運動解耦且正解符號化的8R兩平移空間并聯機構的設計與性能分析

杜中秋　沈惠平　孟慶梅　李濤　楊廷力

摘要：提出了機構1、機構2兩個新型8R兩平移空間并聯機構，并對兩個并聯機構自由度進行了分析計算；推導出了兩個機構的符號式位置正解和反解，并基于符號正解對兩個機構的工作空間進行了分析；對這兩個機構分別進行了剛度建模與動力學建模，分析了兩個機構的剛度性能，并求得相同負載下兩個機構的驅動力矩；最后對兩個機構進行運動學、剛度和動力學性能對比，結果表明機構2為優選機型。

關鍵詞：并聯機構；方位特征方程；運動學；剛度；逆動力學

中圖分類號：TH112

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.12.005

Design and Performance Analysis of 8R Two-translational Spatial ParallelMechanism with Motion Decoupling and Symbolic Positive Solutions

DU Zhongqiu SHEN Huiping MENG Qingmei LI Tao YANG Tingli

Abstract： Two new 8R two-translational（2T） spatial PMs（PM 1 and PM 2） were proposed， and their degree of freedoms（DOF） were analyzed and calculated. The forward and inverse solutions of the symbolic positions of the two PMs were derived， and the workspace of the two PMs was analyzed based on the symbolic forward solution. The stiffness and dynamics of the two PMs were modeled respectively， the stiffness performance of the two PMs was analyzed， and the driving torque of the two PMs under the same load was obtained. Finally， the kinematics， stiffness and dynamic properties of the two PMs were compared， which shows that PM 2 is the preferred model.

Key words： parallel mechanism（PM）; position and orientation characteristic equation; kinematics; stiffness; inverse dynamics

0 引言

2～4自由度并聯機構因具有構件少、制造容易、控制相對簡單等特點，在工業生產領域應用廣泛［1-3］。目前對兩自由度（2-DOF）平動并聯機構的研究相對較少。兩自由度平動并聯機構可分為三類。

第一類為2-DOF平面五桿機構。該類機構僅當以兩連桿的鉸接點為末端執行器時能實現兩維獨立平移運動（2T）。一些學者對5R全鉸鏈并聯機構進行了運動學、奇異性和工作空間分析［4-6］，此類機構運動不解耦。

第二類為2-DOF兩維平移的平面并聯機構。該類機構常含有由若干個4個轉動副（R）組成的平行四邊形機構（簡稱4R機構）。LIU等［7］提出了一種兩條支鏈中均包含1個4R平行四邊形的機構，并將其作為一種基本模塊應用于機床領域；HUANG等［8］對含有4R機構的全鉸鏈兩維平移機構進行了綜合性能分析，并將其應用于電池質量檢測設備中。一些學者也研究了滑塊驅動且含有4R機構的兩平移子鏈的并聯機構的運動學、奇異性、工作空間和逆動力學［9-10］。這些二維平移平面并聯機構運動也不解耦。

第三類為2-DOF二維平移的空間并聯機構。 CHEN等［11］提出了運動解耦的RRR+PRRR機構；彭斌彬等［12］提出了兩種具有較好側向剛度的2-DOF平動并聯機構，并分析了該機構的運動學性能；沈惠平等［13］提出了一種新型的4-DOF 3T1R并聯機構，該機構所含的一條空間混合支鏈可演化出含1個4R機構的全鉸10R兩平移空間并聯機構；SHEN等［14］設計了一種新型部分運動解耦的2P-5R兩平移并聯機構，并將其作為一條混合支鏈的主體，設計分析了一類3-DOF 2T1R機構。

沈惠平等［15］發明了兩種僅由8轉動副組成的兩平移空間并聯機構，該機構具有結構簡單、制造容易和動力學性能好等優點，能夠滿足工業生產領域中作業范圍較小、速度和精度較高的生產工藝需求。

1 機構的設計與拓撲特性分析

1.1 機構設計

根據基于方位特征（position and orientation characteristics， POC）的并聯機構拓撲設計理論［2，16］，設計的機構1和機構2如圖1所示。

假設機構2和機構1具有相同的尺寸參數，即a=160 mm，b=150 mm，l1=100 mm，l2=80 mm，l3=120 mm，l4=130 mm，l5=190 mm。

