構建單元整體教學 深度貫通算理表征
——《小數乘法》教材解讀與教學建議

○ 啟東實驗小學 劉愛東

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》強調，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯。人教版小學數學五年級上冊《小數乘法》這一單元，在教學中如何落實新課標的要求？筆者認為，教師應從單元整體教學設計出發，合理整合教學內容，引領學生厘清知識脈絡，建立結構化知識體系，以促進對小數乘法的深刻理解，發展核心素養。

一、教材解讀

1.單元教材分析。

小數乘法是“數與代數”領域中“數與運算”的重要內容。縱觀小數四則運算，教材分三個階段進行編排，分別是小數加法和減法、小數乘法和小數除法。小數乘法處在第二階段，是在學生學習了整數乘法的筆算、積的變化規律、小數的意義和性質、小數的加法和減法等基礎上進行教學的。

本單元共安排了5 大板塊、9 個例題。

板 塊小數乘整數小數乘小數例 題例1.結合具體量計算例2.基本算理、算法例3.基本算理、算法例4.積的小數位數不夠例5.小數倍的應用和驗算

例1—例4 教學小數乘法的算理、算法。

例1 結合具體量教學“3.5×3”。借助“元”與“角”之間的十進關系，把小數乘整數轉化為整數乘整數，溝通兩者之間的聯系，為理解小數乘整數的算理提供感性支撐；例2 脫離具體量背景計算“0.72×5”。通過圖示，呈現小數乘整數轉化為整數乘整數的過程，引導學生根據積的變化規律確定小數點的位置，理解小數乘整數的算理、算法；例3 計算“2.4×0.8”。基于例2 的學習經驗，把兩個因數都轉化為整數，再借助積的變化規律理解小數乘小數的算理、算法。在此基礎上，總結小數乘法的一般計算方法；例4 計算“0.56×0.04”。解決積的小數位數不夠的問題，利用小數點移動的變化規律，先在前面用0 補足，再點小數點。

例5—例9 教學小數乘法的應用。

例5 是小數倍的應用和驗算。結合“1.3 倍”的含義，讓學生領悟有時用小數倍表示兩個數量間的關系比較直觀，教材提出驗算要求，但對如何驗算不作統一規定；例6 是求積的近似數。引導學生根據求小數近似數的方法，按“保留一定小數位數”的要求自主去求；例7 將整數乘法運算定律推廣到小數并簡便計算；例8 引導學生根據實際問題和數據，利用估算的策略和方法解決問題；例9 是解決分段計費的實際問題，初步體會函數思想，提升學生解決問題的能力。

2.教材編排思考。

教材把小數乘法內容進行了較為細致的切分，試圖通過放慢進度、減緩坡度、扎實推進的方式，促使學生牢固掌握算理、算法。但在實際教學中，會產生下面的問題：

一是內容切分過細淡化了結構的整體性。比如，對于小數乘法算理、算法的教學，不論是小數乘整數（例1、例2），還是小數乘小數（例3、例4），都是利用積的變化規律先轉化成整數乘法進行計算，再根據乘數中的小數位數確定積的小數位數，兩者的計算本質是一致的，計算方法聯系緊密且相似。同樣的，積的近似數 （例6）和估算解決實際問題（例8），也都是用“四舍五入法”保留一定的小數位數。這樣的編排，雖然學生有更多時間熟練計算，卻難免有重復之感，既降低了學生自主探究的興趣，弱化了學習的挑戰性，也不利于學生形成完整的知識結構。

二是例題數據過簡造成認知的以偏概全。教材前4 個例題的算式，轉化成整數乘法后，均為一位數（或多位數）乘一位數，這樣的編排雖然降低了學生初學小數乘法的難度，但也容易造成以偏概全的傾向，不利于知識的整體構建，教學中有必要及時補充兩位數（或多位數）乘兩位數的教學例題。

二、學情分析

1.學習起點。

整數乘法是學生學習小數乘法的基礎。小數和整數都遵循十進制計數法的計數原則，小數乘法的算理、算法，以及豎式形式、乘的順序和積的位數的確定等，都可以由整數乘法進行遷移和類推，兩者在運算上具有一致性。

