初中數(shù)學(xué)圓中最值問題解題技巧的探究

林 越

(無錫市積余實(shí)驗(yàn)學(xué)校,江蘇 無錫 214043)

圓是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的幾何圖形,在實(shí)際生活和數(shù)學(xué)理論中都具有廣泛的應(yīng)用.與圓有關(guān)的最值問題作為初中數(shù)學(xué)的一部分,是培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題和培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵內(nèi)容之一.然而,由于其涉及圓的特殊性質(zhì),求解過程較為復(fù)雜,許多學(xué)生在解題過程中常常感到困惑和迷茫,因此,教師研究圓中最值問題的解題技巧,對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和解決實(shí)際問題具有重要意義[1].

1 緊扣概念,垂線段求最值

在初中數(shù)學(xué)中,圓的垂線段是指從圓上的一個(gè)點(diǎn)向圓的直徑或半徑所引的線段.這條線段與所引的直徑或半徑垂直相交,被稱為垂線段,在圓的解題中,垂徑是一個(gè)特殊的位置,對圓的最值問題可以造成一定的影響,因此,教師在課堂中可以引入垂線段求圓的最值的技巧.

垂線段的特點(diǎn)是它的兩個(gè)端點(diǎn)分別位于圓上和圓心上,并且與圓的直徑或半徑垂直相交.在課堂上,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生研讀教材,緊扣概念,理解圓的特殊位置.通過緊扣概念求解圓中垂線段的最值,教師可以通過提供一些實(shí)際問題,引發(fā)學(xué)生的思考和討論.例如,給定一個(gè)圓,學(xué)生可以思考如何找到圓中垂線段的最大值或最小值,或者如何確定垂線段的長度在什么條件下取得最值.教師可以指導(dǎo)學(xué)生從幾何角度出發(fā),利用相似三角形或勾股定理等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行推理和證明.學(xué)生思考完如何找到圓中垂線段的最大值或最小值后,教師可以引導(dǎo)他們從幾何角度出發(fā),利用相似三角形和勾股定理等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行推理和證明.首先,教師可以考慮如何找到圓中垂線段的最大值,可以假設(shè)圓的半徑為r,垂線段的長度為x,然后通過相似三角形來解決這個(gè)問題,教師可以在圓上選擇一個(gè)點(diǎn)A,連接圓心O和點(diǎn)A,并假設(shè)點(diǎn)B為垂線段的另一端點(diǎn).根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可以得到比例關(guān)系x:r=r:(r+x),從而可以得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程x2-rx-r2=0,解這個(gè)方程,便得到兩個(gè)解.根據(jù)實(shí)際意義,垂線段的長度必須為正值,因此需要取正解.接下來,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生考慮如何確定垂線段的長度在什么條件下取得最小值.在了解基本概念后,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生實(shí)戰(zhàn)演練.

例1如圖1,在圓O中,弦AB=1,點(diǎn)C在AB上移動,連接OC,過點(diǎn)C作CD⊥OC,且與圓O相交于點(diǎn)D,則CD的最大值為多少?

圖1 圓作垂線段的示意圖

通過這樣的教學(xué)方法,學(xué)生不僅可以掌握解決圓中垂線段最值問題的方法,還能培養(yǎng)學(xué)生幾何圖形的空間感,讓學(xué)生在圖形的動態(tài)與靜態(tài)的轉(zhuǎn)化中找到臨界點(diǎn),幫助學(xué)生提高對數(shù)學(xué)圓圖形的全面認(rèn)識,找到解題的多重技巧,并突破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)瓶頸,找到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心.

