壓縮感知電流互感器傳變特性辨識方法

王學偉 任紅宇 袁瑞銘 李文文 王國興

(1.北京化工大學 信息科學與技術學院, 北京 100029;2.國網冀北電力有限公司計量中心, 北京 100045)

引 言

在“碳達峰”和“碳中和”以及新型電力系統建設的大背景下,我國能源需求不斷增加。 隨著軋鋼、電弧煉鋼等非線性負荷的大量應用[1],負荷的電流呈現出復雜寬頻帶諧波擾動的特點。 電流互感器作為負荷電流變換采集的設備,其傳變特性是影響電能計量綜合誤差的主要因素。 因此,圍繞電流互感器寬頻帶傳變特性的快速準確辨識方法進行研究,對于提高電能計量的準確性具有重要意義。

目前,研究者提出電流互感器(CT)傳變特性的系統辨識方法,主要采用一次側頻域信號掃頻的方法辨識CT 傳變特性,如新型差動電流互感器[2]、羅氏線圈電流互感器[3]以及光電式電流互感器[4]等的辨識,或者采用一次側頻域諧波信號掃頻的方法辨識CT 傳變特性,如電磁式電流互感器的辨識[5]。目前,CT 傳變特性的掃頻系統辨識方法應用廣泛、精度高,但在多點掃頻頻率下采樣一次與二次側電流再計算得到CT 的傳變特性,需要耗費大量的時間。 CT 掃頻系統辨識方法效率低的問題尚未解決,并且始終缺乏高效的辨識方法,如何產生合適的辨識激勵信號,高效辨識CT 的傳變特性,還有待在理論方面獲得突破。

壓縮感知作為近年來出現的高效的信號處理方法[6],廣泛應用于信號和圖像處理以及系統辨識領域[7]。 目前壓縮感知辨識理論主要應用于特定模型參數的辨識,如線性參變(linear parametric variation, LPV)模型[8]、Hammerstein 時間模型[9]、網絡拓撲結構的辨識[10]、葉尖定時信號[11]和智能電網中諧波源[12]的辨識等,但尚未有針對CT 傳變特性的壓縮感知系統辨識方法。 在壓縮感知理論中,精確重構的先驗條件為信號是稀疏的或可稀疏化的,因此,如何設計并構造稀疏字典,滿足CT 傳變特性的稀疏先驗條件,是CT 傳變特性壓縮感知系統辨識中需要解決的問題。

為解決CT 傳變特性時頻域的快速準確系統辨識的理論問題,本文首先推導了CT 的Jiles-Atherton (J-A)模型傳遞函數,其次提出了CT 壓縮感知系統辨識架構,構造了CT 系統傳變函數的多頻正弦信號稀疏字典以產生壓縮感知辨識激勵信號,隨后構建了Toeplitz 降維測量矩陣,通過壓縮采樣匹配追蹤算法辨識CT 傳變特性。 最后通過仿真實驗對壓縮感知系統辨識方法的性能進行了驗證。

1 J-A 模型電流互感器傳遞函數的推導

傳統CT 主要基于電磁感應原理[13],CT 等效電路模型如圖1 所示。 其中i1為一次側電流,i′1為二次側電流,Le、Re為勵磁阻抗,L2、R2為二次繞組阻抗,L3、R3為二次側負載阻抗。 根據圖1 中的CT 等效電路,將電流互感器從N1、N2處分成一次側、二次側兩部分,根據國家標準GB 1208—2006《電流互感器》,在CT 工作頻率范圍內,CT 二次側負載等效為電阻,因此在后續的推導過程中將L3省略。 同時,得到CT 頻域等效電路如圖2 所示。 其中,L1、R1為一次側繞組阻抗,C1、C2分別為初級、次級極間電容。 在工頻下,C1、C2的值一般較小[14]。

圖1 電流互感器T 型等效電路Fig.1 T-type equivalent circuit of the current transformer

圖2 電流互感器頻域等效電路Fig.2 Frequency domain equivalent circuit of the current transformer

