基于能量法的高頻沖擊載荷下機械結構振動特性研究

李征宇,王 薇,陳 強

(1.中國船舶集團有限公司第七二三研究所,江蘇 揚州 225000;2.東南大學,江蘇 南京 211189)

0 引 言

船舶、高速列車、航空航天等領域的機械結構在服役過程中不可避免地面臨沖擊載荷的作用。沖擊載荷是結構服役時面臨的最惡劣力學環境之一[1-4],通常具有短時瞬態、寬頻帶和高量級等超常特性。極端的沖擊載荷對電子儀器等沖擊敏感元件的破壞作用十分突出,極大影響了機械結構的正常工作,嚴重時可導致結構發生失效。因此,在機械結構設計過程中必須重視沖擊問題。

沖擊載荷作用下,結構時域響應的精確預示對結構設計和安全性能評估具有重要意義。但由于沖擊載荷具有作用時間短、頻帶范圍寬和載荷量級高等復雜特性,采用有限元、邊界元等離散化方法分析寬頻段的瞬態沖擊問題時,需要劃分大量的網格,使得計算模型規模很大、計算分析效率極低。此時,選擇能量法來預示結構瞬態沖擊響應具有較高的計算效率。

統計能量分析(SEA)通過將結構劃分為若干子系統,將結構的振動能量在空間和頻域內進行平均,進而建立子系統間的能量傳遞方程,并獲取結構振動特性[5]。由于SEA方法具有極高的計算效率和較好的分析精度,在航空、航天、船舶、建筑等領域有著廣泛應用。傳統的SEA方法通常用于分析頻域內的高頻動力學問題。近年來隨著SEA相關理論的發展,SEA方法逐漸拓展到時域動力學問題的分析,極大地擴展了SEA方法的應用范圍。

基于SEA理論發展的時域動力學分析方法主要有瞬態統計能量分析(TSEA)[6-9]和瞬態局部能量分析(TLEA)[10-11]2種。在理論研究方面,丁少春等[9]基于TSEA 方法研究了耦合強度對兩自由度系統瞬態能量響應的峰值時間和峰值能量的影響規律,進而評估了TSEA方法的適用范圍;Guasch等[10]為解決傳統差分方法的魯棒性問題,提出了一種局部時間步進有限差分方法,提高了TSEA方法的計算精度和穩定性;Sui等[11]對比了TLEA和TSEA 2種方法的準確性,并討論了子系統耦合強度對能量峰值分析結果的影響規律;仝宗凱等[12]考慮熱效應對統計能量分析參數的影響,基于TLEA方法研究了變溫環境下結構高頻瞬態能量響應,分析了溫度對結構能量響應的影響規律。在工程應用方面:Robinson等[13]采用TSEA方法分析了瞬態沖擊載荷下建筑結構地板的振動響應和室內的聲壓響應,并通過試驗研究驗證了方法的準確性;聶旭濤等[14]對空空導彈進行了簡化建模,并基于TSEA方法預示了其艙內的動力學環境,仿真結果與實測數據的對比表明TSEA方法能夠較為準確地預示結構中高頻動力學環境。Chen等[15]將TLEA方法與商業統計能量分析軟件相結合,分析了瞬態沖擊載荷下復雜整流罩結構的聲固耦合響應,并分析了耦合強度對沖擊響應的影響規律。

現有瞬態能量響應預示研究大多是基于TSEA方法開展的,預示結構時域沖擊能量響應的精度較低。本文基于TLEA理論,給出一種機械結構時域沖擊響應高精度預示方法。首先,介紹TLEA方法中控制方程、算法優勢等理論基礎;隨后,以雙振子模型和L型折板結構為例開展瞬態沖擊載荷下系統的振動響應預示研究,分析對比TSEA方法和TLEA方法的預示結果,研究耦合強度對響應峰值時間和峰值能量的影響。

1 理論基礎

TLEA方法是SEA方法在時域響應分析中的延伸,TLEA方法中關于能量流動的基本假定為:

e(s,t)=e+(s,t)+e-(s,t)

(1)

I(s,t)=I+(s,t)+I-(s,t)

(2)

I(s,t)=I+(s,t)+I-(s,t)

(3)

式中:e+(s,t) 和e-(s,t)分別為向左和向右的能量密度;I+(s,t) 和I-(s,t)為輸入和輸出的能量流;c為能量流動速度,在均勻阻尼的介質中等于波傳播的速度。

對于非受載區域,其局部功率流平衡方程可表示為:

(4)

式中:Pd為阻尼所耗散的功率,其能量耗散量為:

Pd=ηωe(s,t)

(5)

式中:η為阻尼損耗因子。

將式(1)～式(3)和式(5)代入式(4)中可得:

(6)

將式 (4)和式 (6)分別對時間和空間進行微分可得:

(7)

(8)

用式 (7)減去式 (8)可得:

(9)

將?I(s,t)/?s的表達式代入式 (9)可得TLEA方法中的能量密度平衡方程:

(ηω)2e(s,t)=0

(10)