2 位置轉(zhuǎn)化,對稱點(diǎn)求最值

對稱點(diǎn)是指平面上的兩個(gè)點(diǎn),它們相對于某個(gè)中心點(diǎn)或某條直線對稱,即以這個(gè)中心點(diǎn)為對稱中心或以這條直線為對稱軸,兩個(gè)點(diǎn)的位置互相鏡像,對稱點(diǎn)在平面幾何中起到重要作用,常常用于解決對稱性相關(guān)的問題.圓圖形本身屬于對稱圖形,因此,教師可以在課堂中為學(xué)生滲透豐富的對稱知識,幫助學(xué)生學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化特殊點(diǎn)、特殊線段的位置,從而求解最值[2].

對稱方法在圓中求最值可以幫助學(xué)生降低計(jì)算的難度,由于圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性,其任意一點(diǎn)的性質(zhì)都與其對稱點(diǎn)相同,因此,在使用對稱方法時(shí),只需計(jì)算部分圓內(nèi)的點(diǎn),然后通過對稱性推斷出其它對應(yīng)點(diǎn)的值,而無需逐個(gè)計(jì)算所有點(diǎn).通過利用對稱性,教師可以將問題簡化為只需考慮部分圓內(nèi)的點(diǎn),從而減少了可能出錯(cuò)的計(jì)算步驟,這樣一來,學(xué)生能夠更加準(zhǔn)確地求得圓中的最值,避免了由于繁瑣的計(jì)算過程導(dǎo)致的誤差累積.此外,通過觀察和利用圓的對稱性,學(xué)生還可以更加直觀地理解問題,并通過圖形化表示來幫助自己解決問題,從而更加清晰地把握問題的本質(zhì),更好地求得圓中的最值.教師可以帶領(lǐng)學(xué)生探索例題解法,促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)ΨQ求最值的奧秘.

例2 如圖2,AB是圓O的直徑,點(diǎn)M在圓O上,且AB=8,∠MAB=20°.N點(diǎn)是弧MB的中點(diǎn),P是直徑AB上的一個(gè)動點(diǎn),如果MN=1,則△MNP周長的最小值為多少?

圖2 圓中作對稱的示意圖

教師可以在圖形中作出輔助線,如圖2所示.作N關(guān)于AB的對稱點(diǎn)N′,連接MN′,NN′,ON′和ON.根據(jù)圖形可以看出,MN′與AB的交點(diǎn)P′即為△PMN周長的最小時(shí)的點(diǎn),并且又因?yàn)镹是弧AB的中點(diǎn),此時(shí)有學(xué)生回答,這一步得出了∠A=∠NOB=∠MON=20°,也就進(jìn)一步推出了∠MON′=60°,所以根據(jù)等邊三角形的特點(diǎn),可以推論出周長的最小值為5.

利用作對稱的方法求最值,有利于降低計(jì)算過程的復(fù)雜性,提高學(xué)生的計(jì)算效率,減少出錯(cuò)可能性,增強(qiáng)問題的可視化.同時(shí),這種方法還能夠簡化問題,形成簡單的模型,幫助學(xué)生提高解決問題的效率和準(zhǔn)確性,讓學(xué)生更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和工具解決實(shí)際問題,培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

3 技巧升格,阿氏圓求最值

阿氏圓是一個(gè)由希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼烏斯在數(shù)學(xué)中引入的概念,它是由三個(gè)互相切于一點(diǎn)的圓構(gòu)成的,這些圓可以是內(nèi)切或外切的,這些圓的切點(diǎn)和切線之間存在一些特定的關(guān)系.教師可以在數(shù)學(xué)課堂中為學(xué)生引入阿氏圓的概念,幫助學(xué)生求解隱圓的最值難題.

