具象-形象-抽象：基于CPA模型培育學生建模素養的實踐探索

文 高沖

作為數學的一種基本思想，模型思想是連接數學和外部世界的橋梁，對數學科學以及學生的發展都具有重要意義。數學建模是一種人類認識和改造自然的方法論，是解決數據“爆炸”的有效手段之一。培養小學生的數學建模素養是義務教育階段數學教學的內在要求，也是發展學生數學素養、實現學科育人的重要體現。新加坡數學倡導的CPA（concretpictorial-abstract，具象-形象-抽象）教學法為我們提供了思路和方法，從平面模型到立體建模，用模型賦能素養，在課程與素養之間架設了一座橋梁。

一、體驗式感悟：CPA 模型圖的應用價值

建模是新加坡數學CPA 教學法的核心。從一個具象的蘋果到形象的圖形再到抽象的數字1，學生可以用多種圖形（可以是一條線段、一個方塊，等等）來適應乃至學會形象化或符合化表達。在循序漸進的學習和訓練中，逐漸形成和完善抽象的數學思維能力。

下面是一個用模型圖法求解應用題的實例。

如圖1，如果一把尺子和2 支鉛筆共需140 分，而一把尺子價格又比一支鉛筆多20 分，求一把尺子的價格是多少分？

從模型圖中可以看出，3 個格子=140 分-20 分=120 分，1 個格子=120 分÷3=40 分。

所以一把尺子的價錢=40 分+20 分=60 分。

模型圖法通過思維可視化的方式，更容易幫助學生快速找到實際問題中的數量關系，從而發現解決問題的正確思路（如圖2）。

圖2

模型圖的實質其實就是數形結合的一個具體表現。概括起來說，CPA 模型圖的應用價值體現在以下幾個方面：

1. 圖像化的方式對學生學數學很有幫助

從具象、形象再到抽象，符合學生的認知學習理論。

2. 畫模型圖能夠幫助學生真正地理解題目，讓思維可見

讓學生改變思維方法，學會用圖式法思維解決數學問題，培養學生數學思維的系統性。

3.平常解題時多用模型圖，更利于理解和思考

解決問題時，盡量讓學生堅持畫模型圖，一旦形象化思維變得自然而然的時候，就將內化為一種重要的思維方式，當熟練到即使不畫圖，頭腦中也會產生類似的一種思考模型圖，在遇到更高階的抽象問題時，也會了然于胸。

4. 學好模型圖可以為培養建模素養打下基礎

模型圖將數學拉回到現實生活，通過代數思想形象化，在真實情境中解決真實問題，為培育建模素養打好堅實的基礎。

二、類型化明晰：CPA 模型圖的常見樣態

新加坡小學數學教材的一個主要特點是充滿了“方格”圖，被稱為“模型圖”，這種并不復雜的“模型圖”是建立深層次的數學認知的生動手段。從教學內容設置到教材體現，“模型圖”其實就是CPA 模型的最形象表達。

數學知識的具象-形象-抽象的發展模型，是需要著重強調的課程實施方式。如下圖：

CPA 三角模型

小學低年級要盡量多提供一些動手操作活動發展學生的具體實踐經歷。小學中年級則要進一步發展學生的表象經歷。而到了小學高年級，就要進一步發展學生的抽象概念。對于其中某個具體的數學知識的學習，也應該遵循從動手活動出發到逐漸發展表象經歷，到最后逐漸抽象表達出數學概念的一般模式發展。

從數學概念的認識論出發，CPA 模型在對數學問題的理解中具備媒介的作用。數學概念的認識論指出，數字通過特定的信息體系來標識和編碼信息。這些標志本身并沒有任何價值，因為符號意義的形成必須要通過所感知的客觀物體或者通過在適當的參照環境中形成一種媒介才能完成。而這種媒介又不完全是主觀的或者任意的，為了把符號變成真正的數學符號，和參照對象相互之間聯系的同時，又取決于數學知識在數學概念呈現時的認識環境。

數學概念的認識論模型

認識論的三角模型就代表著一種關系模型，其中，數學思想的價值并不能夠僅僅由某個角“演繹”出來，而是需要在各個“角”間尋找一個平衡點。而符號與現實之間的思想一方面是由關系規則盡可能精確地界定；另一方面，對于現實的定義則又受社會協議影響。基于此，在符號與現實之間的思想建立也就受到了基于規則的概念與社會協商之間的作用。在思想形成過程中的意義創造，有客觀的一面，也有主觀的一面。如果說符號和現實之間形成了同一種數學思想，則必然是一種超越思想的處于符號和現實中間的產生式媒介。