同樣對機構2建立三維CAD模型，從3D模型中測量得到兩個驅動副R11、R21的初始輸入角分別為θ1=0.2878 rad、θ2=－0.4569 rad，以及相對應O′點的輸出值分別為x=214.57 mm、z=108.39 mm。

根據機構1的驗證步驟，得到的各數值如表2所示。由表2可知，機構2的位置正反解的公式推導正確。

3 工作空間

本文采用基于符號式位置正解的極限搜索法［16］進行這兩個2T并聯機構工作空間分析。首先給定驅動副的輸入角范圍，然后利用符號式位置正解，通過MATLAB軟件編程搜索所有動平臺中心點，由這些點在三維空間組成的集合即為該機構能夠達到的工作空間。

機構1和機構2的尺寸參數已分別在2.1.3節和2.2.3節給出。這里設定機構1和機構2的驅動副R11、R21輸入角范圍均為［－π，π］。通過MATLAB軟件編程得到了兩個2T并聯機構的工作空間分別如圖3a、圖3b所示。由圖3可知：

（1）因機構的輸出運動為兩維平移，所以它的工作空間為OXZ平面內的片狀結構。

（2）機構1在Z方向具有較大的工作范圍（－91.66 mm≤z≤320 mm），而機構2在X方向具有較大的工作范圍（－315 mm≤x≤325 mm），其主要原因是機構1和機構2中的支鏈Ⅰ包含的3R子鏈軸線方向布置得不同，具體而言，機構1支鏈Ⅰ中的3R子鏈軸線方向平行于水平方向，因此，在Z軸方向提供了較大的活動范圍，而機構2支鏈Ⅰ中的3R子鏈軸線則平行于豎直方向，因此，在X軸方向提供了較大的活動范圍。

（3）機構1和機構2的工作空間具有較好的對稱性，且機構1和機構2中間部分凹槽處完全對應；經分析，該處對應于θ2=arctan2z2x+b－a時機構滿足的輸入奇異。

4 剛度分析

本文采用基于虛擬彈簧法［18-20］的剛度分析方法對兩個2T機構進行剛度分析。當機構的連桿彎曲變形很小且材料服從胡克定律時，連桿可視為懸臂梁，本文就是將其視作懸臂梁來分析其末端變形并求解其剛度矩陣Krodi［20］。

4.1 剛度基本原理

機構動平臺在承受外力和力矩Fi后，因桿件變形和被動副變形會產生微小的變形量δt。用建立的6-DOF虛擬彈簧表示空間中三個方向的線性變形和扭轉變形，由此建立微分表達式［20］如下：

4.4 機構1與機構2的剛度性能對比分析

根據4.2節和4.3節建模分析的剛度矩陣，可分別計算出機構動平臺參考點O′在某一姿態下的整體靜剛度矩陣K（6×6），其中，主對角線前3項為機構在X、Y、Z軸方向的扭轉剛度（單位：N·m/rad），后3項為機構X、Y、Z軸方向的線性剛度（單位：N/m），但由于扭轉剛度和線性剛度的量綱不一致，因此，對剛度矩陣中主對角線上的元素分別取均值進行分析，即扭轉剛度η1=（K11+K22+K33）/3，線性剛度η2=（K44+K55+K66）/3［21］。

為了準確反映兩機構因拓撲結構不同引起的剛度性能上的差別，設兩機構對應的桿件長度和截面積參數不變，且選取兩機構工作空間重疊部分進行剛度性能分析，得到兩機構在10 mm≤x≤90 mm，85 mm≤z≤175 mm工作空間上的剛度變化趨勢，如圖7～圖9所示。

綜合圖7～圖9可得如下結論：

（1）在選定的工作空間范圍內，機構2的支鏈Ⅰ的扭轉剛度和線性剛度均優于機構1中支鏈Ⅰ的扭轉剛度和線性剛度，且機構1和機構2中支鏈Ⅰ的扭轉剛度變化平緩。

（2）由于兩機構的支鏈Ⅱ具有相同的拓撲結構和尺寸參數，故其剛度變化趨勢也完全相同。

（3）機構1和機構2中支鏈Ⅱ的扭轉剛度和線性剛度均遠大于支鏈Ⅰ的的扭轉剛度和線性剛度，故圖9中機構1和機構2整體的扭轉剛度和線性剛度變化趨勢和支鏈Ⅱ的扭轉剛度和線性剛度變化趨勢相似。

