整合問題情境凸顯思維印記
——《集合（重疊問題）》教學與思考（一）

文|張小麗

【教學內容】

人教版三年級上冊第104、105 頁。

【課前思考】

解讀教材：編者想體現的意圖是，面對需要解決的問題“參加這兩項比賽的共有多少人？”，學生的不同答案有可能引發“沖突”。教師抓住這一“沖突”，追問“你能確定有17 人嗎？”“你能證明為什么不是17 人嗎？”，以此來激發學生的探究欲望、推動深度研究。然而，從筆者多年教學該課的經驗來看，學生對于“先一一列舉出參加兩項比賽的學生姓名，再把重復出現的姓名連起來，最后介紹韋恩圖”這樣的“三部曲”并不感興趣。因為這樣的教學更多的是“教師要學生探究”，而非源自學生內心的“我要探究”，缺乏引發深度學習的條件——挑戰性。基于以上分析，本課將利用學生原有的認知經驗，優化問題情境設置，讓學生在情境中產生疑惑，激活熱情，引發思維，使學生的思維過程真實可見。

【教學過程】

一、激趣導入

師：一年一度的校園足球節要開始了，下面是各班參加比賽的人數要求。

師：根據要求，每班需要派幾人參加比賽？

生：需要10 人參加比賽，因為4＋6＝10（人）。

師：可三（1）班只派出了8 人參加比賽，這又是怎么回事呢？

【思考：教師以學生熟悉的足球節情境引入，在參賽學生的人數上打破了學生的思維定勢，引發了認知沖突。這樣的導入，既能活躍課堂氣氛，激活學生已有的生活經驗，又能激發學生探究的欲望。】

二、探究新知

1.聚焦問題，引出“重疊”

師：根據要求需要派10 人參加比賽，為什么三（1）班只派了8人呢？

生：會不會有兩人受傷棄權了？

生：受傷了肯定有替補的，否則白白浪費了名額，太可惜了。

生：也有可能是顛球和繞樁的同學有2 人重復了，這2 人既顛球又繞樁。

生：是的，我的想法與他一樣。

師：看來，同學們都想到了有2 人既要參加顛球比賽，又要參加繞樁比賽，所以三（1）班只需要派8 人參加足球節。那么，你能不能用自己喜歡的方法把這種含有重疊部分的情況清楚地表示出來呢？

【思考：概念的學習不是簡單、機械的傳遞過程。在師生對話中，揭示矛盾的“真相”，將“只派了8 人”的原因鎖定在“重疊問題”上，并開啟“尋證”之旅。】

2.多元表征，畫出“重疊”

（1）學生用自己喜歡的方式獨立完成作品。

（2）教師在學生的操作活動后，收集學生的作品并反饋交流。

作品1 學生：我是把4 個圓形兩個兩個連起來的。

師：連起來表示什么意思呢？

作品1 學生：表示他們既參加顛球又參加繞樁。

作品2 學生：圈起來的4 個圓形表示他們既參加顛球又參加繞樁，不過只能算2 個圓形。

作品3 學生：我和第二位同學的想法差不多。我用“足球”和“樁”的示意圖代表參賽隊員，一個方格代表1 個人。其中有2 個格子既有足球又有樁，只能算2 個人。

作品4 學生：我用小人來代表，其中中間2 個小人既顛球又繞樁，這樣一共有8 人。

作品5 學生：這里2 個圓相交的部分就是重疊部分，表示這2個同學既參加顛球又參加繞樁。

作品6 學生：我直接用數字來代表，中間的數字2 表示這2個同學既參加顛球又參加繞樁，所以我畫了一個箭頭。

師：同學們真能干，不僅用自己喜歡的方法把重疊部分表示出來，還能清楚地向大家解釋圖中的意思。

【思考：如何走進學生的“最近發展區”，使不同水平的學生都主動參與，產生豐富的教學資源呢？這就需要教師舍得花時間，讓學生通過自己喜歡的方法畫出“重疊”，從生活化到數學化，初步建構“集合”的數學模型。】

3.迭代表征，理解“重疊”

（1）出示韋恩圖。

師：數學家也有一種表示方法。這幅圖是數學家韋恩最先使用的，所以叫韋恩圖。與上面的作品比一比，看和誰的比較相似？

生：和5 號同學的作品很相似。

師：你真是火眼金睛。5 號同學的韋恩圖內用圓形來表示參賽人數，而這里直接用數來表示。那你們還能看懂這張韋恩圖嗎？

生：左邊這個完整的圈表示參加顛球比賽的人數，右邊這個完整的圈表示參加繞樁的人數，而中間這個重疊部分則表示兩個比賽都參加的人數。

師：你不僅觀察得仔細，表達得也非常清晰。這幅圖上還隱藏著兩個信息，能找到嗎？

生：左邊這個月牙形的部分表示只參加顛球比賽的人數。

師：那哪一部分表示只參加繞樁的人數？可以用手比劃一下。

（2）列出算式。

師：接下來，就請同學們利用找到的這些信息算出參加比賽的人數吧。

（3）全班交流方法。

生1：我的算式是4＋6－2＝8（人），表示參加顛球比賽的人數加上參加繞樁比賽的人數再減去既參加顛球比賽又參加繞樁比賽的人數。

生2：我的算式是2＋4＋2＝8（人），把只參加顛球比賽的人數和只參加繞樁比賽的人數加起來，再加上既參加顛球比賽又參加繞樁比賽的人數。

生3：我的算式是（4－2）＋6＝8（人），把只參加顛球比賽的人數和參加繞樁比賽的人數加起來。

生4：我的方法和上面的同學差不多，算式是4＋（6－2）＝8（人），是把參加顛球比賽的人數和只參加繞樁比賽的人數加起來。

師：為了讓大家看得更清楚，張老師把同學們介紹的幾種方法羅列出來了。大家看，雖然這四道算式各不相同，但是都解決了三（1）班同學參加兩種比賽的人數。剛才同學們不僅列出了算式，還能清楚地介紹算式中每步表示的含義，真不簡單。

