設計挑戰性學習任務，讓“素養生長”看得見
——以《三角形的三邊關系》教學為例

2023-12-06 07:28:14林小平

小學教學設計(數學) 2023年11期

文林小平

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中指出：義務教育數學課程應使學生通過數學的學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養。這里的核心素養指的是“三會”，即會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。這就要求數學學習要從僅僅獲得事實性知識向真實生活背景下的應用知識轉變，課堂教學要以素養為導向，以解決問題為核心，以挑戰性學習任務為驅動，設計結構化的活動路徑，讓學生自主尋求數學學習的真正意義，自主建構數學學習的真正價值。

這里的挑戰性學習任務是指教師設計提供給學生進行探究性學習以達成教學目標的問題、活動或習題等。它可以是一個（或幾個）具有結構化的問題，也可以是一項（或幾項）具有挑戰性的實踐活動，還可以是一道（或一組）具有綜合性的習題。挑戰性是學習任務最大的特點，能夠帶動學生展開有目標、有價值、有方法、有能力的有意義學習。那么，如何設計挑戰性學習任務，才能讓“素養生長”看得見呢？下面，筆者以《三角形的三邊關系》教學為例，談談如何運用“尺規作圖”和“兩點之間線段最短”這個基本事實進行挑戰性學習任務的設計。

【教學過程】

一、情境導入，問題驅動

師：星期天，老師和朋友一起去體育中心打羽毛球。來到體育中心大門口，發現去羽毛球場有兩條路。走哪條路最近？你是怎樣想的？

教師把示意圖抽象成“點”和“線”，學生根據“兩點之間線段最短”進行解釋。

師：透過“點”和“線”，我們進一步看到了“形”，“兩點之間線段最短”放在整個三角形中觀察，你又能發現什么？

生：AC+CB＞AB。

師：是的，這樣我們就發現了三角形三條邊之間的一種關系。那三角形的三條邊之間究竟有什么關系呢？我們繼續來研究。

【思考：三角形的三邊關系是三角形特征研究的一個分支。本著“解決真實問題、學有用的數學”的原則，設計具有挑戰性的真實情境任務包裹真實問題，以解決路線問題的方式提煉數學核心問題。這里，將場館抽象成點，路線抽象成線段，從路線選擇引出“兩點之間線段最短”，進而根據這一數學事實引導學生初步發現三角形三條邊之間存在一定的關系，由此提出數學核心問題。這樣設計，有利于學生體會數學與生活的緊密聯系，激發學生持續探究的欲望，同時從點、線、形的視角將學生的學習引到探究三角形三邊關系的“最近發展區”。】

二、探究新知，自主建構

1.操作和體驗，初步感知三角形的三邊關系

（1）初探：三條同樣長的線段能否圍成三角形？

出示例1：

師：研究復雜的問題，先從簡單的開始。三條同樣長的線段，能圍成三角形嗎？請從上面4 條線段中任選一種，用直尺和圓規畫一畫，再與同學交流。

學生操作后組織交流。

師：你選擇的是哪種線段？能不能圍成三角形？是怎樣畫出這個三角形的？

生：我選擇的是3 條4cm 的線段，能圍成三角形。先畫一條4cm 長的線段，以左端點為圓心、4cm 長的線段為半徑畫弧；再以右端點為圓心、4cm 長的線段為半徑畫弧，兩條弧相交于一點；最后將這個交點分別與左右兩個端點相連，就畫成了一個三角形。

師：如果選擇其他長度的線段，也能像這樣畫出三角形嗎？

生：都能。

教師課件演示尺規作圖的方法，結合“找交點”，解釋作圖原理。

師：可以得到什么結論？

生：三條同樣長的線段，都能圍成三角形。

（2）再探：三條不同長度的線段能否圍成三角形？

出示例2：

師：三條不同長度的線段，都能圍成三角形嗎？猜一猜。

生：都能圍成。

生：有的能圍成，有的不能圍成。

師：從4 條線段中任選3 條，有哪些不同的選法？

生：有四種不同的選法：①3、4、5；②3、4、8；③3、5、8；④4、5、8。

出示活動要求，學生操作。

展示尺規作圖結果，組織匯報交流，重點說一說為什么能圍成或不能圍成三角形。

生：①和④能圍成。第①種，3cm 和4cm 加起來超過5cm，兩條弧有交點，能圍成三角形，可以用關系式3＋4＞5 表示。第④種，4cm 和5cm 加起來超過8cm，兩條弧也有交點，能圍成三角形，可以用關系式4＋5＞8 表示。

