如何用必要條件探路解決單參數(shù)恒成立問題

左小剛

(安徽省安慶市第二中學(xué))

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,轉(zhuǎn)化與化歸思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一,也是我們高考常考的思想方法,大多數(shù)數(shù)學(xué)問題我們需要進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,即尋找問題的充要條件,但有時(shí)探究問題的充要條件較復(fù)雜,不易求解,此時(shí)我們不妨退一步來探究問題的必要條件.著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出:“善于退,足夠的退,退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅”,又云:“先足夠的退到我們最容易看清楚的地方,認(rèn)透了,鉆深了,然后再上去.”含參數(shù)不等式的求解問題是近幾年高考考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題,常與函數(shù)、不等式等問題結(jié)合考查,綜合性強(qiáng)、計(jì)算量大、思維要求高,很多學(xué)生往往想到參變分離,但后面的問題往往力不從心、望而生畏.本文將通過五個(gè)典型試題闡述用必要條件探路解決單參數(shù)恒成立問題的五種方法.

一、利用端點(diǎn)處函數(shù)值滿足不等式得到不等式成立的必要條件,再驗(yàn)證其充分性

【典例1】(2019·全國(guó)Ⅰ卷文·20節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.

【思路2】構(gòu)造新的函數(shù)g(x)=f(x)-ax,將問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最小值,此題需要對(duì)參數(shù)分類討論,學(xué)生不易找到分類的標(biāo)準(zhǔn),難以求函數(shù)的最值.

【思路3】令g(x)=f(x)-ax,此時(shí)g(x)≥0在x∈[0,π]上恒成立.

∵g(x)=2sinx-xcosx-x-ax,

∴g(π)=-aπ≥0,即a≤0是g(x)≥0在x∈[0,π]上恒成立的必要條件.

下證a≤0是g(x)≥0在[0,π]上恒成立的充分條件.

令h(a)=g(x)=f(x)-ax,當(dāng)x=0時(shí),顯然h(a)=0.

當(dāng)x∈(0,π]時(shí),函數(shù)h(a)單調(diào)遞減,故h(a)≥h(0)=f(x).

令t(x)=f′(x)=cosx+xsinx-1,則t′(x)=xcosx.

所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,π]上單調(diào)遞減,又f(0)=0,f(π)=0,所以f(x)≥0,故h(a)≥0成立.故而當(dāng)a≤0時(shí),g(x)≥0在x∈(0,π]上恒成立.

綜上所述,a的取值范圍是(-∞,0].

【評(píng)注】在解單參數(shù)恒成立問題時(shí),可以先等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式為g(x)≥0或g(x)≤0,構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)g(x),用區(qū)間端點(diǎn)值代入求函數(shù)值,此時(shí)滿足不等式,進(jìn)而得到不等式成立的必要條件,最后再驗(yàn)證其充分性.

二、利用定義域內(nèi)特殊值的函數(shù)值滿足不等式得到不等式成立的必要條件,再驗(yàn)證其充分性

【典例2】(2020·全國(guó)新高考Ⅰ卷·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(Ⅱ)若不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍.

【思路1】學(xué)生對(duì)解決單參數(shù)恒成立問題時(shí)容易想到參變分離法,但會(huì)發(fā)現(xiàn)無法分離.

【思路2】將問題轉(zhuǎn)化成求f(x)的最小值,需要對(duì)參數(shù)分類討論,學(xué)生不易找到分類的標(biāo)準(zhǔn),從而較難求出函數(shù)的最值.

【思路3】由題可得f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),則有f(1)=a+lna≥1恒成立.

又h(x)=x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增且h(1)=1,故而可得a≥1是f(x)≥1成立的必要條件.下證a≥1是f(x)≥1成立的充分條件.

易證ex-1≥x在x∈R上成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,lnx≤x-1在(0,+∞)上成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

故而有ex-1-lnx≥1成立,

∴當(dāng)a≥1時(shí),f(x)≥ex-1-lnx≥1成立.

綜上,a的取值范圍是[1,+∞).

【評(píng)注】遇到lnx我們一般選x取特殊值1代入計(jì)算函數(shù)值,尋找恒成立的必要條件,此時(shí)可求參數(shù)的取值范圍,再驗(yàn)證其充分性.

三、利用定義域內(nèi)特殊值的函數(shù)值得到不等式成立的必要條件后縮小參數(shù)范圍

【典例3】(2022·張家口一模·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.

(Ⅱ)若f(x)≥0,求a的取值范圍.

【思路1】此題若采用學(xué)生常用的參變分離法,會(huì)發(fā)現(xiàn)無法對(duì)其分離.

【思路2】將問題轉(zhuǎn)化成求f(x)的最小值,此題需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

【思路3】∵f(x)≥0在x∈R上成立,

∴f(0)=1-a≥0,

故a≤1是f(x)≥0成立的必要條件.

