求向量最值步履維艱,構隱圓模型大道通天
——談向量最值問題中幾種常見的“隱圓”模型

唐 洵

(福建省福清第三中學)

平面向量的最值與范圍問題是全國高考以及地市質檢中的熱點問題之一,其中有一部分問題,在充分剖析題設條件、合理構建知識聯系后,可以發現其與圓的最值問題息息相關,因此在解題時,若是可以構造“隱圓”模型,便能實現數形結合,使得計算化繁為簡.那么常見的“隱圓”模型有哪些?如何通過向量的條件聯想到“隱圓”模型的構建?下面筆者結合相關例題進行說明,旨在對讀者有所幫助.

模型一、定義圓

平面內到定點(a,b)的距離等于定長r的點的軌跡叫作圓,該定點(a,b)為圓的圓心,定長r為圓的半徑,此時圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2;在向量問題中,若遇到|a|=λ(λ>0)或|a-b|=λ(λ>0)(此時a或b為定向量)等條件時,可以考慮構造此模型,用圓的標準方程、一般方程或參數方程進行解題.

( )

【答案】D

圖1

【例題2】(2022·福州二模)已知平面向量a,b,c均為單位向量,且|a-b|=1,則(a-b)·(b-c)的最大值為

( )

【答案】B

模型二、直徑圓

圓的直徑所對的圓周角為直角,因此當兩個向量相互垂直時,可以選擇一個共同的起點,則該起點在以兩個向量的終點構成的線段為直徑的圓上.在向量問題中,向量a,b的垂直條件體現為=90°,a⊥b,a·b=0,|a|2+|b|2=λ(λ>0)等,另外,以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

( )

【答案】B

圖2

【例題4】(2023·湖北名校聯盟三測)已知平面向量a,b,c滿足|a|=|b|=a·b=2,且(b-c)·(2b-c)=0,則|a-2c|的最大值為

( )

【答案】D

圖3

模型三、向量圓

( )

【答案】D

模型四、比例圓(阿波羅尼斯圓)

【例題7】平面向量a,b滿足|a|=3|b|,且|a-b|=4,則a與a-b夾角的正弦值的最大值為

( )

【答案】B

圖5

圖6

模型五、外接圓

在三角形中,若遇到一邊一對角問題,可以考慮構造此三角形的外接圓,從幾何的角度進行解題.同樣的道理,在向量問題中,若兩個或三個向量可以構造出一個三角形(如a,b,a-b),且給出一邊一對角的條件,可以考慮構造外接圓模型進行解題.

( )

A.27 B.16 C.10 D.25

【答案】A

圖7

模型六、四點共圓

圓內接四邊形的對角互補;反之,若某四邊形的對角和為180°,則該四邊形的四個頂點共圓.在向量問題中,只需有三個向量,選取1個共同起點,加上3個終點,便可構成一個四邊形,若該四邊形滿足上述條件,可以構造“隱圓”模型進行解題,四點共圓模型可以認為是外接圓模型的延伸.

( )

【答案】D

【答案】2

圖9

模型七、極化圓

【答案】15

圖10

【例題14】已知平面向量a,b,c滿足a·b=60,|a-b|=4,|a-c|=1,則|c|的取值范圍為________.

【答案】[5,11]

圖11

圖12