在問題解決中促進模型觀念的形成與發(fā)展*
——以一道二次函數(shù)題的教學研究為例

杜育林 顧祥芳 劉光建

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，學生核心素養(yǎng)主要包括會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界三個方面，并且明確了初中階段核心素養(yǎng)的九大主要表現(xiàn)。

案例：種植花草問題

某學校門前有一個邊長為4m 的正方形花壇，花壇內(nèi)部要種植紅、黃、紫三種顏色的花草（如下頁圖1），圖中AE=MN。計劃在陰影部分的四個全等三角形內(nèi)種植紅色花草，在白色部分的四個全等三角形內(nèi)種植黃色花草，在小正方形MNPQ內(nèi)種植紫色花草。每種花草的價格如下表：

品種___價格（元/m2）紅色花草60黃色花草80紫色花草_120____

（圖1）

設AE的長為xm，正方形EFGH的面積為Sm2，買花草的費用為W元。

解答下列問題：

（1）S與x之間的函數(shù)表達式為S=_______；

（2）求W與x之間的函數(shù)表達式，并求出所需的最低費用是多少元？

（3）當買花草所需費用最低時，求EM的長。

教師在針對現(xiàn)階段初中生進行音樂教學的過程中，應全面利用音樂產(chǎn)生情感共鳴的特性對學生進行相關的引導教育，確保學生在接受音樂知識的基礎上保證學生綜合素質(zhì)的建設。

一、設計意圖

新課標在“課程目標”中提出了三條義務教育階段的“總目標”，其中第二條是讓學生“體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，在探索真實情境所蘊涵的關系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運用數(shù)學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題”［1］11。為達此目標，在數(shù)學教學中，教師應結(jié)合具體課程內(nèi)容，精心設計案例，引導學生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，在這個過程中讓學生獲得“四基”“四能”，不斷提高學生通過建立數(shù)學模型解決實際問題的能力。

二次函數(shù)就是一個典型的數(shù)學模型，許多數(shù)學問題（含實際問題）都可以通過建立二次函數(shù)模型加以解決。新課標在“課程內(nèi)容”中針對“二次函數(shù)”提出了四條具體要求，其中之一是“會求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，能解決相應的實際問題”［1］57。

在學生學習了二次函數(shù)的概念、探究得到二次函數(shù)的性質(zhì)之后，為了在二次函數(shù)的應用課中加強對學生應用意識的培養(yǎng)，促進模型觀念的形成和發(fā)展，我們設計了上面的案例。

二、教學目標

1.引導學生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，獲得利用二次函數(shù)解決實際問題的經(jīng)驗，感受模型思想和數(shù)學的應用價值，進一步促進學生模型觀念的形成。

2.能分析和表示實際背景下變量之間的二次函數(shù)關系，并解決簡單問題中與二次函數(shù)有關的部分。

3.在建立模型解決問題的過程中，培養(yǎng)并提高學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，增強應用意識。

三、解答過程

本案例以“種植花草”為背景，設有三個問題。解答問題（1）只需要利用勾股定理求出正方形EFGH的邊長即可。解答問題（2）應分三步：一是求出種植各種花的面積，認真觀察圖1，正確用含x的代數(shù)式表示三種花草的種植面積是關鍵；二是根據(jù)種植三種花草的面積和價格，正確列出所需費用W與x的關系式，并進一步整理得到函數(shù)關系式W=80x2-160x+1280（數(shù)學模型）是解決本小題的關鍵一步；三是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)W=80x2-160x+1280 的最小值，并根據(jù)實際問題的意義確定出最終答案。解答問題（3）的關鍵是在Rt△EMH中，利用勾股定理建立方程模型a2+（a+1）2=10。具體解答過程如下。

（1）根據(jù)勾股定理易求出正方形EFGH的邊長，所 以S與x之間的函數(shù)表達式為S=x2+（4-x）2。

（2）W=60×4S△AEH+80×（S正方形EFGH-S正方形MNPQ）+120×S正方形MNPQ=60×4×（4-x）+80×［x2+（4-x）2-x2］+120x2=80x2-160x+1280=80（x-1）2+1200（0＜x＜4）。

當x=1時，W有最小值1200。

由實際問題的意義可知，函數(shù)W=80x2-160x+1280的最小值就是實際問題的最小值。

（3）當買花草所需的費用W最低時，x=1，即AE=1m，所以AH=3m、EH2=AE2+AH2=10m2。

設EM=am，又MN=AE=1m，所以MH=（a+1）m，在Rt△EMH中，a2+（a+1）2=10，解得a=。因為a＞0，所以，因此EM的長為。

四、教學價值分析

從數(shù)學教育教學的角度看，本題的核心立意于“模型觀念”的形成與發(fā)展。事實上，本題不僅僅有助于模型觀念的培養(yǎng)，對于其他核心素養(yǎng)表現(xiàn)也具有積極的教育教學價值。