（4）機構2的扭轉剛度大于機構1的扭轉剛度，而線性剛度小于機構1的線性剛度。

5 動力學分析

本文根據基于虛功原理的序單開鏈法建立機構1和機構2的動力學模型，從而求得兩機構驅動力矩的理論值，再通過ADAMS軟件進行仿真，驗證了理論模型的正確性。

5.1 機構1的動力學建模

5.1.1 機構1動平臺的速度與加速度

雅可比矩陣［1，16］是輸入關節速度到機構末端輸出速度的映射，由于矩陣內部元素與位置有關，因此，在工作空間內部不同位置處，矩陣內部的元素大小也會產生變化，其映射關系為

式中，mij為桿件ij的質量；aijmid為桿件ij的質心加速度；ωij、εij分別為桿件ij的角速度與角加速度；OIij（ij指各桿件）為各桿件ij質心處的慣量矩陣，如OIAB指桿件AB質心處的慣量矩陣。

QE1C2為系統中各構件所受的外力與外力矩的矢量矩陣；

Jv、Jω分別為桿件的移動速度雅可比矩陣和角速度雅可比矩陣；δX、δθ分別為移動虛位移和轉動虛位移；δq為廣義虛位移。

將各桿速度、加速度值代入式（17）、式（18），即可求出驅動力矩TAiBi（i=1，2）。

設機構中各桿件的質量均為建模的默認值，分別為mA1B1=0.1003 kg，mB1C1=0.0595 kg，

mC1D1=mD1E1=0.1160 kg，mA2B2=0.1287 kg，mB2C2=0.1710 kg，動平臺與負載的總質量mE1C2=9.5429 kg。將上述參數代入動力學方程（式（17）～式（19）），將5.1.1節的輸入函數作為驅動副的輸入，運用MATLAB計算（忽略摩擦）該機構的驅動力矩，結果如圖11所示。

同時，將虛擬樣機導入ADAMS中，選取運動仿真時間為5 s進行仿真，結果如圖11所示。易知，驅動力的理論計算曲線與ADAMS仿真曲線基本一致，相對誤差在0.02%以內，產生誤差的主要原因在于，ADAMS軟件仿真是基于Lagrange方程建立的動力學仿真模型，而本文主要采用基于虛功原理的序單開鏈法，在計算時存在舍入誤差和累計誤差，因此，可以認為本文動力學模型是正確的。

5.2 機構2的動力學建模

5.2.1 機構2動平臺的速度與加速度

機構2動平臺速度與加速度分析過程與機構1類似。

設定機構2與機構1具有相同的運動規律（區別在于初始角度不同），即θ1=π30t－35.83°·π180，θ2=π36t－79.65°π180。經過計算得到機構2動平臺基點的理論速度與加速度如圖12所示。

經仿真對比分析發現：機構2的理論速度和加速度分別與仿真值一致，故速度與加速度的理論計算是正確的，且X方向和Z方向的加速度變化值均較小，表明機構2動平臺具有較好的穩定性。

5.2.2 機構2動力學模型的建立

同樣，計算機構2各桿件的速度與加速度，并根據基于虛功原理的序單開鏈法對機構2建立動力學方程，利用MATLAB軟件計算后得到機構2的驅動力矩如圖13所示。

進一步，將機構2的虛擬樣機導入ADMAS后進行仿真，得到圖13所示的仿真力矩計算值。對比發現機構2的動力學建模也是正確的。

6 機構1與機構2的綜合性能對比

6.1 運動學性能對比

6.1.1 位置正反解對比

由2.1節和2.2節位置分析可知，機構1和機構2均具有符號式位置正解，且具有部分解耦性，區別在于機構1在X方向上的位置僅由R11副的輸入角θ1決定，因而具有解耦性，而機構2在Z方向上的位置僅由R11副的輸入角θ1決定，因而具有解耦性。