然而，我們發現，學生的基礎知識還是比較薄弱的。比如，學生對小數意義的理解水平較低，表現在會直觀表征小數的學生占比較低；學生對乘法算理的理解水平也比較低，對于小數乘法算理的直觀表征（比如面積模型），只有不足三成的學生可以表示出來；對于小數乘法算理的形式表征（積的變化規律），也只有不足三成的學生掌握。也就是說，在學習小數乘法前，大部分學生既不會從直觀的角度，也不會從形式的角度，理解小數乘法的算理。

因此，教學中特別要注意兩點，一是注重學生直觀表征能力的培養；二是要鋪墊積的變化規律。積的變化規律落實到小數乘法運算中，就是小數點移動引起小數大小變化的規律。

2.學習難點。

相較于整數乘法，小數乘法好像只是多了小數點的處理，但理解的難度卻上升了很多。學生感到困惑、易出錯的主要有以下四點：

一是列豎式時數的對齊方式。疑問：為什么列豎式時不是小數點對齊，而是非零數字末位對齊呢？以前學習小數加、減法，列豎式時不是小數點對齊的嗎？

二是轉化后兩位數（或多位數）乘兩位數中間部分的處理。疑問：為什么計算時，中間部分的兩行乘積不用點小數點？

三是積的小數點與因數中小數點的關系。疑問：為什么小數乘整數時，積的小數點和因數中的小數點是對齊的，但小數乘小數時，積的小數點和因數中的小數點卻往往是不對齊的？

四是積的小數點位置的確定。疑問：計算乘積末尾有零的題目（如1.02×1.5）時，確定積的小數位數，到底是先點上小數點，還是先劃去乘積末尾的零？計算需添零補足小數位數的題目（如0.15×0.05）時，怎么做才不會少添零或多添零？

綜合以上情況，我們有必要從單元整體設計的高度，突出以計數單位為基、以直觀表征為媒、以積的變化規律為本，對教學內容進行優化整合，助推算理的逐層厘清，實現算法的順暢遷移。

三、教學建議

1.優化學習路徑，重組單元內容。

基于教材解讀和學情分析，在不增加課時量的前提下，對教學內容的優化與整合作如下思考：

一是夯實基礎。引導學生進一步理解、掌握并熟練運用積的變化規律，尤其是小數點移動引起小數大小變化的規律。

二是整合內容。將“小數乘整數”和“小數乘小數”算理、算法重復的內容適當整合；將“求積的近似數”和“估算解決實際問題”適當整合。

三是突破難點。增加“乘數是兩位小數”的例題，設計“小數點位置的確定”與“正確處置積中0的位置”的針對性練習。

四是素養拓展。融入相關數學史、數字謎等內容。

整合后的課時和教學內容安排如下：

第幾課時1 2 3 4 5 6 7 8 9教學內容復習積的變化規律,包括小數點移動引起小數大小變化的規律；例1．結合具體量計算例2.例3.基本算理、算法；乘數是兩位小數的乘法；驗算專項練習：因數末尾有0；因數中間有0；積的末尾有0例4.積的小數位數不夠；積和因數的大小關系例5.小數倍的應用和驗算例7．整數乘法運算定律推廣到小數素養拓展：數學史、數字謎等例6．“四舍五入”法求積的近似數；例8．估算解決實際問題例9.分段計費的實際問題

2.凸顯多元表征，助推算理、算法遷移。

（1）直觀表征。

雖然小數乘整數的算理可以通過遷移整數乘法的意義來理解，如0.3×2 表示2 個0.3 相加，但是對于小數乘小數，如0.3×0.2，由于乘法意義不再是整數乘法中“幾個幾”了，因此不能直接遷移整數乘法的意義。此時，可以借助單位換算和笛卡爾積模式（即面積模型），將小數乘法轉化為整數乘法，其實質是把計數單位的累加從整數部分過渡到小數部分。