式 (10)中給出的是能量密度的平衡方程,但SEA方法中大多采用能量對子系統的響應進行表征。因此,需要將式 (10)對子系統的體積進行積分,進而可得:

(11)

進而,可得子系統i的功率流平衡方程為:

(12)

對于SEA系統而言,其功率流平衡方程可表示為二階常微分方程:

(13)

對于由2個子系統組成的結構而言,其功率流平衡方程為:

(14)

(15)

對于脈沖激勵作用下的系統而言,初始瞬態載荷E1(0)作用在子系統1上,而子系統2的能量、子系統1和子系統2的外部能量均為0。此時,子系統1和子系統2的瞬態能量響應表達式分別為:

(16)

(17)

進而,子系統2的瞬態能量變化率為:

(18)

當子系統2的能量變化率為0時,子系統2的能量達到峰值,則峰值時間為:

(19)

統計能量分析理論的基本假設中要求子系統間耦合強度為弱耦合。對于弱耦合工況下的結構而言,有η12/η1<<1。因此,由Taylor級數展開可得峰值時間的近似式為:

(20)

2 數值仿真

2.1 雙振子模型

圖1 雙振子模型

2.1.1 精度驗證

首先,對比TSEA方法和TLEA方法的預示結果,計算結果如圖2所示。由圖2可知,TLEA方法預示結果表明子系統1和子系統2的能量響應均呈現出周期性震蕩的變化規律,而TSEA方法的預示結果在達到峰值后快速下降。這表明沖擊載荷作用下各子系統的能量傳播包括帶有振蕩特征的波動過程,這也符合結構振動特性的變化規律。子系統1和子系統2交替達到振動響應的峰值。由于結構阻尼的存在,子系統1和子系統2的能量快速衰減。此外,TSEA計算得到的峰值時間要早于TLEA方法,2種方法計算得到的峰值能量也存在一定的差異。

圖2 子系統的瞬態能量響應

2.1.2 耦合強度的影響規律

峰值時間和峰值能量是表征瞬態沖擊能量響應的重要參數。耦合強度是統計能量分析中的一個重要參數,用于表征子系統間的能量傳遞效率。不同耦合強度下子系統2的峰值時間和峰值能量如圖3所示。計算結果表明,TLEA方法能夠較好地預示不同耦合強度下子系統2的峰值時間和峰值能量,而TSEA方法的計算結果與精確解有較大差異。在弱耦合工況(耦合強度小于0.1)的條件下,TSEA方法預示得到的峰值時間約為TLEA方法的一半。隨著耦合強度的增加,瞬態能量響應的峰值時間逐漸下降,而其峰值能量逐漸上升,這是因為耦合強度的增加導致了子系統間能量交換的增加和子系統能量耗散的降低。

圖3 耦合強度對子系統瞬態能量響應的影響

2.2 L型折板模型

本節以如圖4所示的L型折板結構為例開展研究,該模型是統計能量分析理論研究中的常用模型。對板1施加均布脈沖激勵,使其具有單位初始能量。將結構材料設置為TA9鈦合金,分析頻率設置為2 000 rad/s。系統的統計能量分析參數可由理論分析或商用軟件計算獲得。

圖4 L型折板

2.2.1 TSEA和TLEA的對比

為驗證分析方法的準確性,本節采用有限元(FEM)方法對TSEA和TLEA方法進行對比驗證。基于TSEA方法、TLEA方法和FEM方法預示得到的子系統2瞬態能量響應如圖5所示。由圖5所示的計算結果表明,TLEA方法分析結果與FEM方法的分析結果具有較好的一致性,能夠較好地捕捉能量響應的峰值時間和峰值能量,而TSEA方法的預示偏差較大。

圖5 板2子系統的瞬態能量響應

2.2.2 耦合強度的影響規律

不同耦合強度下板2子系統的峰值時間和峰值能量如圖6所示。在耦合強度較低的工況下,子系統2能量響應的峰值時間較小、峰值能量較低。隨著耦合強度的增加,子系統能量響應的峰值時間逐漸下降,而板2子系統能量響應的峰值能量逐漸上升。這是因為耦合強度的增加導致了子系統間能量交換的增加以及子系統能量耗散的降低。此外,TSEA計算得到的峰值時間要早于TLEA方法,2種方法計算得到的峰值能量也存在一定的差異。

圖6 耦合強度對子系統瞬態能量響應的影響

3 結束語

機械結構在服役過程中不可避免地面臨沖擊載荷的作用,給結構的安全性能帶來了極大危害。本文針對寬頻沖擊載荷下結構的瞬態響應預示問題,給出了一種復雜結構瞬態能量響應的高精度預示方法。以兩自由度系統和L型折板結構為例開展了數值分析,對比不同耦合強度工況下的瞬態能量響應預示結果,研究了耦合強度對峰值時間和峰值能量的影響規律。研究結果表明:TLEA方法能夠精確地預示不同耦合強度下結構的瞬態能量響應。子系統沖擊響應的峰值時間和峰值能量均隨著耦合強度增加而降低。