關于課程思政案例設計的思考與實踐

劉敬剛，馬新順

（華北電力大學〔保定〕數理系，河北 保定 071003）

引言

為深入貫徹全國高校思想政治工作會議、全國教育大會精神，提高立德樹人成效和人才培養質量，以習近平新時代中國特色社會主義思想為指導，根據教育部印發的《高等學校課程思政建設指導綱要》，要求充分挖掘課程所蘊含的思政教育元素，實現思政與課程教學深度融合，將價值塑造、知識傳授和能力培養三者融為一體，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應，構建全員全程全方位育人大格局。課程思政元素的挖掘服務于立德樹人根本任務，通過對教學內容的全面梳理，使課程教學回歸知識傳授、價值塑造和能力培養的統一，充分發揮課堂教學在育人中主渠道作用，著力將教書育人落實于課堂教學之中。基于“以學生發展為中心”的教育理念，圍繞課程創新性、高階性、挑戰度建設目標，課堂教學要注重價值引領，實現傳道授業解惑、育人育才的有機統一。

根據課堂教學內容凝練教學案例，定格案例教學內容及思政元素，通過精心的教學設計，在課堂教學過程中潛移默化進行思想價值引領。案例的凝練和教學設計要結合不同學科的課程特點、思維方法和價值理念，以培養學生的科學思維和創新精神為目標，在傳授專業知識和培養能力過程中，達到潤物無聲的育人效果。本文以數學課程“線性代數”為例［1-2］，介紹課程思政教學案例通過基于課程內容的思政元素挖掘和基于思政元素的教學設計，實現“潤思政”的教學效果。

一、貫徹課程思政，豐富授課載體

要使得所有課程都具有思政教育的功能，需要教師在傳授專業知識和培養能力過程中加強思想價值引領作用，將思想價值引領貫穿于教學計劃、課程標準、課程內容、教學評價等主要教學環節，不斷地堅定中國特色社會主義道路自信、理論自信、制度自信、文化自信。授課中將馬克思主義理論與科學研究相互融合，用馬克思主義基本觀點有效地分析教育教學中的各類問題，從而實現思政課程之外的全員、全程、全方位育人新局面。教育的作用在于構建人的知識體系和能力要素，實現立德樹人根本任務，既要培養科學思維，也要鍛煉創新思維。專業課程教師在學生心中具有一定權威性，容易達到親其師信其道的育人效果，因此在課程思政的實施過程中，可以達到較好的育人效果［3］。

“線性代數”是討論代數學中線性關系經典理論的課程，是高等學校工科各專業的一門重要基礎理論課，在計算機技術快速發展和日益普及的今天，該課程的地位與作用更顯得重要。數學理論具有天然的抽象性，數學哲學的基本目標是解釋數學，數學哲學融入數學教育是數學課程進行課程思政建設的必然選擇。每個人生來都是科學家，充滿了探明事物關系的沖動，因此將前人智慧擺在學生面前時，更要給出攝取它的理由。

二、面向授課內容，挖掘思政元素

專業課程的任何一個授課內容，都包含積極向上的思想價值元素。線性代數課程的核心問題是線性方程組，下面圍繞線性方程組及其消元解法，探討如何實現課程內容與價值引領相融合。

需要將授課內容分解為更細小的知識點，對于線性方程組及消元法這個內容，可以分解為下列知識點：線性方程組及其一般形式；同解線性方程組；消元法；增廣矩陣；應用拓展。基于知識點挖掘其中的育人元素，對于上述知識點有下列思政內容。

（一）激發歷史自豪感，增強文化自信

通過介紹我國古代數學典籍《九章算術》《孫子算經》中有關線性方程組及消元法的研究成果，激發學生對中華優秀傳統文化的歷史自豪感和學習興趣，增強文化自信。

（二）抓住問題本質，培養科學思維

運用“本質方法論”，在“學習—實踐—復盤—優化”這四個步驟的反復過程中，深刻理解并有效解決實際問題［4］，具體支撐內容有：（1）線性的本質是“一次”；（2）方程組由其未知量系數和右端常數唯一確定；（3）消元法本質就是對增廣矩陣做初等行變換；（4）方程組的本質可由同解的階梯形方程組和同解的最簡形方程組揭示。在講授過程中啟發學生透過現象看本質的思維方法，并在實踐中把握事物本質和內在規律，抓住主要矛盾，培養科學思維。

（三）運用系統視角，樹立大局意識

在線性方程組求解中，運用系統視角，不再像中學那樣逐個對未知量進行求解，而是通過求出容易求解的同解方程組，實現對所有未知量的求解。這個過程中需要將線性方程組化為同解的階梯形方程組和最簡形方程組，階梯形方程組可以完成對解存在性的判定，而最簡形方程組可以給出方程組的通解。在這個過程中，要用主元將其下方所有的未知量系數都化為零，由此潛移默化培養學生的大局意識。

（四）感悟質量互變，打造科學精神

介紹線性方程組的應用和拓展內容：非線性問題可以局部線性化為線性方程組求解問題，連續問題可以離散化為線性方程組求解問題等。體會化繁為簡，逐步求精，感悟腳踏實地、積少成多的質、量互變過程，打造科學精神。

三、瞄準思政元素，設計教學過程

課堂教學是將立德樹人根本任務落到實處的主陣地，因此必須基于提煉出的思政元素精心進行教學設計，使學生在學習科學知識的同時，體會“四個正確認識”的精髓，即學會用正確的立場、觀點和方法分析問題，把學習、觀察、實踐同思考緊密結合起來，善于把握歷史和時代的發展方向、把握社會的主流和支流、現象和本質，養成歷史思維、辯證思維、系統思維和創新思維。關于線性方程組及其消元解法的課程設計分為四個部分：引例，線性方程組，消元法，小結。具體教學過程如下。

