關聯知識結構 完善認知差異

彭曉丹

【摘? ?要】單元復習課旨在以練習的形式幫助學生梳理數學知識，讓學生在對知識的梳理中建立知識間的關聯，在知識的關聯中感悟思維發展。“圖形與幾何”領域的單元復習要依托空間想象建構知識結構。具體而言，教師應采用“凸顯本質關聯，明確核心內容；探尋認知難點，關注學習材料；設置核心任務，落實綜合目標”等策略，培養學生的空間推理能力，發展學生的核心素養。

【關鍵詞】單元復習；空間想象；知識結構；核心任務

復習課要關注領域主題，梳理知識的內在關聯，構建知識結構，發展學生的核心素養。單元復習課通常以任務驅動為導向設計練習，以此幫助學生梳理數學知識，讓學生在對知識的梳理中建立知識間的關聯，在知識的關聯中發展思維，從而實現知識的整體關聯和認知結構的建構。那么，如何設計教學才能凸顯主題的核心任務？如何在核心任務的實施中關聯知識，查漏補缺？下面以人教版教材四年級上冊“平行四邊形和梯形”單元復習為例展開探究與實踐。

一、凸顯本質關聯，明確核心內容

教師要分析教材的編排體系，以核心素養為統領，提煉單元復習中的核心內容，明確單元主題內容，把握單元的核心概念和對應的關鍵要素。

“平行四邊形和梯形”單元屬于“圖形與幾何”領域，主要內容包括：同一平面內兩條直線的特殊位置關系，平行四邊形、梯形的特征及其與正方形、長方形的關系。在本單元復習之前，學生已經學習了常見的四邊形，周長和面積的概念，直線、線段、射線和角，以及角的度量等知識，可以說，學生已經具備從“邊”和“角”認識平面圖形的學習經驗。這些知識是學生學習平行四邊形、三角形、梯形等多邊形面積的基礎，也是后面進一步學習長方體、正方體等立體圖形的基礎。因此，從“圖形與測量”主題視域看，本單元的復習有兩個關聯點：一是認識圖形的方法的一致性，二是幾何圖形高的概念和畫高方法的一致性。復習時，要關注從圖形組成要素認識圖形特征，以及從點到線段的距離角度認識高。

基于上述分析，明確單元核心內容：從圖形本質特征出發，幫助學生理解平行與垂直、平行四邊形和梯形的概念及相互關系。具體包括：平行和垂直對理解圖形概念本質的重要性；平行四邊形和梯形之間的區別與聯系，以及與其他四邊形之間的關系；垂線是認識高及畫高的基礎；等等。由此重組單元關鍵要素，突出概念的本質聯系（如圖1），確定具有關聯的復習路徑。

二、探尋認知難點，關注學習材料

在“平行四邊形和梯形”單元的教學中，筆者發現，學生在對高的認識和畫高上存在明顯差異。具體有怎樣的差異？對后續學習有怎樣的影響？針對這些問題，筆者組織了任務前置的檢測練習（如圖2）。

前置式任務主要檢測對非水平位置的圖形概念的理解。學生后續學習平行四邊形面積，需要從特殊走向一般，擴展為任意平行四邊形都可以轉化為長方形。那么這個任意平行四邊形的高在哪里？不管平行四邊形的底邊在哪里，都能找到對應的高嗎？本單元對高的構想是后續學習的重要基礎。學生對前置式任務中的畫高感到困難，主要原因是缺乏空間想象力，無法想象“高”所在的位置。

三、設置核心任務，落實綜合目標

單元復習課的目標具有綜合性。因此，教師設置核心任務時，要在體現主題內容的基礎上，既關注單元關鍵要素，完善知識點，又凸顯概念本質，構建知識結構。在“平行四邊形和梯形”的單元復習中，教師應借助結構化學習材料設計學習任務，并在其中融入發展空間表象、推理和想象等能力的目標，讓學生通過辨析概念關聯知識，提升核心素養。

