永磁同步電動機位置跟蹤系統的連續終端滑模控制優化設計與實驗

王會明， 萬 謙， 韋永成， 趙振華

（1.重慶郵電大學自動化學院，重慶 400065；2.南京航空航天大學自動化學院，南京 211106）

0 引 言

PMSM由于具有結構簡單，磁通密度大，機械特性好，維護方便等優點，因此在航空航天、機器人、數控機床等領域得到了廣泛的應用。然而PMSM 是一個多變量、非線性、強耦合的復雜對象，傳統的PID 控制很難使系統獲得高的控制性能。因此，許多專家使用多種非線性控制算法設計控制器來提高系統的動態性能，例如自適應控制［1-2］；模型預測控制［3-4］；模糊控制［5-6］；滑模控制［7-9］等。

上述滑模控制由于具有魯棒性強且容易實現等優勢在機電系統中受到更多關注［10］。然而在傳統滑模控制中，由高頻開關函數引起的抖振現象會影響系統的動態性能。因此，學者們提出了許多改進傳統滑模控制的方法來解決此問題。文獻［11］中提出了連續滑模控制方法，可以有效地抑制抖振現象，但由于采用了線性滑模面，系統狀態不能在有限時間內收斂到零。針對這一問題，文獻［12］中設計了CTSMC 器，能夠加快系統狀態的收斂時間，而且系統具有較高的穩態精度。但存在系統受到強擾動時穩態波動較大的問題。

針對上述現象，基于觀測器的控制方法被廣泛應用以降低擾動對系統穩態精度的影響。文獻［13］中提出了一種基于擴張狀態觀測器的控制策略，實時觀測系統受到的擾動并加以前饋補償，提高系統抗擾能力。文獻［14］中設計了一種SMO，用飽和函數代替傳統的開關函數，將反電勢估計值反饋到電流觀測器，解決了濾波后反電勢值難以精確補償的問題。

本文采用基于SMO的CTSMC方法設計復合位置控制器，使PMSM 系統在該控制器的作用下，其位置輸出可以準確地跟蹤上參考軌跡，同時能夠有效時變擾動對系統性能的影響，并使用Lyapunov 穩定判據分析系統的穩定性。

1 PMSM模型

為了便于分析，假設磁路是不飽和的，不計渦流和磁滯損耗，三相繞組對稱，電樞繞組在定子表面均勻連續分布，轉子磁鏈在氣隙中呈正弦分布。PMSM 系統模型可寫為如下形式［1］：

式中：θ 為電動機轉子位置；ω 為電角速度；iq和id為d-q軸的定子電流；uq和ud為d-q軸的定子電壓；L為定子電感；Rs為定子電阻；np為極對數；Kt＝3npψf／2為轉矩常數；ψf為轉子永久磁鐵產生的磁勢；B為黏滯摩擦因數；TL為負載轉矩；J為轉動慣量。

通常，設計d軸的參考電流＝0。在電流環PI控制器的作用下，并引入虛擬控制量，電動機模型可以簡化為：

本文通過設計復合位置控制器來提高PMSM 系統的抗干擾能力和跟蹤精度。

2 復合控制器設計與穩定性分析

定義變量x1＝θ，x2＝ω，為式（2）建立如下擴張狀態空間模型：

2.1 SMO的設計

SMO能夠將非線性系統的集總擾動（包括系統內部參數的不確定性和外部的干擾）視為系統的一種新的狀態，該觀測器可以同時估計狀態和擾動。通過對擾動估計進行前饋補償，設計復合位置控制器來實現本文所期望的控制性能。

基于式（3），SMO設計為：

其根軌跡全部位于復平面s的左半平面。

式（3）與式（4）作差，可得SMO誤差方程為：

2.2 復合位置控制器的設計

基于SMO估計系統的狀態和受到的擾動。取m＝3，對式（3）設計如下終端滑模面：

式中：θr為電動機轉子參考位置；β1、β2為中間變量，且0 ＜β1，β2＜1，β1、β2的選取滿足β1＝β2／（2 -β2）；c1、c2為控制器的參數，且c1，c2＞0，c1、c2的選取滿足使特征多項式

其根軌跡全部位于復平面s的左半平面。

基于CTSMC和SMO的復合位置控制器設計為

式中：τ為時間變量；k＞0 為控制器參數。

基于復合位置控制算法的PMSM 控制系統結構框圖如圖1 所示。其中Generalized PMSM表示集總的PMSM，包括可加載的PMSM、三相電壓源逆變器、空間矢量調制模塊、矢量控制框架和2 個電流控制器。

圖1 基于連續終端滑模和SMO的控制結構框圖

2.3 穩定性分析

整個閉環系統的穩定性分析如下：

（1）系統狀態在有限時間內有界。結合式（4）和（7），式（6）可寫為如下形式：

對式（8）求導可得

由式（5）和（6）可得導數方程為：

定義Lyapunov函數

（2）滑模變量在有限時間內收斂。由上述分析式（9）可寫為

定義Lyapunov函數

并對其求導可得：

因此當k＞0 時，滑模變量將在有限時間內收斂到零。

（3）跟蹤誤差在有限時間收斂。將式（5）代入式（6）中可得

當滑模面s有限時間收斂到零時，上式可化為

則式（15）在有限時間內穩定［16］。位置跟蹤誤差將在有限時間內收斂到零，即軌跡將在有限時間內跟蹤上參考軌跡。

3 實驗分析

為驗證所提復合控制方案的有效性和可行性，本文在如圖2 所示的PMSM平臺進行實驗驗證。實驗由一臺測試電動機用于運行控制算法；另一臺電動機用于產生負載轉矩。硬件平臺主要由控制電路和功率電路組成，控制電路采用MatSimBox M660 數據采集卡，集成了包括ADC模塊、PWM模塊、編碼器模塊等。功率電路采用TI 的DRV8305 芯片，由電壓和電流采樣模塊分別對電動機的電壓、電流進行采樣并送入控制電路。控制電路產生的控制脈沖經驅動模塊后輸入到三相逆變器，從而使電動機穩定運行。

