《鐵鏈的長度》教學設(shè)計

文 高暢

【教學內(nèi)容】

北京版六年級上冊“數(shù)學百花園”。

【教學過程】

一、適當調(diào)節(jié)，輕松引入

視頻播放飛奪瀘定橋片段，紅色教育進課堂，引出課題。

師：飛奪瀘定橋不僅打開了紅軍長征的通道，還譜寫了世界史上的戰(zhàn)爭奇跡。這場戰(zhàn)役之所以這樣慘烈，是因為它是在十三根鐵鏈上完成的。你們看出來鐵鏈是怎樣連接而成的嗎？用手比一比，就是由無數(shù)個鐵環(huán)這樣環(huán)環(huán)相扣。今天這節(jié)課我們就來一起研究鐵鏈的長度。（板書課題）

二、創(chuàng)設(shè)情境，明確目標

（一）理解題意，揭示內(nèi)容

師：這是其中一個鐵環(huán)，通過觀察知道了什么，還能想到什么？

預設(shè)：外直徑是10 厘米，內(nèi)直徑是8 厘米，環(huán)寬是1 厘米。

評價：同學們善于觀察，描述得非常準確，挖掘出了隱藏的環(huán)寬。

（二）合理估算

過渡：那么100 個這樣的鐵環(huán)連接而成的鐵鏈有多長呢？

師：最長不會超過多少厘米？

預設(shè)：1000 厘米。

評價：你的空間感真好！

師：最短也不會少于多少厘米？

預設(shè)：800 厘米。

評價：分析得合情合理。

【設(shè)計意圖：在估一估的過程中，培養(yǎng)學生的估算意識，能提高學生判斷和選擇的能力。對鐵鏈長度的空間感、數(shù)感有整體感悟。在后面解決鐵鏈長度的時候做到心中有數(shù)，便于自我反思規(guī)律結(jié)果的正確與否。】

三、團隊學習，自主探究

（一）確定研究方法

師：那么100 個這樣的鐵環(huán)連接而成的鐵鏈有多長呢？你打算怎么解決？

預設(shè)：從簡單的開始研究。

引導：你和偉大的數(shù)學家華羅庚爺爺想到了一起，他說在解決數(shù)學難題時，我們要學會知難而“退”，退到最簡單而又不失關(guān)鍵的地方。“退”就是從簡單的開始研究，這樣一來就化繁為簡了。那我們從幾個研究呢？

預設(shè)：從2 個開始研究。

評價：簡單而又不失關(guān)鍵。

【設(shè)計意圖：從簡單關(guān)鍵處思考是化繁為簡思想的本質(zhì)，借用華羅庚的話引出這一數(shù)學方法，能提高學生對化繁為簡思想的接受度，產(chǎn)生與名家數(shù)學思想共鳴的自豪感。給學生提供了一種解決探索規(guī)律問題的方向和策略，激發(fā)學生探索規(guī)律的興趣和信心。】

（二）探究2 個圓環(huán)

師：現(xiàn)在形成鐵鏈了嗎？此時的長度？（動畫演示）現(xiàn)在呢？此時鐵鏈的長度是多少？請用手中學具，以小組為單位，研究一下2 個鐵環(huán)連的鐵鏈長度是多少。

1.交流展示

預設(shè)：

（1）（假設(shè)法）我們組得到的是18 厘米，假設(shè)2 個鐵環(huán)是分開的，那總長度也就是2 個10，減去重合的2 厘米，即2 個環(huán)寬，結(jié)果為18 厘米。（10×2-2）

評價：太喜歡他們的表達了，能邊指邊說，他們口中的這2 個環(huán)寬也可以說成是一個環(huán)扣。

（2）（分類1）從中間切開，第一個鐵環(huán)少了1 厘米，第二個也少了1 厘米，就得到2 個9，所以是18 厘米。（10+8）

評價：用拆分的思想從環(huán)扣中間切開，很新穎。

（3）（分類2）第一個圓環(huán)10厘米，剩下的部分是8 厘米。

評價：特別喜歡同學們在不斷地深入思考中求異、創(chuàng)新。

（4）（分類3）2 個鐵環(huán)的內(nèi)直徑連在一起8×2=16 厘米，再加上2 個環(huán)環(huán)寬1×2=2 厘米，共18 厘米。

評價：他們能從別人的方法當中得到啟發(fā)，真會傾聽和思考。

2.總結(jié)歸納

師：太了不起了！簡單的2 個鐵環(huán)，大家想到了這么多種方法。接下來，咱們整體回顧一下這幾種方法，請看大屏幕。

總結(jié)：第一種方法是假設(shè)2個鐵環(huán)分開，這樣總長度就是10×2，也就是2 個外直徑的和，減2個環(huán)寬也可以說成是減去一個環(huán)扣。所以這種方法可以簡單概括為“2 個外直徑-一個環(huán)扣”。