在初中數(shù)學(xué)中,學(xué)生通常會在幾何學(xué)的學(xué)習(xí)中接觸到阿氏圓,學(xué)生需要學(xué)習(xí)如何構(gòu)造阿氏圓、確定它們的性質(zhì)以及探索它們的幾何關(guān)系.首先,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生了解阿氏圓的定義,教師需要讓學(xué)生了解阿氏圓是由三個(gè)互相切于一點(diǎn)的圓構(gòu)成的,并且這些圓可以是內(nèi)切或外切的,然后帶著學(xué)生探索阿氏圓的性質(zhì),學(xué)生可以通過構(gòu)造阿氏圓,觀察它們的性質(zhì).為了更深入地理解與阿氏圓相關(guān)的問題,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生嘗試解決一些與阿氏圓相關(guān)的問題,如給定一些切點(diǎn)和切線的條件,求解阿氏圓的半徑和圓心的坐標(biāo)等,幫助學(xué)生逐漸認(rèn)識和理解阿氏圓,并掌握與之相關(guān)的概念和技巧.

例3如圖3,圓O的半徑為r,點(diǎn)A和點(diǎn)B都在圓O外,點(diǎn)P為圓O上的動點(diǎn),已知r=k·AO,連接PB與PA,則當(dāng)PB+k·PA的值最小時(shí),P點(diǎn)的位置如何確定?

圖3 阿氏圓的示意圖

經(jīng)過前期的教學(xué)鋪墊,教師可以讓學(xué)生分析題意,有學(xué)生指出兩條線段的最值問題可以轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間的線段來解決,如圖3所示.本題的關(guān)鍵在于如何確定待定系數(shù)k與AP乘積的大小.此時(shí),另一位學(xué)生指出,可以根據(jù)題目中給出的條件得到關(guān)系式PB+k·PA,然后可以將PA表示為PO+OA,其中PO為圓心O到點(diǎn)P的距離,OA為點(diǎn)A到圓心O的距離.因此PB+k·PA=PB+k(PO+OA),PA是圓O上的動點(diǎn),所以PA的長度是固定的,即PA=2r.將其代入上式得PB+k·PA=PB+k(PO+2r).接下來,需要分析PB和PO之間的關(guān)系.由于點(diǎn)B在圓O外,所以PB的長度是固定的,即PB=2r.將其代入上式得PB+k·PA=2r+k(PO+2r).再確定k的值,使得PB+k·PA的值最小,就可以將上式化簡為2r+k(PO+2r)=2r+k·PO+2kr,由題意可以發(fā)現(xiàn),PO是圓心O到點(diǎn)P的距離,而我們知道,圓心O到圓上的任意一點(diǎn)的距離是固定的,即PO=r.將其代入上式得2r+k·r+2k·r=(2+k+2k)·r,然后只需要確定k的值,使得(2+k+2k)·r的值最小.由于r是圓O的半徑,是固定的,所以只需要確定k的值即可,為了使(2+k+2k)·r的值最小,我們需要使k的值盡可能小.由于k是待定系數(shù),可以取任意實(shí)數(shù),所以我們可以取k=0這樣,(2+k+2k)·r的值就達(dá)到了最小值.因此,當(dāng)k=0時(shí),P點(diǎn)的位置可以確定為圓O上與點(diǎn)A相對的點(diǎn).

通過阿氏圓求最值的方法,學(xué)生可以更好地理解圓的概念,讓圓的概念突破傳統(tǒng)的題目設(shè)定的框架,阿氏圓的概念將幾何圖形與代數(shù)式結(jié)合了起來,有利于學(xué)生找到兩者中的平衡關(guān)系,提升思維品質(zhì),從而更好地求解圓中最值問題[3].

綜上所述,學(xué)生學(xué)習(xí)圓的最值問題具有重要性和意義,圓的最值問題涉及如何通過數(shù)學(xué)方法確定圓的最大值或最小值,如何通過建立數(shù)學(xué)模型、推理和計(jì)算,找到最優(yōu)解.這種思維方式可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、數(shù)學(xué)思維和問題解決的能力.學(xué)生掌握了圓的最值問題,不僅可以培養(yǎng)分析和解決問題的能力,還能夠發(fā)展數(shù)學(xué)建模和抽象推廣的能力,為學(xué)生的學(xué)習(xí)和未來的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).