為了進一步推導CT 的傳遞函數,結合圖2,分別從一次側、二次側頻域部分進行傳遞函數的推導。根據圖2(a)可以得到CT 一次側傳遞函數為

式中,Z1為一次繞組阻抗且Z1=R1+sL1。 當C1很小時,G1(s) =1,表示電流信號在一次側幅值沒有衰減,相位沒有偏移。

在CT 為理想變量器條件下,根據CT 鏈式守恒原理N1×I1=N2×I2,一次側、二次側等效電路間的關系如式(2)所示。

式中,Re+R2?R3,Re?R2,Le?L2,ω0=Re/Le,P=Le/R3C2(L2+Le),ω1= 1/R3C2,ω2= (R2+Re)/(L2+Le)。 式(6)表明,傳統電流互感器的傳遞函數為具有1 個單零點和兩個極點的線性系統。

2 壓縮感知重構

在壓縮感知理論中,若信號x∈RN×1是稀疏的或者在某個變換域Ψ∈RN×N內具有稀疏性[15],則可以通過相應的隨機觀測矩陣進行壓縮采樣,得到一個含有原始信號相關信息且數據量遠低于原始信號的壓縮信號,再通過求解欠定方程組的問題進行重構[16]。 壓縮感知中的稀疏變換過程如式(7)所示。

式中,s∈RN×1為x在變換域Ψ中的稀疏信號。 對于信號s,其壓縮采樣過程如式(8)所示。

式中,y∈RM×1(M?N)為觀測采樣值,Φ為測量矩陣,θ為傳感矩陣。 根據式(8)可將壓縮感知重構過程表示成如圖3 所示。

圖3 壓縮感知信號重構Fig.3 Compressed sensing signal reconstruction

同時相應的測量矩陣Φ需滿足有限等距特性(restricted isometry property, RIP)[17]。 對于K稀疏的信號s∈RN×1和常數δk∈(0,1),滿足

在滿足RIP 準則的基礎上,壓縮感知重構過程可轉化為求解欠定方程組的問題,即求解最小l0范數的問題,結合式(8)可表示為

最終,通過采樣信號y求出稀疏信號^s,再通過^x=Ψ-1^s求出最終的重構信號^x。

為進行CT 傳變特性系統辨識,結合壓縮感知理論,可將CT 看作一個參數客觀存在的待辨識系統,而傳感矩陣作為該系統的輸入信號,由此提出CT 頻域傳變特性壓縮感知系統辨識架構。

3 電流互感器頻域傳變特性的壓縮感知辨識架構與辨識方法

3.1 構建電流互感器傳變函數的稀疏字典

在CT 系統辨識過程中,由于無法直接采用壓縮感知測量矩陣作為輸入信號進行傳變特性的辨識,故需要將系統的輸入輸出調整為電流信號。 為解決CT 傳變特性的系統辨識問題,提出壓縮感知系統辨識架構,如圖4 所示。

圖4 CT 壓縮感知系統辨識架構Fig.4 CT compressed sensing system identification architecture

根據圖4,構造一種多頻率正弦信號稀疏字典,產生壓縮感知辨識信號,輸入CT 系統,再根據系統輸出信號,基于所提出的架構完成CT 系統傳變特性的壓縮感知辨識。

首先構造多頻率正弦信號,設定長度為M點的截斷離散單頻正弦信號如式(11)所示。

式中,ω1=2π(f1/fs)表示初始角頻率。

其次,采用N個M點截斷離散單頻正弦信號構建矩陣如式(13)所示。

式中,矩陣LM×N中第l列表示角頻率為ωl的離散正弦信號。

然后,構建CT 的傳變函數向量如式(14)所示。

式(14)表示待辨識的CT 系統。 由式(13)、(14)可知所構建的矩陣LM×N包含了CT 系統的各個頻率分量,可以保證系統解的稀疏性。 因此,矩陣LM×N為CT 傳變函數的稀疏字典,滿足壓縮感知稀疏條件。