（一）引例

【設計】通過數學典籍《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題引入二元一次方程組，其一可以引起學生的興趣，其二可以讓學生了解中華優秀傳統文化。

【展示】

【板書】引例 我國1 500年前的數學著作《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

解：設雞有x頭，兔有y頭，得

（二）線性方程組

【設計】總結引例給出的二元一次方程組的形式和結構，引導學生抓住其本質寫出線性方程組的一般形式，培養類比、聯想的能力。簡單介紹線性方程組是線性代數課程研究的核心問題，引起學生對線性方程組的重視，抓住學習線性代數課程的主要矛盾。圍繞線性方程組進行討論，可以聯系到線性代數課程的幾乎所有內容。

【板書】線性方程組的一般形式：

（三）消元法

【設計】我國古代數學典籍《九章算術》就出現了消元法，繼續激發學生的民族自豪感。

【講述】我國古代的數學著作《九章算術》就出現了消元法，現在流傳的是魏晉時劉徽為《九章算術》作的注本。

【展示】

【設計】以同解線性方程組的視角用消元法求解引例，聯系并對比中學的消元過程，幫助學生建立大局觀、培養系統思維方法。

【板書】引例

【設計】通過觀察消元法求解過程，發現計算與未知量無關，故引入增廣矩陣，并通過增廣矩陣實現線性方程組的消元求解過程，引導學生抓住求解線性方程組的主要矛盾。

【板書】

——增廣矩陣

結論如下：（1）增廣矩陣和線性方程組一一對應。（2）消元過程，本質上就是對增廣矩陣的行做運算，稱之為增廣矩陣的初等行變換。（3）求解過程規律明顯，從而可以上升為“算法”：a.向下消元結束后所得增廣矩陣，稱為（行）階梯形矩陣（零行在下方，主元〔行非零首元〕列指標隨行指標的增加而嚴格增加）；b.向上消元結束后所得增廣矩陣，稱為（行）最簡形矩陣（行階梯形，主元都是1，主元所在列其他元素全為0）。

【板書】

注意到：（b）——階梯形矩陣，（c）——最簡形矩陣。

【設計】通過練習進行鞏固后，總結線性方程組的一般求解過程，培養學生歸納總結的能力。注意到消元過程中，增廣矩陣首先化為行階梯形矩陣，為了實現目標，主元素要將其下方的所有非零元都變為零，這個事實可以引申為這些變為零的元素具有大局意識、核心意識、看齊意識。

【設計】最后，提出關于解的存在性判定條件等問題，讓學生課下進行思考討論，培養科學探索精神。

【板書】思考討論：（1）有解、無解的條件是什么？（提示：階梯形矩陣有無矛盾方程）（2）有解時，唯一解和多解的條件是什么？（提示：階梯形矩陣非零行和未知量個數的關系）（3）求解過程的規律是否適用于所有線性方程組？

（四）小結

【設計】總結講述的主要內容，強調重點、難點。對線性方程組的應用進行拓展，說明線性方程組的重要性，同時激發學生的探索精神。重點介紹非線性方程（組）的迭代解法，讓學生了解到非線性方程組線性化所得為線性方程組，通過反復求解線性方程組，求得非線性方程組滿足一定精度要求的近似解，即“簡單”的重復生成復雜。由此體會質量互變過程，打造科學精神。

【講述+展示】

本次課主要講授了通過增廣矩陣用消元法求解線性方程組；大量的科學研究和工程應用問題，最終往往歸結為解線性方程組［4］，因此線性方程組的快速準確求解十分重要。

拓展：（1）由消元法設計的求解線性方程組的數值解法（將消元法的求解規律進行總結，得到順序高斯消去算法、列主元高斯消去算法等）在計算數學中占有重要地位。（2）非線性問題求解的思路之一就是局部線性化，所得問題往往是線性方程組求解問題，如非線性方程組求根問題。（3）連續問題求近似解一般通過離散化實現，所得問題一般是線性方程組求解問題，如微分方程邊值問題的數值求解。

四、總結育人成效，找準改進方向

課程思政教學案例需要在設計、實踐、再設計這個反復過程中逐步完善，因此必須對每一版的案例設計進行教學效果總結與教學反思。對于線性方程組及其消元解法課程思政教學案例，經過教學實踐發現：（1）讓學生了解了我國古代數學的發展和成就，掌握了用增廣矩陣實現消元求解線性方程組的方法；（2）激發了學生的歷史自豪感，培養了學生抓住問題本質、運用系統思維解決問題的能力，了解了在復雜問題求解過程中的質量互變規律，從而達到增強文化自信、樹立全局意識、養成科學思維方法和科學精神的目的。（3）線性方程組和增廣矩陣的一一對應關系比較抽象，同時這個關系在求解方法的理解和掌握中十分重要，因此需要通過強化練習使學生能夠較好地掌握這個內容。因此在后續教學中需要有針對性地對該案例進行改進和完善，從而可以更好服務于“線性代數”課程思政大局，服務于高質量完成立德樹人根本任務。

結語

課程思政的案例設計是實現課程育人目標的基礎。課程思政建設過程中，在課程“兩性一度”建設目標基礎上，回歸知識傳授、價值塑造和能力培養的多元統一。在課程思政案例設計的具體過程中，充分運用創新思維，以新思維催生新思路、以新思路謀求新發展、以新發展推動新方法、以新方法解決新問題，實現課程思政案例設計的創新發展，達到以文化人、潤物無聲的育人成效。