（一）再現性任務，理解概念本質

任務一從學生的認知水平出發，引導學生回顧單元內的基礎知識，屬于再現性任務。它使用的學習材料具有很強的結構性，涵蓋了單元復習中的關鍵要素。平行四邊形和梯形的概念本質是“線”的平行關系，因此，該任務從線的特征出發走向面的組合，要求學生依據圖形的特征，先分類，再組合成平行四邊形和梯形，從而感知圖形及其組成元素（如圖3）。

這一再現性任務的教學分為兩個層次。

第一層次是分類，目的是幫助學生更好地了解概念特征。分類有助于剝離概念的非本質屬性，深入理解概念的內涵。這組學習材料涵蓋了平行關系和相交關系，呈現了標準式和變式，旨在引導學生回顧平行線和垂線等概念，根據概念本質辨析易錯點。

第二層次是組合，要求學生選擇其中兩組直線分別組合成一個平行四邊形或梯形。教師呈現學生組合成的平行四邊形和梯形（如圖4），引導學生理解平行四邊形：“這樣組合得到的圖形都是平行四邊形嗎？為什么？”學生歸納：圖4中，上面三組圖形都是平行線組合，因而兩組對邊分別平行，都是平行四邊形。在此基礎上，進一步思考其中一個特殊的平行四邊形——長方形，從而得出長方形具有平行四邊形的特征，但它又具有特殊性（四個角都是直角）。教師進一步提問：“為什么不選②號、⑤號、⑥號線來組成平行四邊形呢？”啟發學生理解梯形，認識到組成的梯形與平行四邊形的不同點，根據線是否平行來辨析平行四邊形和梯形的概念本質。

在上述教學的基礎上，教師可利用動態變換，幫助學生進一步建立各種圖形概念之間的關系。教師引導學生對其中一個平行四邊形進行變換，在變換過程中提問：“如果將平行四邊形的一條邊平移，它還是平行四邊形嗎？”引導學生感悟：兩組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形。教師繼續變換這個平行四邊形，將其變為長方形和正方形，在此過程中繼續引導學生思辨：“這些圖形還是平行四邊形嗎？為什么？”通過圖形的變換，再次聚焦對邊的位置關系，從而關聯特殊平行四邊形和普通平行四邊形，助力學生形成系統化的知識結構。

上述任務以結構化的學習材料為基礎，綜合排列組合、猜想驗證、思辨推理的過程，要求學生根據圖形的特征，逆向選取平行或非平行的線。具體而言，該任務包含組合前空間表象的再現、組合時空間推理的應用和組合后空間想象的構建三個環節，要求學生分析平行線與平行線、平行線與非平行線、平行線與垂線之間的聯系，引導他們從邊和角的特征出發，溝通特殊的平行四邊形和特殊的梯形，形成單元本質關聯的知識網絡（如圖1）。

（二）技能性任務，凸顯想象動態遷移

技能性任務關注技能的落實，在此基礎上幫助學生實現技能之間的關聯和遷移。畫高是本單元的重難點，也是本單元要落實的技能性任務。為此，任務二要求學生在畫圖前先想象，并在畫圖后再次回顧對應的想象（如圖5）。

任務二：先想象，再畫圖形和高。

任務二由兩個子任務構成。第一個子任務是由線想象平行四邊形和梯形，承接任務一中的學習材料⑤，引發學生思考：“把這組垂直線段看作某個圖形的底和高，這個圖形可能是什么樣的？”學生經過想象，得到可能是平行四邊形、梯形或三角形。在此基礎上，教師引導學生進一步思考：“假如這是一個平行四邊形或梯形的底和高，這個平行四邊形和梯形會是什么樣？請先想象，再畫一畫。”