3.2 電流互感器頻域傳變特性壓縮感知辨識過程

為了實現電流互感器的精確辨識,同時降低壓縮感知硬件的復雜度,根據圖4,考慮實際部署的便捷性,采用Toeplitz 矩陣Φ作為測量矩陣,且當信號稀疏度K≤c1M3/ln (N/M)(N、M分別為測量矩陣的行、列數,c1為常數)時,Toeplitz 矩陣滿足RIP 準則[18]。

根據式(13)、(14),CT 的壓縮感知時頻域系統輸出信號為

根據式(15),可將CT 傳變函數HN×1的辨識問題擬合為壓縮感知重構問題,根據式(8),可將CT二次側的輸出信號進一步寫為

Y′M×1=ΦM×MLM×NHN×1(16)

其中,ΦM×M為Toeplitz 測量矩陣。 由于式(16)為一個NP 難題,無法直接求出稀疏向量HN×1的值,根據式(10),可將式(16)寫為求解最小l0范數的問題

則可以通過求解式(17)非零元素的值,再根據構造的壓縮感知稀疏字典矩陣LM×N確定HN×1中非零元素所對應的頻率分量,進而擬合出CT 的傳變函數和二次側電流有效值。 所采用的構造壓縮感知矩陣來表示辨識激勵信號的方法,有效地避免了常規壓縮感知理論中使用壓縮感知采樣電路的難題。

3.3 電流互感器頻域傳變特性的壓縮感知重構算法

本文主要使用壓縮采樣匹配追蹤(CoSaMP)算法,該算法由Needell 等[19]提出,在正交匹配追蹤算法基礎上增加了原子選擇后的回溯機制[20],整體重構快、精確度高。 其核心步驟歸納如下。

(1)輸入傳感矩陣θ=ΦM×M LM×N,采樣信號y(y=Y′M×1)以及稀疏度K;輸出系數σK∈HN×1。

(2)初始化設定:t=1,殘差ro=y,索引集Λ0=?,候選原子集合ψ0=?。

(6)更新殘差并令t=t+1,如果t＞K或殘差rk=0則停止,否則返回步驟(3)。

4 電流互感器頻域傳變特性壓縮感知辨識性能分析

4.1 掃頻仿真實驗與結果分析

由式(6)可知,CT 為包含單零點和兩個極點的線性系統。 基于PSCAD 軟件平臺中電流互感器的J-A 模型,結合式(6)電流互感器的傳遞函數,根據電流互感器的實際參數情況,設定PSCAD 軟件平臺中電流互感器的額定參數,具體如表1 所示。 建立J-A 模型電流互感器作為辨識用電流互感器。

表1 電流互感器額定參數Table 1 Rated parameters of the current transformer

掃頻系統辨識過程主要通過調整CT 一次側的電流信號頻率依次得到不同頻率下的二次側電流信號,再通過Matlab 計算得到CT 的傳變特性。 CT 的傳變特性包括比差傳變特性和角差傳變特性,計算方法如下。

1)比差

式中,K為CT 一次側和二次側電流信號的額定變比;I1為CT 一次側實際輸入的電流;I2為對應測量得到的二次側電流。

2)角差

式中,?1為CT 一次側實際輸入的電流信號相位;?2為對應測量得到的二次側電流信號相位。

結合式(18)、(19),掃頻系統辨識流程如圖5所示。

圖5 掃頻系統辨識流程Fig.5 Identification process of the frequency sweep system

在仿真辨識中,保持CT 一次側電流幅值I1n為100 A(I1n表示不同單一頻率下的一次側電流信號,n=1,2,…,N),根據圖5,通過調整CT 一次側電流頻率(10 ～3 500 Hz),利用PSCAD 中的CT 系統得到二次側電流,經Matlab 計算后,得到CT 的比差、角差傳變特性如圖6 所示。

圖6 單次頻率法的CT 頻率特性Fig.6 CT amplitude frequency characteristics of the single frequency method

