三角恒等變換視角下構(gòu)建圓錐曲線參數(shù)方程

摘 要：文章從三道高考圓錐曲線參數(shù)方程試題出發(fā)，結(jié)合課本知識(shí)，從三角恒等變換的視角將高考試題與課本知識(shí)緊密聯(lián)系，揭開這類試題的相關(guān)背景，最后給出反思與相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線參數(shù)方程；三角恒等變換；反思與建議

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）31-0006-03

收稿日期：2023-08-05

作者簡介：金毅（1992-），男，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

以上三個(gè)問題屬于求解軌跡方程的問題，且均為參數(shù)方程的形式，解決問題的過程并不復(fù)雜.從求解的結(jié)果來看，三道題目分別對(duì)應(yīng)橢圓、雙曲線和拋物線.從表象來看，似乎這些參數(shù)方程并未在我們學(xué)習(xí)的課本當(dāng)中正式呈現(xiàn)，但在題目中卻頻繁考查，難道是高考的方向與教材脫鉤？事實(shí)上，經(jīng)過我們的分析，結(jié)論卻恰恰相反，這幾道題目正是來源于教材中的圓錐曲線參數(shù)方程.我們將從三角函數(shù)恒等變換的視角對(duì)以上問題的背景進(jìn)行探討.

1 三角恒等變換視角下的圓錐曲線參數(shù)方程

1.1 對(duì)橢圓參數(shù)方程的探討

1.2 對(duì)雙曲線參數(shù)方程的探討

1.3 對(duì)拋物線參數(shù)方程的探討

2 反思與學(xué)習(xí)建議

從以上討論過程發(fā)現(xiàn)，在高考的命題中，有相當(dāng)一部分題目的背景源于教材.可以說，教材作為高考命題的“題源”，有非常大的學(xué)習(xí)和思考的價(jià)值［1］.以下給出幾點(diǎn)建議，以幫助大家做好對(duì)教材的學(xué)習(xí)和挖掘.

2.1 重視數(shù)學(xué)教材中對(duì)知識(shí)的研究視角

教材對(duì)橢圓參數(shù)方程、雙曲線參數(shù)方程研究的出發(fā)點(diǎn)是三角恒等式的“平方關(guān)系”，這說明教材非常重視通過恒等變換的研究視角得到參數(shù)方程. 所以，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，不僅要重視教材的基本知識(shí)內(nèi)容，更要在研究方法上增強(qiáng)其“延續(xù)性”，也就是沿著教材給出的研究視角進(jìn)一步探索新的知識(shí).

2.2 重視數(shù)學(xué)教材中的例題

數(shù)學(xué)教材中例題及其解答過程的呈現(xiàn)，向我們展示了數(shù)學(xué)問題從提出到解決的完整過程. 首先要重視問題提出的形式，弄清在不同的視角下呈現(xiàn)的形式是什么.如橢圓的參數(shù)方程在三角恒等變換下會(huì)有不同的呈現(xiàn)形式. 其次是例題的解法. 教材中例題的解法會(huì)向我們呈現(xiàn)解決問題的一般方法，也就是通法，要加以積累和思考.

2.3 重視數(shù)學(xué)教材中的章節(jié)起始課

文獻(xiàn)[1]中指出，教材中章、節(jié)的引言和小結(jié)往往都給出了研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路. 其基本要點(diǎn)為：背景——概念——性質(zhì)——結(jié)構(gòu)——應(yīng)用. 其中，背景指現(xiàn)實(shí)世界中的一類現(xiàn)象；概念明確了研究對(duì)象；性質(zhì)是在概念基礎(chǔ)上，明確概念的要素與相關(guān)要素之間的關(guān)系、變化規(guī)律等；結(jié)構(gòu)是相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系；最后再進(jìn)行綜合應(yīng)用.所以，章節(jié)起始課的重要性不言而喻.

本文將高考試題與教材知識(shí)結(jié)合，闡釋其來龍去脈，強(qiáng)調(diào)教材知識(shí)與研究視角的重要性，給出學(xué)習(xí)建議，希望能開拓大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思路，提升解決相關(guān)問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

［責(zé)任編輯：李 璟］