聚焦數學思維品質提升的教學創新策略

王艷鳳

蘇聯著名數學教育家斯托利爾在《數學教育學》一書中指出：“數學教學是數學思維活動的教學。”他在列舉數學教育目的時將發展學生的數學思維放在第一位。而要在學校中開展數學思維訓練活動，首先要了解思維和思維品質的特點以及數學思維品質的特點。對此，思維科學研究表明：思維的本質是人的意識對客觀事物的本質屬性和內部規律的概括和間接反映。思維品質主要表現為思維的廣闊性、批判性、深刻性、靈活性、敏捷性等方面，它是衡量主體的思維發展水平的重要標志。數學思維是人腦和數學對象交互作用并按照一般思維規律認識數學內容的過程與活動，而數學思維品質則是主體的數學思維活動對客觀事物數學關系的理解和掌握的程度或水平。數學思維特點和結構之間的相互關系使數學思維成為一個有機的整體。因此，在具體的數學思維訓練和素材選擇時，要充分考慮不同方面、不同層次、不同角度思維訓練的需要，克服思維障礙，從而達到改善高中學生思維品質、提高思維能力、促進和發展學生數學思維品性的目的。

思維品質提升的教學原則

思維品質提升的教學創新策略的實施離不開課堂教學，除了要遵循一般的教學原則外，根據實踐證實還應該貫徹特殊的原則，才能有效引導學生進行思維訓練活動，實施創新策略，從而培養學生良好的思維品質。

遵循系統訓練原則 系統訓練原則即進行全面系統的思維訓練。訓練要講究系統性，如果單方面訓練思維結構中的某一方面則很難應付復雜的問題，必須有系統地進行。在具體的數學思維訓練中，當然要一個方面一個方面的訓練，只是在不同的問題上應有所側重。例如，像數列的求和問題、不等式的證明等問題比較適合訓練學生思維的靈活性；像求函數的最值問題、不等式的解法等問題比較適合訓練思維的批判性等。但這并不等于，解決這類問題不涉及其他的數學思維品質、思維能力和思維方法。一般來說，具有一定綜合性質的數學問題都可能涉及中學數學思維的各個方面，都適合進行系統的思維訓練。實踐證明，系統地進行數學思維品質訓練思維的廣闊性、批判性、深刻性、靈活性、敏捷性訓練等，能夠達到單獨進行某一方面思維訓練所達不到的高度。

遵循過程訓練原則 數學是思維活動的過程。因此，數學思維訓練尤其應重視充分展現數學的思維過程，即揭示數學知識的形成和發展過程，這樣有利于學生思維品質的形成。在教學實踐中，首先應該注重對解決問題的思維加工過程的分析，并盡可能地揭示出加工的流程及階段。在數學思維的批判性訓練中，通過“錯解”與“正解”思維加工過程的對比分析，總結出各階段成功的一般思維策略、思維方法和規律。其次，思維訓練過程中應有目的地、反復地讓學生體驗自己的思維過程。只有加強對“過程”的自我意識，才能真正改進自己的思維過程，才能有效地調節自己的思維過程，從而提高思維能力和水平。

遵循有效遷移原則 教育心理學認為：學生已學過的知識、技能、方法，對于學習新的知識、技能、方法會產生一種影響和作用，這種影響和作用就是“學習的遷移”。學習遷移是個復雜的心理過程，在學習新知識時，由感知誘發產生聯想，而回憶起舊知識；通過思維活動，再將與新知識相類似的舊知識轉移到新知識中。遷移可分為正遷移和負遷移。正遷移可產生積極的、有利的、促進的作用。負遷移產生的作用是消極的、不利的和干擾的。因此，在思維訓練教學中，教師應運用遷移規律，幫助學生解決新舊知識技能之間的矛盾。例如，在思維的批判性訓練中安排一些由于知識的負遷移而產生錯誤的問題，從而使學生克服負遷移或實現負遷移向正遷移轉化。而在思維的靈活性和廣闊性的訓練中則側重于正遷移在解題中的作用的訓練。只有防止負遷移，促進正遷移實現知識的有效遷移，才能獲得思維訓練的良好效果。