比如，計算整數乘法3×2，可以用“長方形的長是3 分米，寬是2 分米，求面積”來直觀表征；計算小數乘整數0.3×2，可以用“長方形的長是0.3分米，寬是2 分米，求面積” 來直觀表征；計算小數乘法0.3×0.2，可以用“長方形的長是0.3 分米，寬是0.2 分米，求面積” 來直觀表征，計算時，可以進行單位換算，將0.3 分米轉化成3 厘米，將0.2分米轉化成2 厘米，則長方形的面積是3×2＝6（平方厘米）。通過面積模型直觀表征后，這些結果學生都看得清清楚楚。上承整數乘法、下啟分數乘法，體現了算理的連續性和一致性。

（2）形式表征。

學習整數乘法時，我們曾經歸納出因數的變化引起積的變化規律，這個規律對于小數乘法同樣適用。由積的變化規律（小數點移動引起小數大小的變化）理解小數乘法的算理，就成為小數乘法的形式表征，并由此表征可提煉總結出小數乘法的計算法則，推動從算法直觀走向算法抽象。

比如，計算3.7×4.6 的教學流程可以這樣安排：基于整數乘法的已有認識，先讓學生試著估計或猜想計算結果，引導他們將小數乘法與整數乘法一一對應，建立聯系；在此基礎上，進一步聯系積的變化規律，引導學生通過說理、推理等方法驗證猜想，進而歸納出積的小數點的處理方法，即“因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點”。

3.緊扣數學本質，順學而導突破難點。

針對學生學習中出現的困惑及易出錯的地方，教師應給予學生充足的時間去探究，讓他們充分展示思維過程，在互動交流中逐步完善，不僅知其然，更知其所以然。

比如，列豎式時數該怎么對齊？教學中可以這樣處理：

出示學生試做時出現的兩種列豎式的情形。

師：現在出現了兩種不同的列豎式的方法，到底哪一種更合理呢？請同學們各抒己見。

生（方法一）：小數加、減法強調小數點對齊，所以這里也要把第二個乘數3 跟第一個乘數個位上的3 對齊。

生（方法二）：剛才把3.5 元看作35 角，計算35×3 時就是把3 和5 對齊的。這樣對齊，跟整數乘法一樣，簡單多了。

生：我覺得方法二更好。整數乘法中當因數是整十、整百數時，不也是把不是零的末位數對齊嗎？這樣可以使計算簡便。

師：同學們說得都很好。計算小數乘法時，這兩種列豎式的方法都是可以的，不影響計算的結果。但為了計算簡便，通常都是采用第二種方法。

再如，“轉化后兩位數（或多位數）乘兩位數中間部分的處理”“小數乘小數，積的小數點和因數中的小數點往往不對齊”“積的小數點與因數中小數點的關系”“積的小數點位置的確定”等學生感到困惑、易出錯的地方，教學中也可以通過先展示學生不同想法，再充分交流討論，并在比較中得出結論的方法開展教學，既能再次深度溝通小數乘法算理、算法之間的聯系，又能幫助學生更好地理解算理、掌握算法。

資料存盤

1.《小數乘法》新課標要求。

學段目標要求；能進行小數和分數的四則運算，探索數運算的一致性；形成符號意識、運算能力、推理意識。

內容要求：能進行簡單的小數、分數四則運算和混合運算，感悟運算的一致性，發展運算能力和推理意識。

學業要求：能進行簡單小數、分數的四則運算和混合運算（不超過三步），并說明運算過程。能在較復雜的真實情境中，選擇恰當的運算方法解決問題，形成運算能力和推理意識。

2.小數乘法運算與整數、分數乘法運算的一致性。

基于整數乘法的算理、算法學習小數乘法，教材引入積的變化規律幫助學生理解，體現了“運算的承襲性”。基于分數乘法的算理、算法學習小數乘法，其算理可以化歸為運算律、等式的基本性質和計數單位，算法可以化歸為基于計數單位的運算，即計數單位與計數單位相乘、計數單位上的數字與計數單位上的數字相乘。學生還沒學習分數乘法，故教材不作要求。小數乘法運算與整數、分數乘法運算的一致性，可以借助單位換算和面積模型等方法多元表征、促進理解。