6.1.2 工作空間對比

在X方向上，機構1的工作范圍為－105 mm≤x≤95 mm，機構2的工作范圍為－315 mm≤x≤325 mm，前者為后者的31.25%；在Z方向上，機構1的工作范圍為－91.66 mm≤z≤320 mm，機構2的工作范圍為－20 mm≤z≤180 mm，前者為后者的205.83%；機構1的工作空間面積為82 332 mm2，機構2的工作空間面積為128 000 mm2，前者為后者的64.32%。因此，機構1在Z方向具有較大的活動范圍，而機構2在X方向具有較大的活動范圍。從機構的整體工作面積分析可知，機構2具有較大的工作空間，可認為機構2為較優機型。

6.1.3 動平臺速度對比

由圖10a、圖12a易知，在機構的驅動副運動速度相同的情況下，0～5 s兩種機構的動平臺速度為：①在X方向上，機構1動平臺速度的平均值（25.3703 mm/s）大于機構2動平臺速度的平均值（9.0858 mm/s），前者為后者的2.8倍，機構1動平臺速度的最大值（45.4855 mm/s）遠大于機構2動平臺速度的最大值（10.7567 mm/s），前者為后者的4.2倍；②在Z方向上，機構1動平臺速度的平均值（3.8464 mm/s）小于機構2動平臺速度的平均值（7.9245 mm/s），前者為后者的48.54%，機構1動平臺速度的最大值（5.4880 mm/s）小于機構2動平臺速度的最大值（8.5712 mm/s），前者為后者的64.03%。

6.2 剛度性能對比

如4.4節所述，在10 mm≤x≤90 mm、85 mm≤z≤175 mm工作空間上，機構2的扭轉剛度比機構1的扭轉剛度約大9.88%；而機構2的線性剛度比機構1的線性剛度約小1.68%，具體分析對比如表3所示。

6.3 動力學性能對比

6.3.1 加速度對比

同樣，在機構的驅動副運動速度相同的情況下，0～5 s內兩種機構的動平臺加速度為：①在X方向上，機構1動平臺加速度的平均值（0.6742 mm/s2）略大于機構2的平均值（0.6243 mm/s2），前者為后者的107.99%，機構1動平臺加速度的最大值（0.7390 mm/s2）略大于機構2的最大值（0.7313 mm/s2），前者為后者的101.05%，②在Z方向上，機構1動平臺加速度的平均值（8.2150 mm/s2）遠大于機構2的平均值（0.2983 mm/s2），前者為后者的27.5倍，且機構1動平臺加速度的最大值（22.4079 mm/s2）遠大于機構2動平臺加速度的最大值（0.4458 mm/s2），前者為后者的50.3倍。因此，在速度與加速度方面，機構2的加速度較小，動平臺運動更穩定，可認為機構2為較優機型。

6.3.2 驅動力矩對比

由圖11、圖13可知，在動平臺1的運動軌跡相同且承受相同載荷的情況下：①機構1驅動副R11所需驅動力矩的平均值（-47.2245 N·mm）小于機構2驅動副R11所需驅動力矩的平均值（93.6097 N·mm），前者為后者的50.45%，且機構1中驅動副R11所需驅動力矩的最大值（-63.6388 N·mm）小于機構2所需驅動力矩的最大值（101.2488 N·mm），前者絕對值為后者絕對值的62.85%；②機構1驅動副R21所需驅動力矩的平均值（-187.1797 N·mm）遠遠大于機構2驅動副R21所需驅動力矩的平均值（-0.0596 N·mm），前者為后者的3140.6倍，且機構1中驅動副R21所需驅動力矩的最大值（-352.6265 N·mm）遠遠大于機構2的最大值（-0.2570 N·mm），前者絕對值為后者絕對值的1372.1倍。

從機構整體所需驅動力來看，機構2所需的驅動力矩相對較小，所需能量較小，且由圖11、圖13各驅動力矩變化幅度易知，機構2更平穩且誤差較小，因此，認為機構2為優選機型。

7 結論

（1）根據基于方位特征（POC）的并聯機構拓撲設計理論，設計了兩種新型8鉸鏈兩平移空間并聯機構，對這兩個機構進行POC、自由度及耦合度等主要拓撲特征分析，結果表明兩種機構均具有部分輸入-輸出解耦性，這對機構的軌跡規劃和運動控制十分有利。

