初中數(shù)學(xué)“慢教·研學(xué)·建構(gòu)”的課堂實(shí)踐
——以蘇科版數(shù)學(xué)教材八（下）“圖形的旋轉(zhuǎn)”為例

■華云峰

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，課堂教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生提供豐富的問(wèn)題情境、充分的思考時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達(dá)等學(xué)習(xí)過(guò)程，解決認(rèn)知沖突，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決。“慢教”有利于學(xué)生充分認(rèn)知和思考，體驗(yàn)更自主、更真實(shí)，促進(jìn)學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)的形成，實(shí)現(xiàn)啟智增慧、學(xué)思融通；“研學(xué)”有利于學(xué)生充分理解和感悟，理解更深刻、更透徹，推動(dòng)理性知識(shí)建構(gòu)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力；“建構(gòu)”促使學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)展核心素養(yǎng)。在此背景下，筆者積極思考和探索，總結(jié)出初中數(shù)學(xué)“慢教·研學(xué)·建構(gòu)”的教學(xué)主張。下面以蘇科版數(shù)學(xué)教材八（下）“圖形的旋轉(zhuǎn)”為例，分析該教學(xué)主張下的課堂實(shí)踐。

一、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)了解了平移、翻折（軸對(duì)稱）這類圖形運(yùn)動(dòng)方式，會(huì)將一個(gè)圖形進(jìn)行平移或者軸對(duì)稱變換。對(duì)于生活中的另一類圖形運(yùn)動(dòng)方式——旋轉(zhuǎn)，學(xué)生們也不陌生。他們身邊有很多例子可以列舉。本節(jié)、本單元均采用同樣的研究方法，通過(guò)學(xué)生已經(jīng)積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行類比教學(xué)和探究。

二、教學(xué)片段

1.慢教感知，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象

教師運(yùn)用微視頻或者動(dòng)態(tài)圖展示以下情形：孩子手中迎風(fēng)轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車；游樂(lè)場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)的摩天輪；有規(guī)律來(lái)回?cái)[動(dòng)的鐘擺；風(fēng)能發(fā)電機(jī)緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)的扇葉。

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)倭信e一些生活中類似的例子。

生1：教室墻上懸掛的時(shí)鐘指針一刻不停地轉(zhuǎn)動(dòng)。

生2：汽車的方向盤(pán)、輪胎都可以轉(zhuǎn)動(dòng)。生3：我家書(shū)房里的椅子可以轉(zhuǎn)動(dòng)360°。生4：圓規(guī)在紙上畫(huà)圓就是轉(zhuǎn)動(dòng)。

……

師：上述運(yùn)動(dòng)有什么共同的特征？同學(xué)們可以用自己的語(yǔ)言進(jìn)行描述。

生5：物體都在轉(zhuǎn)動(dòng)，而且有一個(gè)中心。

生6：物體可以向不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)。

師：很好，接下來(lái)我們嘗試從數(shù)學(xué)的角度（形狀、大小、位置、方向等）對(duì)旋轉(zhuǎn)的概念進(jìn)行概括。大家可與同伴合作交流。

生7：將圖形繞一個(gè)定點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn)。

師：很好！我們邀請(qǐng)這位同學(xué)把這個(gè)定義工整地寫(xiě)到黑板上，好嗎？

（教師用掌聲鼓勵(lì)了他，隨后學(xué)生板書(shū)定義。）

師：我們將情境問(wèn)題中的旋轉(zhuǎn)物體抽象成數(shù)學(xué)中的平面圖形，做進(jìn)一步研究。觀察圖1、圖2，請(qǐng)同學(xué)們歸納平面圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì)。

圖1

圖2

（組織小組合作學(xué)習(xí)。）

小組1 代表：觀察兩個(gè)旋轉(zhuǎn)圖形，我們組發(fā)現(xiàn)三角形旋轉(zhuǎn)的中心點(diǎn)可以是三角形自身的一個(gè)頂點(diǎn)，也可以是形外或者形內(nèi)的某一點(diǎn)；圖形可以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，也可以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；圖1中的三角形ABC旋轉(zhuǎn)了20°，圖2中的三角形ABC旋轉(zhuǎn)了65°。

師：非常全面，我們把掌聲送給他們。以上回答可以總結(jié)成這樣的問(wèn)題：描述旋轉(zhuǎn)要從哪幾個(gè)方面進(jìn)行？

小組1 代表補(bǔ)充：3 個(gè)方面，即旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角。

師：感謝這位同學(xué)給我們帶來(lái)的全面而準(zhǔn)確的概括。接下來(lái)，我們聚焦圖2，你們能發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的不變量嗎？

小組2代表：從圖2中我們發(fā)現(xiàn)△ABC≌△A′B′C′，還有其他結(jié)論，如AO=A′O，BO=B′O，CO=C′O，∠AOA′=∠BOB′=∠COC′。另外，一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后與原圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角都相等。

師：同學(xué)們，你們可以評(píng)價(jià)一下這位同學(xué)的表現(xiàn)。老師覺(jué)得這位同學(xué)第3 點(diǎn)的概括比教材上的更簡(jiǎn)潔、更清晰。

