者，學生對核心知識的領會應當來源于自身觀察、操作、抽象、概括的過程，因此，學材作為具體引導學生領會知識的小助手、小載體，有著至關重要的作用。

1.在新授課中注重經驗的“瞻前顧后”

教師在對小學數學知識單元整體體系進行縱橫梳理的基礎上，不斷還原知識結構的教材形態、科學形態與學習形態，發現數學本質，找到核心元素，明確動態結構，厘清教學內容與目標。同時研究學生，調查了解學生學習情況，聯系學生生活實際優化課堂學習內容，基于學生技能與技術創設真實的學習情境，教學整體直觀地下沉到學生的認知基礎，連接學生學習的起點。

分數是一個與整數還有小數都有著緊密聯系的數。學生在二年級時已經初步學習過表內除法，本節課就是在這樣的基礎之上引導學生初步認識分數，并深入理解分數的含義。教師在教學時要讓學生思考怎樣分東西公平，從而引入平均分，讓學生知道在不能用整數來表示時需要用分數來表示，從而自然地引出課題“認識分數”。

2.在探究中實現分數的意義關聯

教師在梳理知識體系時要明確其內部邏輯，體悟其知識教學場域，明確知識單元整體性和學科教育價值。活動的開展需充分調取學生的元素前認知，因此可在情境關聯中加深學生對分數的理解。對于第一個活動，由于現場分蛋糕不太現實，筆者便啟發學生用圓柱來代替蛋糕。學生先討論如何平均分出個圓柱，然后上臺操作，初步理解個圓柱的含義；對于不同的圖形，自己動手創造，結合操作和討論更直觀地體會的意義，深入理解的含義就是把一個物體平均分成兩份，每份都是它的。接著打開想象的空間，思考是否還會有幾分之一，進而過渡到下一個活動——用直條圖來體會幾分之一的含義。最后，利用直條圖創造不同的幾分之一，幫助學生深刻體會不同幾分之一的含義。

3.在評價中促進知識的循環與生長

結構化學習的實踐應用、遷移循環，能夠促進學生認知心理的發生與發展。循環層級是一個螺旋上升的過程，在本節課中分兩個層次來呈現。（1）比較不同幾分之一的大小。課堂中讓學生找出同學作品之間的共同特征，使學生理解平均分的份數越多，分母越大，其中的一份就越小，也就是這個幾分之一越小。（2）探索分數與數軸之間的聯系。將幾個直條圖“合并”“壓縮”成數軸，讓學生對它們所表示的幾分之一之間的大小關系一目了然，深化學生對分子為1的分數的大小關系的理解。

總之，形中有數，數中有形。本節課意在通過知識的層層遞進、不同學材的使用，讓學生抽象和理解幾分之一。同時，教師先通過生活情境，將學生所要學習的內容和已有的認知經驗自然對接；然后創造性地使用工具，使學生突破數學學習的瓶頸，自然地理解知識，學會多元表征知識，促進經驗的碰撞與積累，建構具有個人獨特理解特色的數學模型；最后，讓學生完善已經建立的認知圖式，提高學生的認知水平，從而實現心智發展，提升面向未來的關鍵能力。