從圖6 可以看出,J-A 模型電流互感器的通帶頻率范圍為25 ～2 500 Hz,低于或超出此頻率范圍,電流互感器將逐步產生大量誤差。

4.2 壓縮感知仿真實驗與結果分析

為評價CT 傳變特性壓縮感知系統辨識的性能及準確度,引入以下3 個參數。

1)各頻率分量下CT 頻域傳變特性重構后的相對誤差,計算公式如式(20)所示。

式中,J表示原系統參數,J*表示辨識得到的系統參數。

2)為評價CT 壓縮感知系統辨識方法的準確度,采用壓縮感知評價方法,計算CT 壓縮感知系統辨識方法與掃頻系統辨識方法二次側輸出電流有效值間的均方誤差,計算公式如式(21)所示。

式中,^I2n表示不同頻率分量下CT 壓縮感知辨識方法二次側輸出電流信號的有效值,N表示頻率分量數。 由于CT 的系統辨識不涉及壓縮系數和信噪比,因此本文不使用其作為評判指標。

3)CT 壓縮感知系統辨識方法和掃頻系統辨識方法所需時間對比。

壓縮采樣匹配追蹤(CoSaMP)算法下CT 傳變特性的系統辨識結果如圖7 所示。

圖7 CT 系統辨識及誤差曲線Fig.7 CT system identification and error curves

圖7 中,在25 Hz 的1/2 次諧波到2 550 Hz 的51 次諧波范圍內,與掃頻辨識方法的誤差相比,比差傳變特性壓縮感知辨識方法各頻率點辨識相對誤差平均值為0.06%,角差傳變特性壓縮感知辨識方法各頻率點辨識相對誤差平均值為0.49′。 在頻率為25 Hz 時,比差壓縮感知辨識曲線與掃頻辨識曲線之間的相對誤差值最大,為0.5%;在頻率為2 550 Hz 時,比差壓縮感知辨識曲線與掃頻辨識曲線之間的相對誤差為0.2%。 在圖7(b)中,當頻率為25 Hz 時,角差壓縮感知辨識曲線與掃頻辨識曲線之間的誤差為1.02′;頻率為2 550 Hz 時,角差壓縮感知辨識曲線與掃頻辨識曲線之間的誤差值最大,為3′。

上述辨識結果表明,壓縮感知辨識誤差與掃頻辨識誤差處于同一量級,掃頻辨識傳變特性曲線與壓縮感知時頻域傳變特性辨識曲線也具有非常好的一致性。

在諧波電能測量頻率范圍內,整數次諧波頻率點下的CT 掃頻系統辨識方法和壓縮感知系統辨識方法的二次側輸出電流幅值如表2 所示。

表2 CT 系統二次側輸出電流幅值Table 2 Output amplitude of the secondary side of the CT system

根據式(21)和表2 中CT 系統二次側輸出幅值,計算得到壓縮感知系統辨識方法二次側輸出電流有效值的均方誤差為0.018%,能夠很好地滿足0.5 級CT 系統辨識的誤差要求,表明CT 傳變特性的壓縮感知系統辨識方法具有較高的準確度。

在諧波電能測量頻率范圍內,以50 Hz 間隔掃頻,分別計算CT 掃頻系統辨識方法和壓縮感知系統辨識方法的運行時間。 其中,掃頻系統辨識方法所需時間為1 560 s,壓縮感知系統辨識方法所需時間為108.948 s,是掃頻系統辨識方法的1/14,說明CT 傳變特性的辨識效率得到提高。

5 結論

(1)構造了一種多頻率正弦信號稀疏字典,產生壓縮感知辨識激勵信號,在此基礎上提出了CT壓縮感知系統辨識架構。 該架構通過多頻率正弦信號稀疏字典產生CT 系統的輸入信號,滿足了CT 傳變特性的辨識要求和壓縮感知重構的先驗條件。

(2)提出了CT 傳變特性的時頻域壓縮感知準確辨識方法。 在諧波電能測量的頻率范圍內,比差傳變特性壓縮感知辨識方法各頻率點辨識相對誤差平均值為0.06%,角差傳變特性壓縮感知辨識方法各頻率點辨識相對誤差平均值為0.49′,表明CT 傳變特性的壓縮感知系統辨識方法具有較高的準確度。

(3)仿真實驗結果表明,所提的壓縮感知系統辨識方法所需時間是掃頻系統辨識方法的1/14,提高了CT 傳變特性的辨識效率。