CPA 模型正是數學概念教學中的良好認識工具，可以發揮超越思維，介于符號形式和實物中間的產生式媒介作用。它能潛在地構建數學概念建立所需要的基礎理論。

“模型圖”法是為了數學課堂教學中的問題解決，最直接體現CPA 模型的一種直觀的教學方法。這一教學方法的實質在于充分利用CPA 模型中的“具體化”和“表征”作用來提高對抽象關系的理解能力，進而提高問題解決能力，這恰恰有利于解決小學低年級學生解答應用題困難的現實難題。小學低年級學生解應用題困難的主要原因是不容易把握題目中抽象的數量關系。而“模型圖”教學法，通過數學思維可視化的方法，幫助學生更快地理解題目中的數量關系，從而找到問題解決的正確路徑。

常見的“模型圖”主要有三種類型，即“部分-整體模型”“比較模型”以及“變化模型（也叫之前-之后模型）”。

“部分-整體模型”是為了描述一個總體被分為若干個部分的情況，一般用下圖表示：

如果各部分的數量是已知的，則可以用加法得到整個的數量;如果整體和某個部分的數量是已知的，可以用減法得到剩余部分的數量。

“比較模型”主要是為了說明兩個或幾個量多和少的情況，如下圖所示，有A 和B 兩個量，我們可以利用其中的差（加法的比較）或商（乘法的比較）來進行對比。反之，如果它們之間的差或商是已知的，通過一個已知量也可以算出另一個量。

“變化模型”是一種表示增加或減小后的量和原有數量間的關系，如下圖，有兩個量A 和B，從A 中減去C 并加入到B 中，這樣跟原來數量相比，A 減少了C，而B 則增加了C。

這幾種模型都可以用來解決與分數、百分數、比例等有關的實際問題。

“模型圖”是在學生對部分-整體關系認識的基礎上建立起來的。卡通式的“模型圖”通常在一年級和二年級中使用，通過一些類似實物的圖片，對算術應用題中的信息進行圖形建模。后來，為了增加抽象程度，用一個矩形取代了圖片。從三年級開始，他們就學會了用適當大小的矩形方格來表示問題中的具體信息。這一直觀啟發式的教學方法，一直圍繞在小學五年級和六年級的分數百分數和比例應用題上，成為大多數學生解決稍復雜的實際問題不可或缺的方法。

三、支架式搭建：CPA 模型圖的實施路徑

畫模型圖的方法在解決具體情境中的真實問題時非常有用，借助模型圖，更便于整理題目中的有效信息，通過讓數量關系以數學思維可視化的方式使學生能夠快速地抓住問題中的關聯信息，從而發現解決問題的路徑。

1.創設真實情境，初步感知數學建模思想

數學既來源于日常生活，也服務于日常生活，所以要把現實生活中發生的與數學知識相關的內容及時引入到課堂教學中，并把書本上的知識點和學生日常生活中熟悉的例子進行對接，用情境再現的方式呈現給學生，由此說明數學問題發生的背景。而情境的設計又應與社會的基本現實、社會熱點問題、自然科學以及與數學問題密切相關的各種因素相結合，使學生覺得真實、新穎，以適應他們新奇、好動的心理特點，調動學生學習的積極性，激發已有的知識體驗，讓他們用積累的體驗來體會其中蘊藏的數學現象，進而幫助他們把知識問題抽象為數理現象，認識數學模型的存在。

2.通過組織探究，抽象本質，自主完成模型的建立

通過生活經驗向抽象數學模型有效轉換，是現代數學教學的主要任務所在。但需要指出的是，具體生動的情境問題僅僅給學生數學模型的建立創造了機會，而一旦忽略由具體到抽象的研究過程的組織探究，那就不能稱之為模型。

3.重視模型意識培養，優化方法，提煉建模的流程

數學教學中，不管是概念的形成、規律的發現還是問題的解決，核心問題都在于模型意識的培養，要在不斷對比、感悟中，優化模型圖的方法，提煉數學建模的流程，這也是CPA 模型實踐操作的靈魂所在。

4.通過還原生活，變換場景，擴大模型的空間外延

人的認知過程，是由感性到理性再回到感性這樣一個循環反復、螺旋向上的過程。真實情境中的問題，經過抽象提取后初步建立起具體化的模型，這不是學生認識的結束，還要讓學生將已經建立的數學模型回歸到實際生活中，通過變換生活場景，變化情境，使已形成的模型進一步得到拓展與提升。

CPA 模型圖在數學課堂教學中的應用，是數形結合的一種體現，同時也是學生動手做數學的基本方法，對學生數學建模素養的培養起了關鍵的作用。