下證a≤1是f(x)≥0的充分條件.

f′(x)=(2ex+a)(ex-a).

當(dāng)0

當(dāng)a=0時(shí),f(x)=e2x,因此f(x)≥0;

【評(píng)注】遇到ex我們一般選x取特殊值0代入計(jì)算函數(shù)值,尋找恒成立的必要條件,進(jìn)而縮小參數(shù)的取值范圍,有時(shí)會(huì)減少分類討論的情況,化繁為簡(jiǎn),優(yōu)化解題過程.

四、利用端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值取值特點(diǎn)得到不等式成立的必要條件,再驗(yàn)證其充分性

【典例4】(2023·合肥二模·21節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f(x)≥ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

當(dāng)a≤1時(shí),h′(x)≥0,故函數(shù)h(x)在定義域上單調(diào)遞增.

又h(0)=0,故h(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.

當(dāng)a>1時(shí),對(duì)x∈(0,a-1],h′(x)≤0,此時(shí)函數(shù)h(x)單調(diào)遞減,h(a-1)

試驗(yàn)所用方鋼管為Q235直焊縫鋼管，□120×5.52、□150×5.52兩種規(guī)格。再生混凝土配制原材料有海螺牌42.5R普通硅酸鹽水泥、天然河砂、自來水、天然粗骨料和再生粗骨料。其中天然粗骨料為粒徑5～20mm的連續(xù)級(jí)配碎石，再生粗骨料來源為實(shí)驗(yàn)室廢棄混凝土試塊，經(jīng)二次破碎后人工篩分為5～20mm的連續(xù)粒級(jí)。所有再生混凝土配合比相同，水泥∶水∶砂∶粗骨料=1∶0.38∶1.11∶2.06(水泥用量540kg/m3)，再生粗骨料取代率改變時(shí)相應(yīng)地調(diào)整再生和天然粗骨料的比例，總的粗骨料重量保持不變。預(yù)留鋼管、再生混凝土的標(biāo)準(zhǔn)試樣與試件同條件養(yǎng)護(hù)和高溫試驗(yàn)，實(shí)測(cè)力學(xué)性能指標(biāo)如表2、表3所示。

綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1].

【評(píng)注】此種方法需要學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),并且會(huì)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類.

【思路3】f(x)-ag(x)≥0(x≥0)恒成立,不妨設(shè)h(x)=f(x)-ag(x),

則h(0)=0,且h′(0)=1-a≥0,

故可得a≤1是h(x)≥0在[0,+∞)上恒成立的必要條件.

下證a≤1是h(x)≥0在[0,+∞)恒成立的充分條件.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].

【評(píng)注】此類題型發(fā)現(xiàn)代入端點(diǎn)處的函數(shù)值滿足不等式,但不能得到參數(shù)的取值范圍,進(jìn)而進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)此處的導(dǎo)數(shù)值取值范圍,從而得到不等式恒成立的必要條件,再驗(yàn)證其充分性.

五、利用定義域內(nèi)特殊值處導(dǎo)數(shù)值取值特點(diǎn)得到不等式成立的必要條件,再驗(yàn)證其充分性

【典例5】(2022·安徽安慶二模·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx且f(x)≥0.求a.

【思路1】學(xué)生對(duì)解決單參數(shù)恒成立問題時(shí)容易想到參變分離法,但此題分離還需分類討論,而且對(duì)應(yīng)的函數(shù)形式復(fù)雜.

【思路2】將問題轉(zhuǎn)化成求f(x)的最小值,此題需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,不易找到分類的標(biāo)準(zhǔn),難以求函數(shù)的最值.

【思路3】由題意可得,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),設(shè)f(x)=xg(x),其中g(shù)(x)=ax-a-lnx,則f(x)≥0等價(jià)于g(x)≥0.由于g(1)=0,故g(x)≥g(1)在(0,+∞)上恒成立.

下證a=1是g(x)≥0的充分條件.

綜上,知a=1.

【編者按】新課標(biāo)、新高考、新教材(“三新”)背景下,為幫助高中基礎(chǔ)學(xué)科教師深化對(duì)新高考命題的理解和研究,教學(xué)考試雜志社聯(lián)合北京布局未來教育科技研究院,繼續(xù)組織開展第三屆跨區(qū)域命題&說題征集活動(dòng),為一線教師提供培訓(xùn)、命題、實(shí)戰(zhàn)機(jī)會(huì),促進(jìn)一線教師的快速成長(zhǎng),反哺一線教研、教學(xué)。本屆活動(dòng)通過專家評(píng)審的試題及點(diǎn)評(píng)計(jì)劃分三期刊登展示。歡迎更多的教師關(guān)注教學(xué)考試雜志社組織的活動(dòng),雜志社提供更多的一線教學(xué)平臺(tái)服務(wù),愿與更多的教師共同成長(zhǎng)、共享成果。