【思考：教師鼓勵學生從不同角度觀察韋恩圖，提取不同集合的元素信息，讓學生用計算解決參賽人數的問題。學生列出了四種不同算式，有基本的方法“4＋6－2”，也有把韋恩圖分解成沒有交集的多個集合的方法。學生思維的延展性得到訓練，同時數形結合思想、集合思想得到進一步滲透。】

4.情境拓展，內化“重疊”

（1）拓展情境。

師：想一想，如果條件允許，三（1）班還可以派幾人參加比賽，也符合4 人顛球、6 人繞樁的參賽要求？請你分別用韋恩圖及相應的算式表示出來。

（2）學生獨立思考并反饋。

生：沒有重復時，算式是4＋6＝10（人）；重復1 人時，算式是4＋6－1＝9（人）；重復3 人時，算式是4＋6－3＝7（人）；重復4 人時，算式是4＋6－4＝6（人）。

師：有沒有可能是重復5 人呢？

生：不可能，因為參加顛球比賽的一共只有4 人。

（3）總結梳理。

兩個比賽共需要10 人參賽，可以有五種不同的參賽情況。不重復時，兩個圈是分開的，且此時參賽總人數最多為10 人；若有重復，兩個圈是交叉的：重復人數最多時，大圈完全包含小圈，且此時總人數最少，只需要6 人參賽。

【思考：引導學生總結發現“不重疊問題”和“重疊問題”的解題區別。不重疊問題的解題策略是“幾部分直接相加”，重疊問題的解題策略是“兩部分相加再減去重復部分或分類連加等”。】

三、鞏固提升

1.出示題目

三個小朋友比賽看誰寫出帶“春”字的成語多。小剛寫出了15個，小佳寫出了8 個，小紅寫出了10 個。小佳寫出的8 個成語小剛都寫出來了，小紅寫出的成語中有5 個小剛也寫出來了。小剛和小佳一共寫出多少個成語？小剛和小紅一共寫出多少個成語？

2.學生嘗試解決

3.講清解題思路

師：小剛和小佳一共寫出多少個成語？

生：要解決這個問題，首先需要找到和小剛、小佳相關的信息，分別是“小剛寫出了15 個”“小佳寫出了8 個”“小佳寫出的8 個成語小剛都寫出來了”。從中可以看出，小佳和小剛有8 個成語是重復的，并且小佳寫的8 個成語都包含在了小剛寫出的成語里。因此算式是：15＋8－8＝15（個），所以小剛和小佳一共寫出了15 個成語。

師：那小剛和小紅一共寫出多少個成語呢？

生：從“小紅寫出的成語中有5個小剛也寫出來了”這句話中可以知道小紅和小剛有5 個成語是重復的。算式是10＋15－5＝20（個）。

師：同學們分析得很好。當我們遇到信息比較復雜的題目時，一方面要耐心地讀懂信息，也要善于請圖形幫忙，因為用畫圖的方法可以讓復雜問題變得簡單明了。

【思考：應用模型解決生活中的問題，體現了數學與生活的緊密聯系，培養了學生用數學的眼光觀察實際問題的能力和用數學的思維解決實際問題的能力。同時，進一步體會韋恩圖對解決“重疊問題”的價值，再次感受數形結合思想可以將抽象問題直觀化、繁難問題簡潔化。】

四、視野拓展

師：同學們，今天的課堂上我們認識了集合圖。借助集合圖，可以讓我們更直觀地觀察到事物之間的關系，幫助我們更好地解決問題。那么，如下這樣的集合圖你看到過嗎？在解決哪類問題的時候需要用到這個圖呢？同學們可以課后去查閱資料，尋求答案。

【課后感悟】

1.注重聯系實際，素材選取生活化

從導入環節的“意想不到”，到探索新知的情境設置，再到鞏固環節的練習設計等，這些素材的選取都來自于學生身邊發生的事例，讓學生感受到數學和生活的密切聯系，培養了學生用數學的眼光看待實際問題的能力。

2.注重數學思考，情境設計結構化

本節課設計了“根據要求需要派10 人參加比賽，為什么三（1）班只派了8 人呢？”這一問題，這是一個觸及數學本質、觸動思維內核的核心問題。接著，用問題串為導向“逼迫”學生“創造”韋恩圖，“你能不能用自己喜歡的方法把這種含有重疊部分的情況清楚地表示出來呢？”“這幅圖上還隱藏著兩個信息，能找到嗎？”“如果條件允許，三（1）班還可以派幾人參加比賽，也符合4 人顛球、6 人繞樁的參賽要求？”。在解決問題的過程中，激發了學生自主“創造”的欲望，引領學生觸摸到數學知識的本質。

3.注重數學表達，思維過程可視化

通過畫出“重疊”，讓學生真實的想法以不同的表征方式暴露出來，這樣學生之間就能展開對話，學生的作品就能成為學習的資源。在出示“韋恩圖”后，學生利用自己喜歡的方法計算參賽人數并解釋算式的意義，強化了學生對韋恩圖的認知。最后的情境拓展，更深化了學生對韋恩圖的意義理解。“數形結合”很好地把思維媒介和表達方式有機聯系，讓解決問題的過程變得可視化。而這種可視化，正符合三年級學生的年齡特征和思維水平。