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)學(xué)生到黑板上書(shū)寫(xiě)定義這一環(huán)節(jié)體現(xiàn)了一定的育人價(jià)值：一是讓這位學(xué)生有一種當(dāng)教師的自豪感；二是訓(xùn)練學(xué)生書(shū)寫(xiě)文字（書(shū)法展示）的能力，既有學(xué)生視角、學(xué)生審美，又有同節(jié)奏的平等教育。接下來(lái)，在一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的圖形中尋找不變量，這就是數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)抽象。學(xué)生自主尋找、發(fā)現(xiàn)和歸納，才是真正的體驗(yàn)、經(jīng)歷，也是在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受、獲得直接經(jīng)驗(yàn)的意義。

2.研學(xué)探究，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考

例1 （1）你能畫(huà)出圖3中線段AB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°所得的線段嗎？

圖3

（2）在圖4 中畫(huà)出將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°后所得到的三角形。

圖4

例2 如圖5，在由一塊正方形花壇和兩塊小三角形的草皮組成的直角三角形ABC苗圃中，已知兩個(gè)小三角形的斜邊長(zhǎng)分別是6m和4m，求圖中草皮的面積。

圖5

例3 我們研究一下，如何求圖2 中線段AC掃過(guò)的面積？是否可以總結(jié)出一般性的方法或者計(jì)算公式呢？

【設(shè)計(jì)意圖】研學(xué)，意在促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題本源進(jìn)行探究，形成新問(wèn)題，代入新思考，驗(yàn)證新結(jié)論，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力有較大幫助。例1、例2 體現(xiàn)了學(xué)習(xí)圖形旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)價(jià)值。借助旋轉(zhuǎn)可以拼出新圖形，產(chǎn)生新樣貌，運(yùn)用新方法。學(xué)生只要發(fā)現(xiàn)相對(duì)獨(dú)立的兩個(gè)直角三角形有相等的一條直角邊，便會(huì)想到旋轉(zhuǎn)、拼圖，從而驚嘆于美妙的數(shù)學(xué)思維價(jià)值。對(duì)于例3，學(xué)生通過(guò)小組研學(xué)、助學(xué)，可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決和一般性結(jié)論的發(fā)現(xiàn)。

3.自主建構(gòu)，形成數(shù)學(xué)表達(dá)

練習(xí)1 任意畫(huà)一個(gè)三角形ABC，并設(shè)定一個(gè)旋轉(zhuǎn)中心O，畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°所得到的圖形。

練習(xí)2 將圖6中的三角形ABC先向右平移4 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到三角形A1B1C1。再將三角形A1B1C1繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到三角形A2B2C2。單位正方形的邊長(zhǎng)為1。（1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形。（2）求在平移、旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段AB掃過(guò)的面積。

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】練習(xí)1既可以增強(qiáng)開(kāi)放性：三角形形狀不確定，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)不確定；又可以關(guān)聯(lián)下一節(jié)課的內(nèi)容——中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形。練習(xí)2是在網(wǎng)格中畫(huà)圖，需要學(xué)生借助網(wǎng)格中的平行、垂直等優(yōu)勢(shì)完成；求線段掃過(guò)的面積，可以讓學(xué)生再次感受旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)價(jià)值。

最后，請(qǐng)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)及所習(xí)得的相關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng)——知識(shí)和思想。隨后，教師呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的課堂小結(jié)（圖7）。

圖7

三、教學(xué)思考

什么樣的課堂才會(huì)高效？如何教才能適合學(xué)生發(fā)展？這是永恒的話題。如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助他們建立學(xué)習(xí)自信，形成質(zhì)疑問(wèn)題、自我反思和勇于探索的理性精神，值得每一位數(shù)學(xué)教師思考和研究。教育家葉圣陶先生說(shuō)過(guò)，教育是農(nóng)業(yè)，而不是工業(yè)。教育就像種莊稼一樣，需要一個(gè)緩慢的生長(zhǎng)過(guò)程，不能拔苗助長(zhǎng)、急功近利。“慢教·研學(xué)·建構(gòu)”理念旨在增強(qiáng)學(xué)生自主體驗(yàn)，弱化對(duì)外界的依賴，促進(jìn)自我實(shí)現(xiàn)，發(fā)揮個(gè)人潛能，這符合羅杰斯人本主義理論；促進(jìn)學(xué)生在課堂中有充分的思考和領(lǐng)悟時(shí)間，理解更通透，有認(rèn)知的真正發(fā)生，促進(jìn)思維的邏輯化、結(jié)構(gòu)化逐步形成，符合皮亞杰發(fā)生認(rèn)識(shí)理論。“慢教”著力培養(yǎng)興趣，“研學(xué)”重在發(fā)展能力，“建構(gòu)”突出模型塑造和思維創(chuàng)新。愿我們的教、學(xué)、評(píng)都能基于學(xué)生發(fā)展，基于人才培養(yǎng)，基于教育強(qiáng)國(guó)等實(shí)踐思考。