結構化教學，推動學習“自能化”
——以“梯形的面積計算”一課為例

江蘇無錫市東亭實驗小學（214421） 蘇 丹

數學來自人類勞動和探索客觀世界的具體實踐，從古人結繩計數到質能方程，數學知識是從具體實踐中抽象而來的，具有結構化屬性。數學學習的本質是讓數學知識結構與認知結構相互作用，將數學知識結構轉化為自身認知結構的過程。

學生建立怎樣的認知結構，取決于教師為他們提供怎樣的信息與知識。因此，教師首先要考慮課程內容的結構化設計。

從“結構”的角度來展開教學，既能幫助學生建立數學知識間的邏輯聯系，又能幫助學生把握內容的實質。有個成語叫一葉知秋，因為有了結構化的知識體系，所以可以從局部擴展到整體，如“一葉知秋”一般，從一片樹葉知道季節的交替，透過現象看本質。結構化教學正是希望培養學生的結構化認知能力，使學生實現知識、方法的自主生長，從而擁有“一葉知秋”的能力。下面以“梯形的面積計算”一課為例，談談如何進行結構化教學。

一、把握教學目標的整體性

結構化教學是要學生通過回顧聯想、類比提升、反思積累，逐步將知識結構內化，培養學生對知識結構的整體感知。這需要教師在組織結構化學習時，整體把握課時內容的教學價值，厘清某個領域知識的基本結構，結合版塊整體目標，制訂合理、有效的課時目標。

多邊形面積計算教學有相同的模式，都是讓學生在觀察、操作、比較、推理等活動中探索平面圖形面積的計算方法。整個過程都圍繞“轉化”這一核心思想展開，在探究平行四邊形的面積時，學生初次嘗試運用切割、平移等方法進行圖形的轉化，初步感受轉化思想。緊接著探索三角形的面積公式時，學生學會運用轉化思想來計算三角形的面積，體驗轉化的意義。在探索梯形面積公式時，有了前兩節課的學習經驗，學生自主遷移學習方法，也就實現了學習“自能化”。

另外，還可以對平面圖形面積的計算方法進行結構化，雙向溝通平面圖形之間的聯系：把梯形轉化成其他平面圖形，再推導出梯形的面積公式；梯形的面積公式也服務于其他平面圖形，可用來計算其他平面圖形的面積。學生在感知知識整體性和結構化的同時，體會數學抽象、邏輯推理、數學建模等思想方法，自主獲得探究同一類知識的學習路徑，培養核心素養。

教學“梯形的面積計算”一課時，筆者設計了以下教學目標。

1.在操作、觀察的過程中自主探究梯形的面積公式，培養自主學習的意識，發展空間觀念，提升學科素養。

2.在比較、分析、推理等數學活動中建立梯形的面積公式模型，并能利用公式解決生活中的實際問題，體會轉化的意義和價值，發展邏輯思維。

3.溝通梯形與其他平面圖形面積公式之間的聯系，感受數學知識的結構美。

二、挖掘知識之間的關聯性

數學中的每一個知識點不是單獨存在的，都屬于某一個知識體系，考慮到學生的認知規律及其他因素，教材編排時切斷了一些知識鏈，使知識點猶如“散落的珍珠”分散在不同的學段里。因此，教師需要溝通知識間的內在聯系，將分散的知識點串成知識鏈，編織成知識層級，再將知識層級建構成知識結構，從元素到系統，從局部到整體，讓學生從全局看清知識結構體系的全貌，形成“從結構的角度把握事物本質”的結構化思維。

［片段1］

師：同學們，前兩節課我們一起研究了平行四邊形、三角形的面積計算方法，我們是怎樣探索的？

生1：把平行四邊形分割、平移，轉化成長方形，轉化前后圖形的面積不變。

生2：把兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，可以發現其中一個三角形的面積是平行四邊形面積的一半。

師：探索平行四邊形、三角形面積公式的過程，有什么相同之處？

生3：都把新知轉化成了舊知。

師（出示圖1）：是的，轉化是數學學習中非常重要的數學思想。那么，你打算把梯形轉化成什么圖形，再求它的面積？試著用分割、添補、平移、旋轉等方法，把梯形轉化成已學過的平面圖形吧。

圖1

梯形的面積與前兩節課（平行四邊形的面積、三角形的面積）內容相近、結構相同，都可以通過割補、添補、平移、旋轉等方式把未知轉化成已知，從而探索面積計算方法。課堂上教師通過復習、回顧激發學生的已有經驗，借助思維導圖溝通各平面圖形之間的聯系，以“你打算把梯形轉化成什么圖形？”為主線，利用新舊知識之間的共通性，引導學生展開遷移性學習，使知識具有自主生長的活力。

