借助函數(shù)模型，解決應(yīng)用問(wèn)題

■劉紅霞

數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活,又應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活,它們是緊密聯(lián)系的。下面以函數(shù)模型的構(gòu)建與分析為實(shí)例,借助函數(shù)模型來(lái)分析與解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

1.指數(shù)型函數(shù)模型

例1用打點(diǎn)滴的方式治療“新冠”病患時(shí),血藥濃度(血藥濃度是指藥物吸收后,在血漿內(nèi)的總濃度)隨時(shí)間變化的函數(shù)符合,其函數(shù)圖像如圖1 所示,其中V為中心室體積(一般成年人的中心室體積近似為600),m0為藥物進(jìn)入人體時(shí)的速率,k是藥物的分解或排泄速率與當(dāng)前濃度的比值。此種藥物在人體內(nèi)有效治療效果的濃度在4到15之間,當(dāng)達(dá)到上限濃度時(shí),必須馬上停止注射,之后血藥濃度隨時(shí)間變化的函數(shù)符合c2(t)=c·2-kt,其中c為停藥時(shí)的人體血藥濃度。

圖1

(1)求出函數(shù)c1(t)的解析式。

(2)一病患開(kāi)始注射后,最遲隔多長(zhǎng)時(shí)間停止注射? 為保證治療效果,最多再隔多長(zhǎng)時(shí)間開(kāi)始進(jìn)行第二次注射? (結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位,參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3,lg3≈0.48)

解決這類(lèi)問(wèn)題,要掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,要熟悉指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化。

2.對(duì)數(shù)型函數(shù)模型

例22020年12月17日凌晨,經(jīng)過(guò)23天的月球采樣旅行,嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品成功著陸預(yù)定區(qū)域,我國(guó)首次對(duì)外天體無(wú)人采樣返回任務(wù)取得圓滿(mǎn)成功,成為時(shí)隔40 多年來(lái)首個(gè)完成落月采樣并返回地球的國(guó)家,標(biāo)志著我國(guó)探月工程“繞,落,回”圓滿(mǎn)收官。近年來(lái),得益于我國(guó)先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù),我國(guó)在航天領(lǐng)域取得了巨大成就。據(jù)了解,在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下,可以用公式計(jì)算火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是噴流相對(duì)速度,m(kg)是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量,M(kg)是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和稱(chēng)為“總質(zhì)比”,已知A型火箭的噴流相對(duì)速度為1000m/s。

(1)當(dāng)總質(zhì)比為200時(shí),利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度。

(2)經(jīng)過(guò)材料更新和技術(shù)改進(jìn)后,A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到了原來(lái)的倍,總質(zhì)比變?yōu)樵瓉?lái)的,若要使火箭的最大速度至少增加500m/s,求在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)值。(參考數(shù)據(jù):ln200≈5.3,2.718

對(duì)數(shù)型函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本類(lèi)型和求解策略:先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù),或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,再根據(jù)數(shù)值解釋其實(shí)際意義。

3.擬合型函數(shù)模型

例3某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為每件30元的商品,在市場(chǎng)銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷(xiāo)售單價(jià)x元與日銷(xiāo)量y件之間的關(guān)系如表1所示。

表1

(1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),在平面直角坐標(biāo)系中描出實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),并確定x與y的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)。

(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P元,根據(jù)上述關(guān)系式寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出銷(xiāo)售單價(jià)x為多少時(shí),才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)。

解:(1)由表中數(shù)據(jù),在平面直角坐標(biāo)系中作出實(shí)數(shù)對(duì)(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),如圖2 所示。觀察圖像可知,它們近似地分布在一條直線(xiàn)上。

圖2

設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx+b(k≠0),將點(diǎn)(50,0),(45,15)代入得解得所以y=-3x+150(30≤x≤50)。

檢驗(yàn)知點(diǎn)(30,60),(40,30)也在此直線(xiàn)上,所以所求函數(shù)關(guān)系式為y=-3x+150(30≤x≤50)。

(2)依題意得日銷(xiāo)售利潤(rùn)P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300(30≤x≤50)。所以當(dāng)x=40時(shí),P取得最大值,其最大值為300。

故當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為40元時(shí),才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)。

建立擬合型函數(shù)模型的四個(gè)基本步驟:畫(huà)圖,根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格等繪制出散點(diǎn)圖;畫(huà)線(xiàn),通過(guò)觀察散點(diǎn)圖,畫(huà)出“最貼近”的直線(xiàn)或曲線(xiàn),即擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn);求函數(shù),根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí),求出擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn)的函數(shù)解析式;解答問(wèn)題,利用函數(shù)解析式,對(duì)所給問(wèn)題提出預(yù)測(cè)和控制,為決策和管理提供依據(jù)。