1.培養(yǎng)學生的運算能力

數(shù)學離不開運算。數(shù)學運算能力是新課標提出的核心素養(yǎng)之一，是指“根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力”。運算能力是在運用數(shù)學知識進行計算、推理以及解決問題的過程中逐漸形成并得到不斷提高的。

本案例有三問，每一問都考查了學生的運算能力：第（1）問，為了寫出S與x之間的函數(shù)表達式，需要先根據(jù)勾股定理求出正方形EFGH的邊長；第（2）問，為了求“所需費用的最小值”，需要先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出二次函數(shù)的最小值，這里對函數(shù)表達式進行變形整理變成了關鍵的一步，需要學生具備相應的運算能力；第（3）問，根據(jù)勾股定理建立起一元二次方程后，解方程的過程比較復雜，也要求學生具有較強的運算能力。可見，本案例對于培養(yǎng)學生的運算能力有積極的教學價值，是一道培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力的好題目。

2.在數(shù)學建模過程中感悟模型思想、提升模型觀念

“模型觀念”是新課標提出的重要概念，是初中九大核心素養(yǎng)之一。為了分析本案例對學生模型觀念的形成與發(fā)展的作用，我們有必要澄清“數(shù)學模型”“數(shù)學建模”“模型思想”“模型觀念”等概念的意義。

“數(shù)學模型”就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征、關系所形成的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。用字母、數(shù)字及其他符號建立起來的代數(shù)式、關系式、方程、函數(shù)、不等式，各種圖表、圖形等都是數(shù)學模型。［2］用通過計算得到的數(shù)學模型的結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗，這個建立數(shù)學模型并應用的全過程就稱為數(shù)學建模。

“模型思想”是指能夠有意識地用數(shù)學的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實世界中一類問題的那種思想。［3］史寧中教授認為，數(shù)學基本思想有三種，模型思想便是其中之一。“模型觀念”主要是指對運用數(shù)學模型解決實際問題有清晰的認識［1］10，是通過建立數(shù)學模型去認識問題、解決問題的自覺意識和思維方式。

本案例屬于典型的建立二次函數(shù)模型解答實際問題的案例（從解答過程看，還需要建立一元二次方程模型）。學生通過解答本案例，完整地經(jīng)歷了“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，這個“建立模型—解決問題”的過程可用下頁圖2 表示。學生每經(jīng)歷一次圖2 所示的數(shù)學建模過程，其模型觀念都將得到一次增強和發(fā)展的機會。［4］

（圖2）

3.有利于學生形成良好的情感價值觀

新課標對于“總目標”提出的第三條要求是“對數(shù)學具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學的價值，欣賞數(shù)學美，提高學習數(shù)學的興趣，建立學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神”［1］11。我們可以把這一條簡稱為“情感價值觀”，這條目標是在落實前兩條目標的過程中實現(xiàn)的，即它是“伴隨”在學生獲取“四基”、形成“四能”以及“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程中逐漸形成的。

學生在解答本題的過程中，不僅提高了分析問題、解決問題的能力，并且還培養(yǎng)了細致、嚴謹?shù)膶W習品質(zhì)。學生面對三個問題的計算過程都要細心、不可馬虎，在對二次函數(shù)通過配方得到W=80（x-1）2+1200 的過程，以及最后解方程更要精心運算，一不小心就容易出錯，這些運算過程都有助于學生養(yǎng)成良好的學習習慣。

本題的真實情境背景有助于學生理解“數(shù)學來源于生活，數(shù)學服務于生活”的含義，在這個過程中，學生能進一步形成模型觀念，提高分析問題解決問題的能力，不斷增強應用意識。

五、教學啟示

我們常說某人有沒有“數(shù)學頭腦”，實際上就是指他能否運用數(shù)學方法來解難答疑，歸根結(jié)底是指模型觀念的有、無、強、弱的問題。學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力主要是在數(shù)學學習以及運用數(shù)學知識解決問題的過程中得到提升的，新課標中強調(diào)的應用意識和模型觀念素養(yǎng)都是在“建立模型—解決問題”的過程中逐步形成的。

模型觀念是在經(jīng)歷“過程”中逐步形成與發(fā)展起來的，數(shù)學中建立模型內(nèi)容的“載體”處處皆是。在引導學生學習這些“載體”內(nèi)容（如方程、不等式、函數(shù)等）時，有兩個環(huán)節(jié)對于學生模型觀念的形成與發(fā)展具有積極的促進作用：一是概念的建立過程；二是建立模型解決實際問題的過程。

這就決定了在數(shù)學概念的教學中，教師一方面應認真研讀教材，充分理解編寫意圖，并閱讀與本概念有關的教學論文（著）；另一方面要清楚數(shù)學概念常用的定義方式，確定給出本概念究竟要采用的哪一種定義方式。在此基礎上，教師要對教材內(nèi)容進行二次加工處理，設計出問題系列，以此引導學生經(jīng)歷“知識背景—知識形成—揭示聯(lián)系”的過程，在這個過程中不斷提高學生的數(shù)學抽象能力、推理能力以及分析問題和解決問題的能力，進一步感悟模型思想，增強模型觀念。