遵循自我反饋調控原則 數學教學過程是一個特殊的系統，這個系統由教師、學生、知識信息的教學方法等基本要素構成。一個系統只有當它有反饋存在，使信息通道構成閉合回路時，這個系統才是可控的。在思維訓練教學中，要依據訓練的教學目標，使“反饋—調控”貫穿于教學始終，這樣才能使教學中的各個環節相互密切配合，協調一致，使教學系統處于最佳的平衡狀態。在思維訓練教學過程中，主要應進行如下兩方面的調控：其一，教師對“教”的調控，即在教學過程中，教師注意及時回收教學活動過程中的反饋信息，調整教學方法和采取必要的補救措施；其二，學生對“學”的調控，學生通過各種反饋信息，對照教學目標，自我糾正偏差，彌補知識缺陷，自我改進學習方法。

高中數學教學的目的之一就在于培養學生的思維能力。實踐證明，培養數學思維品質是形成數學能力的基本條件，培養良好思維品質的途徑是進行相應訓練。因此，結合高中教學的實際，并依據上述中學數學思維訓練的教學原則，數學教師應積極采取拓展問題情境、訓練質疑辨誤、重視變式教學、注重靈活轉化、善用合情推理等思維訓練的教學創新策略來培養學生數學思維品質的廣闊性、批判性、深刻性、靈活性、敏捷性，發展學生良好的思維品性，培養具有科學思維品性的人。

拓展問題情境，提升思維的廣闊性

思維的廣闊性，是指能夠全面而細致地考慮問題。數學思維的廣闊性則指對一個問題能從多方面考慮，對一個對象能從多種角度觀察，對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解，既可以開拓解題思路，鞏固所學知識，又可激發學習的興趣和積極性。在不等式教學中，教師通過拓展問題情境，給學生創造多方面思考問題的機會，引導他們在多種方法中選擇最優方法。例如，教學中兩個數大小關系的比較，通法是讓學生運用作差法或作商法計算，但大部分學生掌握了方法卻懶于計算。對此，教師引導學生根據已知條件進行數學建模，通過糖水濃度、購物優惠等問題激發學生的學習興趣，再采用題組訓練、一題多變、一題多解的方式反思解題思路，加強學生對基礎知識的掌握，激發他們的求新欲望，從而促進思維廣闊性的提升。同時，使學生思維的敏捷性和靈活多變性得到了訓練和發展，邏輯推理、數學運算的素養也得到了促進和發展。

訓練質疑辨誤，提升思維的批判性

思維的批判性，是指能使自己的思維受到已知客觀事物的充分檢驗。數學思維的批判性表現為善于獨立思考、提出問題，能夠及時發現錯誤、糾正錯誤，并在解決數學問題的過程中不斷反思回顧、總結經驗。對此，教師在教學中應善于舉反例，引導對一些容易致誤的數學問題進行分析和思考，從而提高思維的批判性。例如，利用均值不等式求最值是一種常用方法，但學生在解題時往往會忽視正數、定值和相等的條件，出現各種似是而非的錯誤。對此，教師要向學生展示錯解，讓他們討論出錯原因，以此培養批判辨誤意識，確保學得透、印象深、記得牢。此外，培養學生質疑辨誤意識的教學策略還有很多，如在概念教學中的辨析訓練、解題教學中的錯題分析、課堂檢測后的分組互批、分享交流等，都可以促使學生再遇到同類問題便采用批判的眼光去看待，從而不斷提升邏輯推理的數學素養和思維的批判性。

重視變式教學，提升思維的深刻性

思維的深刻性，是指能深入事物的本質里面去考慮問題。數學思維的深刻性，就是在思考數學問題時能夠抓住問題的本質和規律，深入細致地分析和解決問題，而不被表面現象所迷惑。例如，在完成不等式的性質與均值定理的教學后，對于不等式恒成立問題采用變式教學，對數學問題進行不同角度、不同層次、不同情形的變式，從而暴露問題的本質特征，揭示不同知識點的內在聯系。通過變式教學引導學生不為一膚淺問題的解決而知足，而進行深入細致的再考慮，這種層層深入式的解題思想，有助于培養思維的深刻性，也使學生數學學科核心素養的發展具有連續性。