生：②和③不能圍成。第②種3cm、4cm 的線段太短了，兩條弧沒有交點，這三條線段不能首尾相接圍成三角形，關系式是3＋4＜8。第③種3cm、5cm 的線段也短了一點，兩條弧的交點剛好在8cm 的線段上，把上面兩條線段連接起來，剛好與下面的線段重合，也不能圍成三角形，關系式是3＋5＝8。

2.抽象和概括，探索發現三角形的三邊關系

師：繼續觀察例2 尺規作圖的結果，能圍成三角形的三條線段有什么共同的特點？小組討論。

生：能圍成的，兩條較短線段長度的和大于最長線段。不能圍成的，兩條較短線段長度的和小于或等于最長線段。

師：（出示例1 中圍成的等邊三角形）這里沒有“較短線段”和“最長線段”，符合我們發現的結論嗎？

生：符合。

師：再看看能圍成的①和④，它們符合“任意兩條線段長度的和都大于第三條線段”這個結論嗎？

生：符合。第①種可以得到三個關系式3＋4＞5、3＋5＞4、4＋5＞3。第④種可以得到三個關系式4＋5＞8、4＋8＞5、5＋8＞4，兩種都符合“任意兩條線段長度的和都大于第三條線段”。

師：大家從一種關系看到了另外兩種關系，真厲害！通過研究，我們發現“兩條較短線段長度的和大于最長線段”其實就是“任意兩條線段長度的和都大于第三條線段”。

師：再來看看不能圍成的情況(出示②和③)，你們發現了什么？討論后交流。

生：第②種，雖然3＋8＞4、4＋8＞3，但3＋4＜8。第③種，雖然3＋8＞5、5＋8＞3，但3＋5＝8。我們發現，只要不是“任意兩條線段長度的和大于第三條線段”的，都不能圍成三角形。

師：是的。這些線段圍成三角形后，就成為了三角形的邊。那三角形的三條邊之間有什么關系？

生：三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。

3.想象和推理，加深理解三角形的三邊關系

師：是不是所有三角形三條邊之間都存在這樣的關系呢？我們繼續來研究。

教師操作幾何畫板動態演示可任意變化的三角形，學生觀察三角形三邊長度的變化，同時通過舉例、估算、驗證等方法判斷得出三角形三邊關系始終不變。

師：（出示課始的問題情境）上課一開始，根據兩點之間線段最短，我們已經發現了三角形三條邊之間的一種關系AC＋CB＞AB。如果換兩個點進行觀察，你還能發現什么？

生：AB＋BC＞AC、BA＋AC＞BC。

師：觀察這三種關系，你發現了什么？

生：就是“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”。

【思考：建構主義教學理論強調：學習者的學習興趣和動機要以探索問題來驅動和維持。因此學生的學習活動須與任務或問題相結合。探究新知講究層次性，通過提出挑戰性問題、設置結構化任務、開展關聯性活動、進行想象和推理，讓學生在知情連續、意義關聯、螺旋進階的學習過程中感悟尺規作圖的原理，提高觀察、操作和抽象概括的能力，發展推理意識和幾何直觀。第一層次，通過感知和體驗、初探和再探，引導學生初步感知能圍成三角形的三條線段需要滿足一定的條件。第二層次，通過抽象和概括，經歷“一式”到“三式”，引導學生充分感悟“任意”的含義，發現三角形的三邊關系。第三層次，通過想象和推理，引導學生理解三角形的形狀和大小發生變化時，三邊關系始終不變，并能根據“兩點之間線段最短”的基本事實，聯系舊知完整推理出三角形的三邊關系。這樣設計，使得活動模塊化、知識系統化、思維結構化，彰顯了結構化活動任務的整體性、關聯性、生長性和有效性。】