首先，比較同底等高的不同平行四邊形。教師呈現學生畫的不同平行四邊形，學生通過比較發現，雖然這些平行四邊形的形狀各不相同，但其中一組對邊都占了4格，且這條底邊上的高都相等，從而理解了平行四邊形“對邊平行且相等”的特征。教師選擇其中一個平行四邊形提問：“在這個平行四邊形中，以BC為底的高只有這樣一條嗎？”學生找出多條符合條件的高，通過比較，感悟平行四邊形的高有無數條，且同一組對邊之間的高都相等，從而理解平行線之間的距離處處相等。其次，比較學生畫的平行四邊形和梯形，引導學生思考：“梯形的高與平行四邊形的高有什么相同點和不同點？”學生思考后發現，平行四邊形和梯形在同一組平行線上的高相同，但平行四邊形有兩組對邊對應的高，梯形只有一組對邊對應的高。最后，用畫高對應畫垂線的方法，讓學生回顧平行四邊形和梯形的高的畫法，將畫高的方法歸結為運用點到直線的距離來畫垂線的方法，勾連畫高與畫垂線，使學生感悟方法的一致性。

第二個子任務是鞏固畫高的技能。因為想象先于畫圖進行，所以畫高之前首先要想象“高”的位置。教師呈現4個圖形，引發學生思考：“你能想象這些圖形的高嗎？”讓學生用手比畫圖形的高并說明理由，感悟畫高之前要先準確地想象“高”，從而突破圖形形狀、位置的變換對畫高造成的困難。教師接著呈現學生畫在不同位置上的高，讓學生辨析。教師指著畫在圖形外側的高，追問：“高還可以畫在圖形外面嗎？為什么？”突破高只存在于圖形內部的認知障礙，幫助學生建立平行四邊形、梯形的高與平行線距離之間的關系。

（三）拓展性任務，關注推理靈活轉換

任務三是對思維有挑戰性的開放性任務。它要求學生運用圖形間的關系進行靈活轉換，從而幫助學生認識平行四邊形和梯形的聯系（如圖6）。

任務三：先猜想，再驗證。

任選一個圖形，剪一刀，可以分成哪兩個平面圖形？

教師先引導學生猜想：“將平行四邊形剪一刀可以分成哪兩個平面圖形？”學生通過猜想，得出平行四邊形可以分割成兩個三角形、兩個平行四邊形、兩個梯形、一個梯形和一個三角形（如表1），但對能否分割成一個梯形和一個平行四邊形存在爭議。學生進一步操作驗證，通過畫一畫或剪一剪，得出不可以分割成一個梯形和一個平行四邊形。在此基礎上，猜想：“梯形是不是也能分割成這些圖形呢？”當猜想有爭議時，學生會主動在表格里打上問號，自主進行驗證。教師引導學生進一步思辨：“為什么平行四邊形可以分成兩個平行四邊形，而分不出一個梯形和一個平行四邊形？”“為什么梯形分不出兩個平行四邊形，卻能分出一個梯形和一個平行四邊形？”目的是幫助學生深入理解圖形的概念特征，發展學生的空間觀念和空間推理能力。

如上，“平行四邊形和梯形”的單元復習設置了三個核心任務，首先復習平行和垂直，接著結合過對應直線外一點畫垂線，感悟平行線之間的距離可以想象成平行四邊形和梯形的高，最后根據圖形的關聯進行圖形分割。學習材料雖然簡單，但卻關注了圖形的概念特性，聚焦其本質，并在任務層層推進的過程中，暴露了學生的技能缺陷，體現了復習課查漏補缺的功能和價值。

總之，本單元的復習課基于“圖形的認識和測量”主題設置任務，以圖形各要素之間的關系為基礎刻畫圖形特征，建立多個圖形之間的聯系，突出了復習材料的整體性和結構性。同時，聚焦“圖形與幾何”的空間表象建構、空間推理和空間想象能力的提升，培養學生的數學思維，發展學生的核心素養。

參考文獻：

［1］白常平，章勤瓊，羅嬌嫦.基于學習路徑分析的“平行四邊形和梯形”單元整體教學：如何以邊的位置關系認識圖形［J］.教學月刊·小學版（數學），2022（1/2）：88-92.

（浙江省臺州市椒江區洪家街道中心小學）