與雙曲線漸近線有關的一組優美性質

廣東省中山市中山紀念中學(528400) 謝林濤

雙曲線是圓錐曲線中的重要組成部分,雙曲線與橢圓、拋物線不同之處是雙曲線擁有兩條漸近線,所以圍繞雙曲線的漸近線去設置問題是高考的一個重要考查方向,與雙曲線的漸近線有關的性質和題目也是層出不窮. 筆者在研究過程發現與雙曲線漸近線有關的一組優美性質,分享如下.

一、準備知識

二、雙曲線中與漸近線有關的一組性質

結論2.1已知雙曲線O為坐標原點,M(x0,y0)為C上任意一點,C在點M(x0,y0)處的切線與雙曲線得兩條漸近線分別交于點P,Q, 則(1)?OPQ的面積為定值ab;(2)M為PQ的中點.

證明(1) 設切點M(x0,y0), 則由上文1.1 得知, 切線與漸近線聯立,解得

所以且?OPQ的面積

(2)xP+xQ=a2b·= 2x0,所以點M為PQ的中點.

結論2.2已知雙曲線= 1(a> 0,b> 0),O為坐標原點,M(x0,y0)為C上任意一點,過點M作C的兩條漸近線平行的直線,分別交兩條漸近線于A,B兩點,則(1)?OAB,?OMA,?OMB,?MAB,的面積為定值(2)平行四邊形OAMB的面積為定值

證明由結論2.1 可知,MA,MB為?OPQ的中位線,所以容易得到?OAB,?OMA,?OMB,?MAB的面積為?OPQ的面積的,即于是平行四邊形OAMB的面積為定值

結論2.3已知雙曲線= 1(a> 0,b> 0),O為坐標原點,M(x0,y0)為C上任意一點,過點M作C的兩條漸近線的垂線,垂足分別為R,S,則(1)|MR|·|MS| =(2) ?MRS的面積為定值; (3) ?ORS的面積為,當a=b,即雙曲線C為等軸雙曲線時,?ORS的面積為定值

證明(1)點M(x0,y0)到漸近線的距離d1=到漸近線的距離于是|MR|·|MS|=d1d2=

(2)

又因為

(3)因為

當a=b,代入上式得?ORS的面積為定值

結論2.4已知雙曲線= 1(a> 0,b> 0),O為坐標原點,M(x0,y0) 為任意一點, 直線l過點M,且與C交于P,Q兩點, 與C的兩條漸近線交于G,H兩點, 若M為PQ的中點, 則(1)M為GH的中點; (2)?OGH的面積, 當點M(x0,y0)在雙曲線=λ上(λ為不等于1 的常數) 時,S?OGH=|λ|ab.

證明(1) 由準備知識可知, 直線OM與直線l的斜率之積, 所以, 于是直線l方程為:, 與漸近線聯立, 解得,同理可得,所以

所以M為GH的中點.

評注實際上,由又點M(x0,y0)在雙曲線上, 我們可知直線l為雙曲線E在點M(x0,y0)處的切線. 于是我們有下面結論.

結論2.5已知雙曲線=1(a>0,b>0),O為坐標原點,M(x0,y0)為雙曲線E:=λ(λ≠1)上任一點,雙曲線E在點M處的切線l與雙曲線C的兩條漸近線交于G,H兩點,則S?OGH=|λ|ab.

證明因為雙曲線C,E共漸近線,雙曲線λ(λ≠1)方程可化為

由結論2.1 可知S?OGH=|λ|ab.

結論2.6已知雙曲線= 1(a> 0,b> 0),O為坐標原點,M(x0,y0) 為雙曲線C上任意一點, 過點M(x0,y0)作雙曲線=λ(λ<0 或λ>1)的兩條切線,切點分別為A,B,直線AB與雙曲線C兩條漸近線交于G,H兩點,則S?OGH=λ2ab.

證明由準備知識直線與漸近線聯立, 解得同理可得于是

三、結論應用

例1(2023 屆T8 聯考)已知雙曲線1 (a> 0,b> 0) 的左右焦點分別為F1,F2,O為坐標原點, 過F2作漸近線的垂線, 垂足為P,若則雙曲線的離心率為____;又過點P作雙曲線的切線交另一條漸近線于點Q,且?OPQ的面積則該雙曲線的方程為____.

解取PF1的中點D,連接OD,則,所以OD⊥OP. 計算易得|PF2| =b,所以|OP| =a,|OD| =于是,計算可得由結論2.1 可知又解得b= 2,,所以該雙曲線的方程為

例2已知雙曲線x2-y2=4,O為坐標原點,點P為雙曲線上任意一點,過點P作雙曲線兩條漸近線l1,l2的垂線,垂足分別為A,B,則?OAB的面積為____.

解由結論2.3 可知, 則?OAB的面積為, 其中a=2,即?OAB的面積為1.

例3已知雙曲線O為坐標原點,點P為雙曲線C1上任意一點,過點P作雙曲線C2的兩條切線,切點分別為A,B,直線AB與C1的兩條漸近線交于D,E兩點,則?ODE的面積為____.

解由結論2.6 可知?ODE的面積為λ2ab, 其中λ=4,a=1,,代入計算得?ODE的面積為