（2）根據拓撲特征運動學建模原理對這兩種機構進行了運動學建模，得到了兩種機構的符號式位置正反解，并進一步分析了它們的工作空間形狀和大小。

（3）根據虛擬彈簧法對這兩種機構進行了剛度分析，求得了它們在特定工作空間下的扭轉/線性剛度分布圖，并分析了它們的剛度特性。

（4）根據基于虛功原理的序單開鏈法建立了這兩種機構的動力學模型，求得了它們的驅動力矩曲線，并驗證了動力學模型的正確性。

（5）分析比較了兩種機構的運動學性能、剛度性能和動力學性能，發現機構2運動平穩性更好、工作空間更大、剛度性能較優，且在負載相同的情況下所需驅動力矩更小，因此機構2為優選機型。

參考文獻：

［1］梅萊J P.并聯機器人［M］.黃遠燦，譯.北京：機械工業出版社，2016.

ML J P. Paralled Robots［M］. HUANG Yuancan， trans. Beijing：China Machine Press， 2016.

［2］楊廷力，劉安心，沈惠平，等.機器人機構拓撲結構設計［M］.北京：科學出版社，2012.

YANG Tingli， LIU Anxin， SHEN Huiping， et al. Theory and Application of Robot Mechanism Topo-logy［M］. Beijing：Science Press， 2012.

［3］劉辛軍.并聯機器人機構學基礎［M］. 北京：高等教育出版社，2018．

LIU Xinjun. Fundamental of Parallel Robotic Mechanisms［M］. Beijing：Higher Education Press， 2018.

［4］GAO F， LIU X， GRUVER W A. Performance Evaluation of Two-degree-of-freedom Planar Parallel Robots［J］. Mechanism and Machine Theory，1997，33（6）：661-668.

［5］LIU X， WANG J， PRITSCHOW G. Kinematics， Singularity and Workspace of Planar 5R Symmetrical Parallel Mechanisms［J］. Mechanism and Machine Theory，2005，41（2）：145-169.

［6］LARA-MOLINA F A， KOROISHI E H， STEFFEN V， et al. Kinematic Performance of Planar 5R Symmetrical Parallel Mechanism Subjected to Clearances and Uncertainties［J］. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering，2018，40（4）：1-15.

［7］LIU Xinjun， WANG Qiming， WANG Jinsong. Kinematics， Dynamics and Dimensional Synthesis of a Novel 2-DOF Translational Manipulator［J］. Journal of Intelligent and Robotic Systems，2004，41（4）：205-224.

［8］HUANG Tian， LI Zhanxian， LI Meng， et al. Conceptual Design and Dimensional Synthesis of a Novel 2-DOF Translational Parallel Robot for Pick-and-Place Operations［J］. Journal of Mechanical Design，2004，126（3）：449-455.

［9］沈惠平，吉昊，許正驍，等.三平移機構設計與運動學符號解及性能評價［J］.農業機械學報，2020，51（9）：397-407.

SHEN Huiping， JI Hao， XU Zhengxiao， et al. Design， Kinematic Symbolic Solution and Performance Evaluation of New Three Translation Mechanism［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2020，51（9）：397-407.

［10］沈惠平，顧曉陽，李菊，等.基于拓撲降耦的3T1R并聯機構設計與運動學特性分析［J］.農業機械學報，2021，52（8）：406-415.

SHEN Huiping， GU Xiaoyang， LI Ju， et al. Topological Coupling-reducing Based Design of 3T1R Parallel Mechanism and Kinematics Performances Analysis［J］. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2021，52（8）：406-415.

［11］CHEN C， ANGELES J. Generalized Transmission Index and Transmission Quality for Spatial Link-ages［J］. Mechanism and Machine Theory，2006，42（9）：1225-1237.

［12］彭斌彬，肖杰，陳小崗，等.新型2自由度并聯平動機構構型及運動性能［J］.機械設計與研究，2010，26（1）：36-39.

PENG Binbin， XIAO Jie， CHEN Xiaogang， et al. Synthesis and Kinematics Performance of a Novel 2-DOF Parallel Translating Mechanism［J］. Mechanical Design and Research， 2010，26（1）：36-39.