總結(jié)：這種方法中10 就是鐵環(huán)的外直徑，8 表示的是剩下的長度。所以就是“一個外直徑+8”。

總結(jié)：這個方法中的2 個8其實就是2 個內(nèi)直徑，還剩下兩邊的環(huán)寬，所以是“8×2+2”。

總結(jié)：這種方法就是把環(huán)扣從中間切開，讓左右變成了相等的兩部分。

【設(shè)計意圖：借助手、紙質(zhì)圓環(huán)、電腦動態(tài)顯示等一系列學具和演示，將2 個環(huán)相扣的問題幾何直觀化。目的是讓學生回到圖中找依據(jù)，讓直觀學具和動態(tài)演示成為學生建構(gòu)理解鐵鏈連接處特點的有力抓手，幫助學生觀察、理解環(huán)扣的結(jié)構(gòu)特點。回顧學生觀察結(jié)果，總結(jié)多種觀察方法，能夠啟迪學生思路，拓展學生思維，將感性思維理性化、結(jié)構(gòu)化，為下面解決鐵鏈問題建模歸納做鋪墊。】

（三）合作探究多個圓環(huán)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1. 小組合作研究3、4、5……100 個圓環(huán)

引導：研究完2 個接下來怎么辦？（研究3 個）一直研究下去嗎？（發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后就不用研究了）請大家看合作要求：

（1）小組內(nèi)快速從四種方法中選一種，把算式寫在《報告單》中。

（2）繼續(xù)用你們選的這種方法，試著研究3 個、4 個……

（3）結(jié)合標注和算式，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

（4）發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，計算100 個鐵環(huán)連接成的鐵鏈的長度。

師：哪個組想分享發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？是怎樣發(fā)現(xiàn)的？給大家講講這個算式的意思。

預設(shè)1：3 個鐵環(huán)有2 個連接處，1 個連接處少2 厘米，一共少4 厘米，30－4=26（厘米）；4 個鐵環(huán)是40 厘米，連起來后有3 個連接處，每個連接處少2 厘米，則40-2×3=34（厘米）。結(jié)論是幾個鐵環(huán)鐵鏈的長度為10n-2（n-1）。

評價：有理有據(jù)，條理清晰。就是n 個外直徑-（n-1）環(huán)扣。

預設(shè)2：3 個鐵環(huán)：還是把第一個當標準，也就是10 加上2 個8，10＋8＋8=26（厘米）；4 個鐵環(huán)：同理，1 個鐵環(huán)10 厘米再加上3 個8是10＋8×3。規(guī)律是10+8（n-1）。

評價：語言真準確，把第一個當標準這樣分類就方便觀察了。

總結(jié)：這種規(guī)律可以概括為1個外直徑+8（n-1），把第一當標準。

預設(shè)3：兩邊都是環(huán)寬，再加上中間的8 厘米就是鐵環(huán)的長度了1＋8×n+1。

預設(shè)4：3 個鐵環(huán)：兩邊的鐵環(huán)是9 厘米，中間的只剩下內(nèi)直徑8 厘米，9+8+9=26（厘米）；4 個鐵環(huán)：兩邊的是9 厘米，中間2 個是8 厘米，9＋8＋8＋9=34（厘米）；100 個鐵環(huán)：9＋8×98＋9=802（厘米）。規(guī)律是9+8（n-2）+9。

總結(jié)：你最喜歡哪一種，為什么？你最容易理解的就是最適合你的。

【設(shè)計意圖：化繁為簡、層層深入地去探究，產(chǎn)生思維的碰撞，在合作的過程中逐漸抽絲剝繭總結(jié)出規(guī)律，并應用規(guī)律順利解決問題，目的是讓學生真正經(jīng)歷化繁為簡的過程，積累探索規(guī)律的經(jīng)驗，感悟化繁為簡方法的優(yōu)點。而多種方法的交流，發(fā)展了學生的數(shù)學推理、分析、表達能力，更能拓寬學生思維，提高學生解決問題的靈活性，發(fā)展創(chuàng)新個性化數(shù)學思維，讓學生在解決問題的過程中深刻感悟，解決同一個問題的多種策略。】

2.回顧過程，總結(jié)方法

師：回顧研究過程，我們怎樣解決鐵鏈長度這個問題的？

生：利用化繁為簡的方法，從最簡單的開始，通過對2 個、3 個、4 個鐵環(huán)相連的圖形進行觀察、分析、推理，最終歸納出了規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題。

師：你覺得今天的學習對以后解決復雜問題有什么幫助？

生：遇到難題別著急，先從簡單的開始研究。

總結(jié)：運用這些學習方法可以幫助我們解決很多問題，比如擺小棒問題、圖形遞增問題、曲線累加問題、桌椅問題……

【本文為“第十五屆全國小學教學特色設(shè)計論文大賽”獲獎作品】