圖2 PMSM實驗平臺

復合位置控制器的參數設置為：m＝3，c1＝1 500，c2＝4 500，k＝200，β2＝0.75，λ1＝υξ4，λ2＝ξ4＋4υφξ3，λ3＝4φξ3＋4υφ2ξ2＋2υξ2，λ4＝4ξ2φ2＋2ξ2＋4υφξ，λ5＝υ ＋4υφ，φ ＝1，υ、ξ 為大于零的常數，選取υ ＝ξ ＝100，p＝2，q＝15。

PMSM系統參數為：np＝4，L＝0.4 mH，ψf＝6.4 mWb，J＝7.06 kg·cm2。

為驗證CTSMC ＋SMO控制方法的有效性，分別采用PID和CTSMC兩種控制方法來對比分析PMSM 系統的位置跟蹤性能。采用3 組實驗：①給定位置信號θr為方波；②給定位置信號為θr＝sint；③在第2 組實驗基礎上分別對給定位置信號頻率和幅值加倍。

同時，為驗證PMSM系統在所推薦方法控制下的抗擾特性，3 組實驗施加負載轉矩為：

在控制器參數相同的前提下，位置輸出反饋信號θ由增量式編碼器測量所得，q軸實際電流iq由ADC模塊采集的電流經空間坐標變化后所得，為控制器的輸出，error ＝θr-θ 為系統位置跟蹤誤差，θr為給定位置信號。同時，對于3 組實驗結果，采用平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）和標準差（Standard Deviation，SD）兩指標來量化分析PMSM系統在3 種控制方法下的性能表現。

3.1 給定位置為方波時響應曲線和穩態性能分析

圖3 所示為給定方波的實驗結果。由圖3（a）可知，3 種控制方案都能跟蹤上參考軌跡。當系統啟動時，與傳統的PID以及CTSMC 相比，所推薦的控制方案CTSMC ＋SMO具有超調量更小，收斂速度更快的優點。在5 ～10 s內，系統到達穩態后，在CTSMC ＋SMO的控制下，系統位置跟蹤的MAE ＝0.047 和SD ＝0.287均比傳統PID控制和CTSMC要小（見表1）。由此可知，推薦控制方案系統有更小的穩態位置波動。由圖3（b）和表1 可知，分別在10 和15 s施加常值擾動和時變擾動后，系統在所推薦方案的控制下能夠更快的恢復到穩態，到達穩態后跟蹤誤差和穩態波動更小，表明所設計的復合位置控制器對常值擾動和時變擾動有明顯的抑制作用。由圖3（d）～（e）可知，3 種方案的控制器輸出與電動機q軸實際電流iq都較為吻合。

表1 穩態性能對比與分析（第1 組）

圖3 給定位置為方波時響應曲線

3.2 給定位置為θr ＝sin t 時響應曲線和穩態性能分析

給定位置為θr＝sint的響應曲線如圖4 所示。由圖4（a）和4（b）可知，CTSMC ＋SMO 方法在上升時間和超調量等方面要優于另外2 種對比方法，表明系統在推薦策略的控制下有著良好的動態性能。由表2 可知，系統到達穩態后，所推薦方案的位置跟蹤精度要遠遠高于傳統的PID控制方法和普通的CTSMC方法。

表2 穩態性能對比與分析（第2 組）

圖4 給定位置為θr ＝sin t時響應曲線

在施加與3.1 小節實驗相同的擾動后，可以得到同樣的結果，表明參考位置由方波變為正弦波，本文提出的CTSMC ＋SMO方法仍然能得到預期的控制效果。圖4（c）～（e）表明，控制器輸出曲線與電動機q軸實際電流曲線吻合程度較高。

3.3 給定位置為θr ＝sin 2t和θr ＝2sin t時響應曲線和穩態性能分析

給定位置為θr＝sin 2t和θr＝2sint的實驗結果如圖5 和表3 所示。在3.2 小節實驗的基礎上，分別對參考位置信號頻率和幅值加倍，由圖5 和表3 可知，系統在CTSMC ＋SMO方法的控制下，位置穩態誤差要遠小于所對比的2 種方案，對擾動的抑制作用也更明顯。

表3 穩態性能對比與分析（第3 組）

圖5 給定位置為θr ＝sin 2t和θr ＝2sin t時響應曲線

圖6 表明，本文所設計的觀測器能夠較為準確的估計出系統所受到的擾動大小。

圖6 系統受到的擾動及觀測器估計值

本文所提出的控制方法不僅響應速度更快，穩態誤差更小，而且抗干擾能力和魯棒性更強。

4 結 語

本文對PMSM系統軌跡跟蹤控制進行了研究，并進行了電動機在3 組不同參考軌跡下的實驗驗證。結果表明：所推薦的控制算法能夠顯著提高系統位置跟蹤的精度和抗擾能力。本文推薦的控制方法設計簡單，計算量小，可以降低系統硬件成本。方法也可用于數控機床、智能機器人和電動輪椅等領域中。