三、緊扣思想方法的一致性

數學學習的精髓不只在于習得幾個公式、記住幾個定律，更重要的是形成數學思想方法。成熟的數學思想方法是通向解決問題的橋梁，連接已知和未知，溝通理論與實踐。教師要善于將數學思想方法以及本質規律進行有效遷移，將其延伸或者拓展到相似問題的解決過程中，形成新的解題思路，從而得到新的數學感悟和體會，建構新的知識結構化。

［片段2］

師：運用轉化思想，你把梯形轉化成了什么圖形？轉化前后的圖形面積有怎樣的關系？你還有什么發現？怎樣求梯形的面積？

學生自主探究后匯報交流（如圖2、圖3）：

圖2

圖3

師：比較同學們的探究過程，有什么相同和不同的地方？

生1：得到的梯形面積公式相同。

生2：都運用了轉化的策略。

生3：公式中都有“÷2”。

師：同學們觀察得真仔細，用添補法（如圖2），梯形面積是平行四邊形的一半，因此梯形的面積公式中有“÷2”。為什么用分割法時（如圖3）也要“÷2”呢？

生4：計算圖3中三角形的面積時就要“÷2”。

師：是呀，不同的方法，“÷2”表示的意義也不同，但最終都成功把梯形轉化成了已學過的平面圖形，并得到了相同的梯形面積公式。

“多邊形面積”的教學重點在于讓學生感悟轉化思想，思想是一致的，但轉化方法有所不同。課堂上學生通過添補、分割等不同方法，把梯形轉化成了已學過的平面圖形，積累了豐富的活動經驗，感受了轉化方法的多樣性，再次溝通了梯形與其他平面圖形之間的聯系。轉化后，教師通過“為什么要‘÷2’？”這一問題滲透“倍積變形”“等積變形”的數學思想，激發學生透過現象挖掘本質，通過推理對比發現用不同的方法推導公式時，“÷2”的意義是不一樣的，使學生進一步感悟“雖然轉化方法不同，但結果相同”。整個過程中，教師給學生提供了充分的探索空間，有效提升了學生思維的靈活性，促進學生的思維邁向高階。

四、聚焦練習設計的系統性

有層次的練習能在鞏固本節課所學知識的同時，厘清知識之間的聯系，在“變”與“不變”中凸顯不同面積公式中相同的原理，將分散的知識用結構化的思維穿成一條條線，結成一張張網，真正有效地促進學生對知識的掌握和理解。

［片段3］

師（出示圖4）：圖中有三個梯形，哪個面積最大？

圖4

生1：一樣大。

師：為什么？把你的想法和大家分享一下。

生1：因為三個梯形上底與下底的和都等于10，它們的高又是相等的，所以面積也相等。

師：這三個梯形雖然形狀不同，但它們上底加下底的和相等，高也相等，我們說這三個梯形是等底等高的。等底等高的情況下，它們的面積也相等。你還能說出一些與這三個梯形的高相等、面積也相等的圖形嗎？

生2：上底是1 米，下底是9 米，高是5 米的梯形。

生3：底是5米，高是5米的平行四邊形。

生4：底是10米，高是5米的三角形。

師：同學們找到了這么多圖形，它們的面積都相等嗎？我們通過計算驗證一下。（學生口答驗證）

師：為什么平行四邊形、三角形的面積也可以用梯形的面積公式來計算呢？看了接下來的動畫你就能明白啦。

動畫演示：梯形的上底變大，當a=b（a是上底，b是下底）時，梯形就變成了平行四邊形，其面積公式可寫為S平行四邊形=（a+b）×h÷2=（a+a）×h÷2=2a×h÷2=a×h。

動畫演示：梯形的上底變小，當a=0 時，梯形就變成了三角形，其面積公式可寫為S三角形=（a+b）×h÷2=（0+b）×h÷2=b×h÷2。

課堂上教師精心設計了三個形狀不同但面積相等的梯形，通過數形結合幫助學生明確：在高相等的情況下，只要“上底與下底的和”相等，那么這些梯形的面積也相等。以此為基礎，對于問題“你還能說出一些與這三個梯形的高相等、面積也相等的圖形嗎？”，學生能想到的就是高不變，上底與下底的和是10米的圖形。

這一環節的設計在更高層面上將三種圖形之間的聯系進行了溝通，提煉出共同的本質以提升學生的遷移能力，并通過運動變化展示圖形的轉化過程。通過推理溝通三種圖形的面積公式，凸顯它們之間的內在關聯，推導出可以相互轉化的多邊形的面積公式。這就是知識的結構化，具有內聯溝通、舉一反三、融會貫通的價值。

結構化教學向學生展示了知識之間是有聯系的，是有機的整體，有先后邏輯，有主次關系，學生看到了整個結構和生長的過程，才能理解數學從具體到抽象的演變，了解其內在邏輯與意義。有了教學目標、內容、思想方法、練習的結構化設計，學生的學習方法、思維能力都向著結構化的方向發展和完善，才能實現真正的學習“自能化”，從而推動數學素養自主生長。