［13］沈惠平，許正驍，許可，等.零耦合度且部分解耦的3T1R并聯機構設計與運動分析［J］.農業機械學報，2019，50（4）：382-392.

SHEN Huiping， XU Zhengxiao， XU Ke， et al. Design and Kinematic Analysis of Zero Coupling and Partially Decoupled 3T1R Parallel Mechanism［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2019，50（4）：382-392.

［14］SHEN H P， TANG Y， WU G L，et al. Design and Analysis of a Class of Two-limb Non-parasitic 2T1R Parallel Mechanism with Decoupled Motion and Symbolic forward Position Solution-influence of Optimal Arrangement of Limbs onto the Kinematics， Dynamics and Stiffness［J］. Mechanism and Machine Theory，2022， 172：104815.

［15］沈惠平，杜中秋，孟慶梅.一種全鉸鏈兩支鏈兩平移并聯機構：CN115351771A［P］.2022-09-05.

SHEN Huiping， DU Zhongqiu， MENG Qingmei.A Full Hinge Two Branches and Two Translation Parallel Mechanism：CN115351771A［P］. 2022-09-05.

［16］沈惠平.機器人機構拓撲特征運動學［M］.北京：高等教育出版社， 2021.

SHEN Huiping. Topological Characteristics-based Kinematics for Robotic Mechanism［M］. Beijing：Higher Education Press， 2021.

［17］SHEN H P， ZHAO Y N， LI J， et al. A Novel Partially-decoupled Translational Parallel Manipulator with Symbolic Kinematics， Singularity Identification and Workspace Determination［J］. Mechanism and Machine Theory， 2021， 164：04388.

［18］WU G L， BAI S P， KEPLER J. MobilePlatform Center Shift in Spherical Parallel Manipulators with Flexible Limbs［J］. Mech. Mach. Theory，2014，75：12-26.

［19］WU G L， ZOU P. Stiffness Analysis and Comparison of a Biglide Parallel Grinder with Alternative Spatial Modular Parallelograms［J］. Robotica，2017，35（6）：1310-1326.

［20］WU G， SHEN H. Parallel PnP Robots—Parametric Modeling， Performance Evaluation and Design Optimization［M］. Singapore：Springer， 2020.

［21］孫馳宇，沈惠平，王一熙，等.零耦合度部分運動解耦三平移并聯機構剛度建模與分析［J］.農業機械學報，2020，51（6）：385-395.

SUN Chiyu， SHEN Huiping， WANG Yixi， et al. Stiffness Analysis of Three-translation Parallelmechanism with Zero Coupling Degree and Partial Motion Decoupling［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2020，51（6）：385-395.

［22］楊廷力.機械系統基本理論：結構學·運動學·動力學［M］. 北京：機械工業出版社， 1996.

YANG Tingli. Basic Theory of Mechanical Systems：Structure·Kinematics·Dynamics［M］. Beijing：China Machine Press， 1996.

［23］沈惠平，肖思進，尤晶晶， 等.一平移兩轉動并聯運動振動篩動力學建模與精度分析［J］.農業機械學報，2021，52（2）：394-400.

SHEN Huiping， XIAO Sijin， YOU Jingjing， et al. Dynamic Modeling and Precision Analysis of Parallel vibrating Screen with One-translation and Two Rotation［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2021，52（2）：394-400.

［24］黃凱偉，沈惠平，李菊， 等.一種具有部分運動解耦和符號式位置正解的空間2T1R并聯機構拓撲設計與動力學建模［J］.中國機械工程，2022，33（2）：160-169.

HUANG Kaiwei， SHEN Huiping， LI Ju， et al. Topological Design and Dynamics Modeling of a Spatial 2T1R Parallel Mechanism with Partially Motion Decoupling and Symbolic Forward Kinematics［J］. China Mechanical Engineering， 2022，33（2）：160-169.

（編輯 王艷麗）

作者簡介：

杜中秋，男，1996年生，碩士研究生。研究方向為機器人機構學。E-mail：duzq1028@163.com。

沈惠平（通信作者），男，1965年生，教授、博士研究生導師。研究方向為機器人機構學、并聯機構及裝備設計、一般機構學等。發表論文300余篇。E-mail：shp65@126.com。

收稿日期：2022-09-13

基金項目：國家自然科學基金（51975062）