又如，針對含參不等式恒成立、求參數范圍的問題中，教師以含參的二次函數為載體進行變式教學，參數的位置可在常數項、一次項系數、二次項系數或變量取值范圍等位置進行變化。無論是采取分離參數法還是分類討論的方法，在變式問題逐一解決的過程中，學生輕松掌握了不等式恒成立問題需轉化為函數值域（最值）問題的方法，并總結函數值域（最值）的基本求解方法：除了轉化為函數運用其圖像和性質求最值，另一重要方法就是運用均值定理求解。逐一解決問題后，學生可以充分感受到通過變式教學可以使一個問題與有關問題聯系起來，或使問題層層深入，思維不斷深化，從而深入理解知識并掌握其延伸變化，這樣不僅可培養思維的深刻性，也可培養思維的敏捷性。實踐證明，有意識地引導學生進行例題與習題的變式探究，對促使其自覺進行知識體系整理與思路方法歸納極有好處，學生的數學邏輯推理、數學建模、數學運算等學科素養都將得到進一步的發展與提升。

注重靈活轉化，提升思維的靈活性

思維的靈活性，是指一個人的思維活動能夠根據客觀情況的變化而變化。數學思維的靈活性通常表現為：不固執己見，不拘泥于陳舊的解題方法，善于根據題設中的已知條件和問題的具體特征及時提出新的設想和解題方案，能自由而輕易地從一個角度轉向另一個角度，從一種途徑轉向另一種途徑，不受一種固定的思維束縛，善于觀察、善于聯想、善于轉化。首先，觀察是認識事物的最基本的途徑，是了解、發展和解決問題的前提，是聯想和轉化的基礎。善于觀察能夠更快地找到解題的最佳方法。其次，聯想就是由觀察到的問題的具體特征，聯想到相關的數學知識，并獲得迅速的解題方法，包括逆向聯想、類比聯想、相似聯想等。例如，類比矩形的長和寬與其對角線長之間的勾股關系，寫出長方體的長、寬、高與體對角線長之間的關系式；由平面圖形三者之間的度量關系對應得出立體圖形四者之間的度量關系，這種從平面幾何到立體幾何，不同階段知識之間的類比聯想是有效遷移原則的重要表現，更能開闊學生的思路，提高思維的靈活性。最后，轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法。怎么轉化呢？概括講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題。因此，在解決數學問題時，需要先觀察具體特征，再聯想有關問題，最后尋求轉化關系。靈活轉化體現在能從不同角度、不同方向，運用多種方法分析問題；思維過程靈活，能從分析到綜合，從綜合到分析，全面靈活地運用思維方法；善于組合分析，隨著知識的掌握和經驗的積累，有較強重新組合已學知識的能力，從而使自己的數學思維的靈活性得到發展。

善用合情推理，提升思維的敏捷性

思維的敏捷性，是指在短時間內提出解決問題的正確意見，是其他思維品質發展的結果，也是所有優良思維品質的集中體現。所謂數學思維的敏捷性，就是學習者善于在較短時間內果斷而迅速地對思維對象進行識別、判斷、推理、猜想，即合情推理，以至于問題解決。數學思維敏捷性主要表現在數學解題過程中善于走捷徑，超越常規步驟，從而使解題的步驟大大縮減。

扎實的基礎知識和熟練的基本技能的掌握是思維敏捷性的前提，在數學思維品性的廣闊性、批判性、深刻性與靈活性得到提升的基礎上，善用合情推理，思維的敏捷性自然能夠得到提升。思維敏捷性具有直覺的成分，通過直覺思維得到簡潔的解題思路，如有些學生函數理解得透徹對數據比較敏感、有些學生空間想象能力強對圖像比較敏感等。對此，教師應在教學中重視開展限時限量的題群訓練、“一題多解”與“一題多變”的交流分享，引導學生注重自我反思，總結問題的具體特征、運用到的相關知識要素及解題方法，理論與方法的有效結合，自然能夠善于運用合情推理，快速打開解決問題的思路，從而提高思維的敏捷性。

總之，學生的數學思維品質是一個統一整體，各個組成部分相輔相成、彼此滲透、互相促進、互為補充、不可偏廢。在教學過程中，教師應將它們有機地結合起來，通過拓展問題情境、訓練質疑辨誤、重視變式教學等有目的、有計劃地強化學生的思維訓練，培養學生良好的數學思維品質。同時，要積極鼓勵學生注重靈活轉化、善用合情推理不斷積累基本活動經驗，使知識和經驗不斷豐富起來，體會知識和經驗對思維能力的重要影響。這樣，我們才能從真正意義上適應素質教育對數學教學的要求，使學生的思維品質在數學學習中得到充分培養，數學核心素養得到不斷發展，培養出具有科學思維品質的人。