三、應用內化，拓展提升

1.基礎性練習

學生根據數據判斷、說理，想象尺規作圖結果并進行驗證。

師：有沒有發現快速判斷的方法？

生：只要兩條較短線段之和大于最長線段就能圍成三角形。第3 組線段，2＋5＞6，能圍成三角形。第1 組線段，2＋4＝6，不能圍成三角形。第2 組線段，2＋2＜5，不能圍成三角形。

師：觀察第2 組線段，如果改變其中一條線段的長度，使它們能圍成一個等腰三角形，可以怎么變？

生：可以把5cm 的線段變成3cm，也可以把其中的一條2cm 變成5cm。

師：把5cm 的線段變成3cm，這個方法是把5cm 的線段變短。除了變成3cm，還能變成幾厘米？

生：還能把5cm 變成1cm、1.2cm 等等。只要是符合三邊關系的整數、小數、分數都可以。

師：符合這樣條件的等腰三角形有多少種？

生：無數種。

2.拓展性練習

師：剛才的問題難不倒大家，下面來挑戰更復雜的問題。（課件出示）

師：誰來選一選？

生：我選6cm。如果選3cm，3＋8＜12，不能圍成三角形。如果選20cm，12＋8=20，不能圍成三角形。如果選25cm，12＋8＜25，也不能圍成三角形。

師：思考得很全面！除了6cm，第三條邊還可以是多長？

生：我覺得大于4cm，小于20cm 的長度都可以。

師：很有想法！我們通過圖形來驗證一下。如果設第三條邊是xcm，想一想，最短是怎樣的情況？最長呢？（演示動態圖驗證）

生：最短要大于4cm，最長要小于20cm。這個方法可以用來確定第三條邊的取值范圍。

師：真會思考！下面老師把題目變一變，你還能確定這兩條邊的長度嗎？（課件出示，學生分組討論后交流）（3）三角形一條邊的長為12cm，其余兩條邊的長度和是14cm。這兩條邊的長度分別可以是（）cm 和（）cm。

生：11cm 和 3cm；10cm 和4cm；9cm 和5cm；8cm 和6cm；7cm和7cm。除了整數，還可以是符合條件范圍內的小數或分數，有無數種可能。

師：其中隱藏著什么規律呢？我們繼續來探究。（結合學生想象，教師用幾何畫板動態演示尺規作圖結果）

師：如果把這些三角形的第三個頂點都連起來，會是一個怎樣的圖形？

生：橢圓。

師：聰明的木工師傅就是運用這個知識畫出橢圓的，我們來欣賞。（播放視頻）

生：數學真是太神奇了！

【思考：練習任務承載著鞏固知識、熟練技能、積累基本數學活動經驗、感悟數學思想方法、提升學習力的功能，更承載著學科育人的功能。因此，教師要精心設計練習任務，讓素養生長。第一題設計了基礎性練習任務，重點體現“判斷和解釋”。練習增加了想象尺規作圖的要求，通過數形結合，幫助學生加深理解三角形的三邊關系。第二題設計了拓展性練習任務，重點體現“深化和延伸”。首先通過選擇正確答案、表述思考過程、尺規作圖驗證，深化理解三角形第三條邊的取值范圍。接著通過變一變，引導學生從整數范圍拓展至小數范圍，進而想象尺規作圖結果并連點成線形成橢圓，最后觀看木工畫橢圓視頻，從中滲透軌跡思想，發展幾何直觀，鏈接生活實際，感悟數學神奇，獲得意義建構。】

四、回顧總結，整體聯系

師：回顧三角形三邊關系的研究過程，想想是怎樣研究的？你有哪些收獲？

生：我知道了三角形任意兩邊長度之和大于第三邊。

生：研究時，我們經歷了猜想、實驗、分析、推理等探究的過程。今后我們在研究類似問題時，可以采用這樣的方法。

生：我覺得用尺規作圖畫三角形，更能深刻理解三角形的三邊關系。

師：如果把這節課學習的知識放在整個三角形知識中，會是什么關系呢？猜一猜，今后還會學習什么呢？

根據學生的回答，逐步整理并形成樹形圖。